胡 松

（武汉科技大学冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室，湖北武汉，430065）

本文主要研究一维p－Laplace算子

在Dirichlet边值条件下的整体分支现象。

任取p∈1，＋（）∞，考虑如下非线性特征值问题：

接着讨论如下边值问题：

其中，函数f（x，λ，u）表示式（2）的高阶项，且满足适当的增长性条件。利用Leray－Schauder度理论可以证明（λn（p），0）是式（2）的一个分支点，进而根据文献［1］中的标准分支定理得到关于式（2）解的整体分支结构。

分支理论自提出后已经被应用到很多具体问题中。Del Pino等［2］证明了Dirichlet边值条件下p－Laplace算子的第一特征值λ1（p）是单重的、孤立的，且（λ1（p），0）为一个分支点，进而给出了在（λ1（p），0）处解的整体分支结构。赵昆等［3］将上述结果推广至加权p－Laplace算子中。Drabek等［4］证明了Navier边值条件下p－biharmonic算子的第一特征值λ1（p）是单重的、孤立的，且（λ1（p），0）为一个分支点，进而给出了在（λ1（p），0）处解的整体分支结构，并进一步证明了当N＝1，Ω＝（0，1）时，p－biharmonic算子存在有无穷多个特征值λn（p）（n＝1，2，…，∞），每一个特征值都是单重的、孤立的且（λn（p），0）都为分支点，进而给出在（λn（p），0）处解的整体分支结构。本文作者将上述结果推广至加权p－biharmonic算子中［5－6］。Benedikt［7］利用文献［4］的思想证明了当N＝1，Ω＝（0，1）时，Dirichlet和Neumann边值条件下p－biharmonic算子存在有无穷多个特征值λn（p）（n＝1，2，…，∞），每一个特征值都是单重的、孤立的且（λn（p），0）都为分支点，进而给出了在（λn（p），0）处解的整体分支结构。Evans［8］讨论了当p＝2时，Dirichlet边值条件下Laplace算子特征值的存在性及其相关性质。

本文在此基础之上，利用文献［4］的方法讨论了当N＝1、Ω＝（0，1）时，Dirichlet边值条件下p－Laplace算子特征值的存在性及其相关性质，进而给出了在分支点处解的整体分支结构。

本文主要结果叙述如下：

每一个特征值λn（p）都是单重的、孤立的，且λn（p）作为p的函数都是连续的。

定理2 假设p＞1，函数f（x，λ，s）表示式（2）的高阶项，且满足适当的增长性条件，即对任意给定的有界区间J⊂R，存在指数q∈（p，p＊＊），使得对任意的ε＞0，总存在常数Cε＞0，满足

则问题（2）的所有非平凡解构成的解空间Γ的闭包中包含一个极大子闭联集Υ，且满足

（i）闭联集Υ在中无界，或者

1 辅助性结果

引理1 问题（1）存在着一个最小的、正的特征值λ＝λ1（p），且λ1（p）是单重的、孤立的。问题（1）相对于特征值λ1（p）的特征函数u1（p）是严格正的。更进一步，问题（1）存在正解的充要条件为λ＝λ1（p），λ1（p）作为p的函数是连续的。

注：引理1的证明见文献［2］和文献［3］。

引理2 假设（u，ω）满足如下方程：

则问题（3）的解（u，ω）是局部惟一的。其中φp（s）

注：引理2的证明见文献［4］。

引理3 假设A是紧线性算子且不以1为特征值，所有大于1的特征值的重数和为γ，则Deg其中Br（0）表示以原点为球心，r为半径的球体。

注：引理3的证明见文献［9］。

2 特征值问题

假设λ＝λ1（p），其中λ1（p）是问题（1）的最小特征值，且u＝u1（x）为相对于特征值λ1（p）的特征函数。当n＞1时，定义

证明 假设u＝u（x）为当λ＝λn（p）（n＞1）时的任一特征函数，则由引理1易知u＝u（x）在（0，1）上是变号的。显然，当λ＝λn（p）时，u＝u（x）满足方程（3）。假设，则ω（0）＝u（0）＝0。由引理2可知u（x）≡0。这与u＝u（x）在（0，1）上是变号的相矛盾。故因为，故可引入伸缩变换，使得又因u（0）＝un（0）＝0，且当λ＝λn（p）时，u＝u（x）和u＝un（x）均满足方程（3），故由引理2可知u（x）≡un（x），x∈［0，1］，证毕。

证明 假设存在λ＝λe≠λn（p）（n≥1），且λ＝λe为问题（1）的特征值，定义

综上所述，结合引理1、引理4、引理5及引理6的结果很容易得到定理1的结论。

3 整体分支结果

首先考虑如下辅助问题：

取Ω＝（0，1），设称u∈为问题（4）的弱解，如果对任意的φ∈，有其中表示之间的对偶积。

证明

（i）假设p＜2，定义λ（q），q∈p，［］

2满足

易验证A为紧线性算子。假设λ＊为A的任一特征值，则Au＝λ＊u。即R2（λ（2）u）＝λ＊u。故对任意的有即又因λ（2）＜λ（2）＜λ（2），故nn＋1λ＊≠1。即A满足引理3的条件。由上述分析可知，要使A有特征值λ＊，只需即可。假设λ＊＞1，则即k＝1，2，…，n，有λ＊的重数γ＝n。故由定理1及引理3可知结论成立，证毕。

综上所述，结合引理7、引理8及文献［1］中标准分支定理很容易得到定理2的结论。

［1］ Rabinowitz P H.Some global results for nonlinear eigenvalue problems［J］.J Funct Anal，1971（7）：487－513.

［2］ Del Pino M，Manasevich R.Global bifurcation from the eigenvalues of thep－Laplacian［J］.J Diff Equations，1991，92（2）：226－251.

［3］ 赵昆，陈祖墀.加权p－Laplacian方程解的整体分叉问题［J］.数学物理学报，2005，25A（2）：145－157.

［4］ Drabek P，Otani M.Global bifurcation result for thep－biharmonic operator［J］.Electronic Journal of Differential Equations，2001，48：1－19.

［5］ 胡松.加权p－harmonic方程的非线性特征值问题［J］.华中师范大学学报：自然科学版，2008（3）：1－5.

［6］ 胡松.加权p－harmonic方程解的整体分支结构［J］.华中师范大学学报：自然科学版，2009，43（1）：14－18.

［7］Benedikt J.Global bifurcation result for Dirichlet and Neumannp－biharmonic problem［J］.Nonlinear Differential Equations and Applications，2007（14）：541－558.

［8］Evans L C.Partial differential equations［M］.Rhode Island：American Mathematical Society，1998.

［9］ 叶其孝，李正元.反应扩散方程引论［M］.北京：科学出版社，1999.