蒋志萍,李世杰

(1.浙江外国语学院理工学院,浙江杭州310012;2.浙江省衢州市教育局教研室,浙江衢州324002)

1 引 言

凸函数是一个重要的数学概念,在数学基础理论研究中它所发挥的作用是无可替代的[1-2].类比凸函数的概念,文献[3]中提出如下的几何凸函数概念:

设f(x)在区间M(⊆R+)上有定义,如果对于任意的x1,x2∈M和t∈[0,1],都有

则说f(x)在M上是几何凸函数,如果(1)中不等号反向,则说f(x)在M上是几何凹函数.

文献[4]作了更广泛的研究,从中可以看出几何凸函数在不等式研究中具有重要的作用.文献[5]提出〈l,t〉凸函数概念:

设f(x)是定义在实线性空间X中的凸集D上的实值连续函数,若对∀x1,x2∈M(⊆D),λ∈[0,1]和给定的常数l,t,都有λx1+(1-λ)x2+l∈D,且f[λx1+(1-λ)x2+l]+t≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f(x)为M上的〈l,t〉凸函数.并对〈l,t〉凸函数及其应用作了初步的研究,这启发我们可以对几何凸函数作类似的推广研究.本文下面提出更一般的m维空间的〈l,t〉几何凸函数概念.

2 〈l,t〉几何凸函数的定义

为方便计,引入下列记号:M=M1×M2×…×Mm(Mi为[ai,bi],或(ai,bi),或无穷区间,i=1,2,…,m,m≥1).若Mi=R+=[0,+),i=1,2,…,m,则M记作Rm+.

下面给出〈l,t〉几何凸函数的定义:

定义 设M是m个区间的笛卡尔积,f(X)是定义在M(⊆Rm+)上连续的数值函数,t是常数,l为正常数,若对任意的

则称f(X)是M上的〈l,t〉几何凸函数;如果上面不等式的不等号反向,则称f(X)是M上的〈l,t〉几何凹函数.

值得指出的是,〈l,t〉几何凸函数含有两个参变数l,t,与它不同的几何凸函数定义有:

(1)吴光耀在文[6]中提出的L-几何凸函数的关系式:

中只含有一个参变数L,是〈l,t〉几何凸函数当l=1,t=0时的推广.

(2)在专著[7]中,张小明采用的几何凸函数定义,是〈l,t〉几何凸函数当→f(x)时的特殊情况(该定义由……