周 敏,向大晶,詹建明

(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)

1 预备知识

定义1[1]如果M={x,y,z,…}和Γ={α,β,γ,…}是加法交换群,且∀x,y,z∈M,α,β∈Γ,满足下列条件:

1)xαy∈M;

2)(x+y)αz=xαz+yαz,x(α+β)y=xαy+xβy,xα(y+z)=xαy+xαz;

3)(xαy)βz=xα(yβz).

则称M为Γ-环.

定义2[2]设A是Γ-环M的一个子集, 如果A是M的一个加法子群且MΓA={xαy|x∈M,α∈Γ,y∈A} (或AΓM)包含于A中, 则称A为M的一个左(右)理想.如果A既是M的左理想又是右理想, 则A称为M的理想.

定义3[3]设μ是论域S到[0,1]的一个映射, 即:μ∶S→[0,1];xμ(x).

则称μ是S上的模糊集.

引理1[1]如果μ,ν是S上的模糊集, 则∀x∈S,有:

μ=ν⟺μ(x)=ν(x)

μ⊆ν⟺μ(x)≤ν(x)

(μ∪v)(x)=max{μ(x),v(x)}

(μ∩v)(x)=min{μ(x),v(x)}

一般的,对S的一族模糊集{μi|i∈I},若∀x∈S,定义:

定义4[8]若μ是集合S的一个模糊集, 而t∈[0,1], 记:μt={x∈S|μ(x)≥t}.

则μt叫做μ的t-水平集.

定义5[3]设μ是Γ-环M的一个模糊集,称μ为Γ-环M的一个反模糊左(右)理想,如果∀x,y∈M,α∈Γ,满足:

1)μ(x-y)≤max{μ(x),μ(y)};

2)μ(xαy)≤μ(y),(μ(xαy)≤μ(x)).

一个Γ-环M的一个模糊集μ叫做M的一个反模糊理想,如果μ既是M的反模糊左理想,又是M的反模糊右理想.

易知,μ是M的反模糊理想当且仅当:

3)μ(x-y)≤max{μ(x),μ(y)},∀x,y∈M,α∉Γ

4)μ(xαy)≤min{μ(x),μ(y)}.

定义6[9]我们说Γ-环M是正则的,如果对∀a∈M,存在a′∈M,使得aαa′βa=a.

定义8[2]设θ是一个从Γ-环M到Γ-环M'的映射, 如果θ(x+y)=θ(x)+θ(y),θ(xαy)=θ(x)αθ(y), 这里∀x,y∈M,α∈Γ. 则θ叫做Γ-同态.

定义9[11]设θ:M→M′是任意的一个映射,μ是Γ-环M上的一个模糊集,若∀x,y∈M,θ(x)=θ(y)⟹μ(x)=μ(y),则μ称为θ不变的.

定义10[4-6]设μ是Γ-环M的一个理想, 如果:

(v)μ不是一个常值函数,

(vi)对M的任意的模糊理想ρ,ν,若νΓρ⊆μ⟹ν⊆μ或ρ⊆μ,则称μ是M的模糊素理想.

2 主要结果

定理1 如果μ和v是Γ-环M的反模糊左(右)理想,则μ∪v也是M的反模糊左(右)理想.

证明设∀x,y∈M,α∈Γ,则:

(μ∪v)(x-y)= max{μ(x-y),v(x-y)}≤max{max{μ(x),μ(y)},max{v(x),v(y)}}=

max{max{μ(x),v(x)},max{μ(y),v(y)}}=max{(μ∪v)(x),(μ∪v)(y)}.

因为μ和v是M的反模糊左理想, 所以有μ(xαy)≤μ(y),v(xαy)≤v(y),这样:

(μ∪v)(xαy)=max{μ(xαy),v(xαy)}≤max{μ(y),v(y)}=(μ∪v)(y).

因此,μ∪v也是M的反模糊左理想.

当μ和v是Γ-环M的反模糊右理想时,证明过程与左理想情形类似.

定义11 假设μ和v是M上的模糊集, ∀α∈Γ， 如果:

则μΓv叫做μ和v的乘积.

引理2 设μ是Γ-环M的一个反模糊右理想,v是Γ-环M的一个反模糊左理想, 则μ∪v⊆μΓv.

证明1)若μΓv(x)=1, 易知,μΓv(x)≥(μ∪v)(x),所以μ∪v⊆μΓv.

即μ∪v⊆μΓv.

定理2 设Γ-环M是正则的,μ是Γ-环M的一个反模糊右理想,v是Γ-环M的一个反模糊左理想,则μ∪v=μΓv.

证明由引理2知μ∪v⊆μΓv.下证μ∪v⊇μΓv.因为Γ-环M是正则的,则对∀a∈M, 存在a′∈M, 使得aαa′βa=a. 这样:

μ(a)=μ(aαa′βa)≤μ(aαa′)≤μ(a),

所以μ(a)=μ(aαa′).从而有:

所以μ∪v⊇μΓv.综上μ∪v=μΓv.

定义12 设μ是Γ-环M的一个反模糊理想, 如果下述两条成立：

1)μ不是一个常值函数；

2)对M上任意的反模糊理想ν,ρ,νΓρ⊇μ⟹ν⊇μ或者ρ⊇μ.

则μ叫做M的反模糊素理想.

定义13 设P,A,B是Γ-环M的理想,如果AΓB⊇P⟹A⊇P,B⊇P.则P叫做M的反素理想.

定理3 设μ是Γ-环M的一个反模糊素理想,若Imμ表示μ的像,则|Im(μ)|=2.

1)若x,y∈μt, 则x-y∈μt, 因而ρ(x-y)=k=max{ρ(x),ρ(y)};

2)若x,y∉μt, 则x-y∉μt, 因而ρ(x-y)=s=max{ρ(x),ρ(y)};

3)若x∈μt,y∉μt, 则x-y∉μt, 因而ρ(x-y)=s=max{ρ(x),ρ(y)};

4)若y∈μt,x∉μt, 同3).

由条件1)～4)知,ρ(x-y)≤max{ρ(x),ρ(y)}.

另一方面,由定理2知μt是M的一个模糊理想,则对任意的x∈μt,α∈Γ,有xαy∈μt,yαx∈μt,从而ρ(xαy)=ρ(yαx)=k=ρ(x).若x∉μt,α∈Γ,则ρ(xαy)≤s=ρ(x),ρ(yαx)≤s=ρ(x),所以ρ是M的一个反模糊理想.

为了证明νΓρ⊇μ,需要分以下情况：

2)若x≠0M,且x=μt, 则μ(x)≤t, 从而有:

3)若x∉μt, 设u,ν∈M使得x=uαv. 则u∉μt,v∉μt, 从而有:

定理4 设μ是Γ-环M的一个反模糊素理想,则:

1)集合Mμ={x∈M|μ(x)=μ(0M)}是M的一个理想.

2)μ(0M)=0.

证明1)易知,Mμ是M的一个子集,设∀x,y∈Mμ,则μ(x)=μ(0M),μ(y)=μ(0M),因为μ是Γ-环M的一个反模糊素理想,所以μ是M的一个反模糊理想,从而有:μ(x-y)≤max{μ(x),μ(y)}=μ(0M), 所以x-y∈Mμ,这就是说Mμ是M的一个加法子群.另一方面,∀x∈M,α∈Γ,y∈Mμ,则μ(y)=μ(0M),由于μ是Γ-环M的一个反模糊素理想,因而也μ是M的一个反模糊理想,于是,μ(xαy)≤μ(y)=μ(0M).由文献[3]定理1知,μ(0M)≤μ(xαy), 所以μ(0M)=μ(xαy).即xαy∈Mμ.这就是说Mμ是M的一个理想.

2) 由定理3知, |Im(μ)|=2.设Im(μ)={s,t}, 其中t0,设ν和ρ是M上的模糊集, 定义:

显然,ν是M的一个反模糊理想,类似于定理3的证明,有ρ是M的一个反模糊理想且νΓρ⊇μ.易知, 0M∈Mμ,所以ρ(0M)=0,又μ(0M)=t>0,从而ρμ.因为Mμ≠M,且|Im(μ)|=2.则存在x∈M使得μ(x)这就是说νμ,这与μ是Γ-环M的一个反模糊素理想矛盾,故假设不成立,这说明μ(0M)=t=0.

定理5 设μ是Γ-环M上的一个模糊集,若|Im(μ)|=2,μ(0M)=0,Mμ={x∈M|μ(x)=μ(0M)}是M的一个反素理想,则μ是Γ-环M的一个反模糊理想.

证明因为|Im(μ)|=2,μ(0M)=0,不妨设Im(μ)={t,0},这里t>0.首先证明μ是Γ-环M的一个反模糊理想.设x,y∈M,α∈Γ.

1)若x,y∈Mμ,则x-y∈Mμ,因而μ(x-y)=0=max{μ(x),μ(y)};

2)若x,y∉Mμ,则x-y∉Mμ,因而μ(x-y)=t=max{μ(x),μ(y)};

3)若x∈Mμ,y∉Mμ,则x-y∉Mμ, 因而μ(x-y)=t=max{μ(x),μ(y)};

4)若y∈Mμ,x∉Mμ,同(3),

由条件1)～4)知,μ(x-y)≤max{μ(x),μ(y)}.

另一方面,若x∈Mμ,因为Mμ是M的一个反素理想,则Mμ是M的一个理想,从而有xαy∈Mμ,yαx∈Mμ,这样,μ(xαy)=μ(yαx)=0=μ(x);若x∉Mμ,则μ(xαy)≤t=μ(x),μ(yαx)≤t=μ(x).

综上可知,μ是Γ-环M的一个反模糊理想.

定理6 设θ:M→M′是一个Γ-满同态,μ是Γ-环M上的θ不变反模糊理想,且Im(μ)={t0,t1,…,tm}, 这里t0>t1>…>tm,若μtm⊂μtm-1⊂…⊂μt0=M,则θ(μtm)⊆θ(μtm-1)⊆…θ(μt0)=M′.

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