● (杭州市第二中学 浙江杭州 310056) ● (长征中学 浙江杭州 310011)

自浙江省高考自主命题以来，数学高考理科试题立体几何大题的命制之间既有传承，也有变化.在保持考查基本功能的基础上，不断丰富考查的内容和形式，取到了很好的区分、选拔人才和指导高中数学教学的作用.

1 大纲与课标的考核要求

大纲版教材将立体几何内容安排在高二教材的第9章，并区分为A版和B版.A版强调用综合法解决立体几何问题，按公理化体系、知识的逻辑关系安排内容；B版补充空间向量的知识，强调利用空间向量解决与立体几何相关的问题.

随着新课程的进入，人教A版教材为适应《课程标准》的要求，将立体几何内容和进度安排作了较大的调整.在内容安排上强调螺旋上升，分层递进，逐步到位.在教学要求上强调采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.

对理科的考试要求而言，大纲的要求与课标的要求基本一致.以空间点、线、面的位置关系(特别是平行、垂直、角度)来考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力，或利用空间向量解决立体几何问题(空间向量为立体几何中某些用综合法解决时技巧性较大的问题提供了通法).

2 试题特点分析

2.1 重点问题重点考

试题多以三棱锥、四棱锥为载体，考查基本的知识和方法，譬如平行、垂直、线面角、二面角等.这几个方面是立体几何中最重要的知识，它们一起构成了立体几何知识的主干.

2.2 常规问题反复考

自主命题以来，虽然经历了由大纲教材向课标教材的转变，但高考试卷中立体几何部分却相对稳定.如果仅从试题考核的知识和方法角度来看，大纲版和课标版的试题没有本质的差异.总体来说，考核内容常规，主要体现在2个方面：一是题目选用背景常规，所用几何载体基本常规；二是题目的设问比较常规，基本上都是2个小题，第(1)小题以证明平行或垂直为主，第(2)小题则以求解角度或长度为主.这也契合高中立体几何定性和定量地研究空间中点、线、面位置关系的定位，它一方面是空间想象能力的外显，另一方面是对计算能力和逻辑思维能力的良好考查.

2.3 新颖问题变着考

立体几何大题的新颖性体现在2个方面，即试题背景的有别常规和设问的视角变化.试题在保持常规考核的基础上，也进行了变化和探索.通过在试题背景和问题设计上加入一些新的元素，避免了试题整体上的审美疲劳，在不断重复中寻求变化，并形成了很好的亮点.2004年给出的几何体稍别于常规，将2个矩形进行直二面角的拼接，或者可以理解为长方体的切割，不落俗套;2005年则在第(3)小题中考查“当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心”,对“题海战术”是一个不小的打击;2008年则以组合图形作为背景;2010年的试题则以平面图形的翻折为背景，设问也一改常规，2个小题都考核定量的计算，而将定性的考核放到选择题和填空题之中.

2.4 垂直关系年年有

垂直关系是立体几何问题的核心，或是线线、线面垂直，或是面面垂直，它是立体几何问题综合的枢纽．从解决问题的方法来说，若用向量法，则这种垂直是建立空间直角坐标系的基础.而在用综合法解题过程中，垂直关系又是平行、垂直、角度等关系转化的枢纽，也是求距离、长度等问题的基本模型.

3 求解思路探寻

为了更好的复习迎考，为解题教学提供帮助，下面对试题求解过程作一简要分析.

(1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使点C与点A′重合，求线段FM的长.

图1

图2

4 教学启示

4.1 完善知识网络

纵观历年立体几何试题，考查的都是最基本的点、线、面的位置关系以及它们的度量.因此在复习时，要建立起完整的知识网络，特别是研究定理间的关系，绘制出知识网络图(如图3)，使基础知识系统化.

图3

这样,不仅能理解各部分知识的纵向联系、横向联系，理清脉络，抓住知识主干，而且便于记忆，便于解决问题时的提取.

4.2 积累常规模型

图形是解决立体几何问题的思考平台，在提升看图和画图能力的基础之上，还可多积累一些立体几何中的常规图形的模型.例如正方体、长方体、正四面体等.

建立空间观念，培养图形意识.每年的立体几何试题虽然给出了图形，但如果空间观念不强，那么图形所揭示的点、线、面的位置关系就理不清.譬如2005年数学高考试题，很多学生找不到“O在平面PBC内的射影”在哪里；2006年找不到“CD与平面ADMN所成的角”.对于同一个图形，还要善于从不同的角度去观察和理解，可以是俯视、仰视、侧视、斜视，从中体会不同的感觉，以开拓空间视野，培养空间感.

4.3 教会如何思考

和其他问题一样，对立体几何大题的求解，首先是对题目已知条件的分析，结合所求的问题选择合适的方法.一般地，可以将已知条件尽可能的标示在题图上，甚至挖掘出隐含的条件和结论.根据问题类别确定相应的解决方法,譬如证明线面平行可以转化为证明线线平行，也可转化为证明面面平行.有时还可考虑和其他知识的巧妙结合，譬如函数知识，或是平面几何中的结论或定理等.只有教会了学生如何思考，学生才会在不断变化的题目背景中找到最佳的方法解决问题.

4.4 发展思维品质

立体几何试题常考常新.有的背景新颖、有的求解思路独特，要求考生具备良好的思维品质，才能在考试时有沉着、冷静的心态，寻求最优的解答方法．空间想象能力、计算能力和逻辑思维能力是解决立体几何大题的基础.