● (襄樊市第一中学 湖北襄樊 441000)

为了方便进行空间拓广，对结论稍作变动：令λ=λ1∶λ2(λ1+λ2≠0),则

并讨论如下问题：O为空间内任意一点，M为△ABC所在平面内不同于点A,B,C的一点，且

S△MAB∶S△MBC∶S△MAC=λ1∶λ2∶λ3,

分以下3种情形讨论：

情形1点M在△ABC的内部.

图1

如图1所示，延长AM交BC于点D，过点B作BE⊥AD,垂足为点E，过点C作CF⊥AD,垂足为点F.由S△MAB∶S△MAC=λ1∶λ3及△MAB与△MAC有公共边MA，得

BE∶CF=λ1∶λ3，

于是

BD∶CD=λ1∶λ3,

又

于是

所以

整理可得

图2

情型2点M在△ABC三边所在的直线上，且不与点A,B,C重合.

同理可得如下结论:

(1)若点M在线段BC的延长线上，则

(2)若M在线段CB的延长线上，则

(3)若点M在线段AB上，则

(4)若点M在线段AB的延长线上，则

(5)若点M在线段BA的延长线上，则

(6)若点M在线段AC上，则

(7)若点M在线段AC的延长线上，则

(8)若点M在线段CA的延长线上，则

情形3点M在△ABC外，且不在△ABC三边所在的直线上.

图3

为了方便讨论，将△ABC外的区域分成如图3所示的6个部分.由于探求过程与情形1完全类似，这里只列出最终结论.

(1)若点M在区域Ⅰ内，则

(2)若点M在区域Ⅱ内，则

(3)若点M在区域Ⅲ内，则

(4)若点M在区域Ⅳ内，则

(5)若点M在区域Ⅴ内，则

(6)若点M在区域Ⅵ内，则

受文献[1]的启发，笔者对上述结论进行了分析、比较，最终发现可以将以上16个式子统一起来，下面以定理的形式给出.

定义

于是得到如下定理:

定理2O为空间内任意一点，点M是△ABC所在平面内不同于A,B,C的一点，且

T△MAB∶T△MBC∶T△MAC=λ1∶λ2∶λ3，

则

[1] 陈云烽.一个与三角形相关的向量等式的讨论[J].中学数学教学参考，2006(10):26-28;2006(11):26-29.