● (龙湾中学高二(5)班 浙江温州 325000)

我们在解决几何问题时往往会遇到这么一类题目：点在动或者线、面在动.这类题目有点难，难的是它让人摸不着头脑，不知从何处下手.但有一点十分关键：极端位置.

例1如图1，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是________.

(2009年浙江省数学高考试题)

图1

当看完这道题后,你会发现这正是一道涉及动点的距离问题.动点的不确定性是本题的难点,但问题的关键是需要从变化中找出不变的关系.于是我们选取几种位置,比较它们的大小,不难发现t会随着点F的左移而变小.于是就合情合理地这样假设:在最左端t有最大值,反之在最右端取到最小值.

例2正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________.

(2006年浙江省数学高考试题)

另解构造一个正方体,如图2.若将平面AEBF看作平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影构成的图形为正方形AEBF.因为AB=1，所以

若将ABH看作平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影构成的图形为三角形ABH.因为AB=1，所以

图2

图3

例3如图3,在棱柱的侧棱A1A和B1B上各取一动点P，Q满足A1P=BQ，过点P,Q,C的截面把棱柱分成2个部分,则其体积之比为

( )

分析由题意得只要满足A1P=BQ,体积之比就不变,因此取极端位置就是解决此题的关键.

图4

例4已知正方形的4个顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1).一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点Ρ1后，依次反射到CD,DA和AB上的点P2,P3和P4(入射角等于反射角).设点P4的坐标为(x4,0)，若1

( )

通过对以上例题的探讨,可知极端位置在解决某些几何问题时能起到关键的作用.其实,这类问题并不可怕，也并非那么复杂，把复杂的问题简单化，用极端位置来求解正能达到事半功倍的效果.