计算机在地面探测问题数学建模中的应用研究

2010-11-09刘锋

黑龙江生态工程职业学院学报 2010年1期

关键词：队员队伍速度

刘锋

(鸡西大学电气与信息工程系,黑龙江鸡西 158100)

计算机在地面探测问题数学建模中的应用研究

刘锋

(鸡西大学电气与信息工程系,黑龙江鸡西 158100)

对于地面探测问题,我们建立了相关的最小路径数学模型,利用MATLAB数学软件和 CAD制图软件求解并作图,利用VB语言进行编程,模拟出整个探测过程。考虑到实际情况,在探测过程中忽略了一些可能影响探测行进速度的因素,着重对行进路线的最小化进行了最优分析。在给出现有问题答案的同时,还可利用该模型用尽可能少的人力和物力,在最短的时间内完成对固定区域的全方位探测。

最小路径分析;模糊数学模型;GPS定位仪;可行性方案

1 问题提出

5·12汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。救灾指挥部紧急派出多支小分队,到各个指定区域执行探测任务,以确定需要救助的人员的准确位置。在其他场合也常有类似的探测任务。在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是:制定探测队伍的行进路线,对预定区域进行快速的全面探测。通常,每个探测人员都带有 GPS定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。队伍中还有一定数量的卫星电话。GPS可以让探测人员知道自己的方位。步话机可以相互进行通讯。卫星电话用来向指挥部报告探测情况。

下面是一个简化的探测问题。有一个平地矩形目标区域,大小为11 200m×7 200m,需要进行全境探测。假设:出发点在区域中心;探测完成后需要进行集结,集结点 (结束点)在左侧短边中点;每个人探测时的可探测半径为 20m,探测时平均行进速度为0.6m/s;不需探测而只是行进时,平均速度为1.2m/s。每个人带有 GPS定位仪、步话机,步话机通讯半径为1 000m。探测队伍若干人为一组,有一个组长,组长还拥有卫星电话。每个人探测到目标,需要用步话机及时向组长报告,组长用卫星电话向指挥部报告探测的最新结果。现在有如下问题需要解决:

(1)假定有一支 20人一组的探测队伍,拥有 1台卫星电话。请设计一种你认为耗时最短的探测方式。按照你的方式,探测完整个区域的时间是多少?能否在 48h内完成探测任务?如果不能完成,需要增加到多少人才可以完成。

(2)为了加快速度,探测队伍有 50人,拥有 3台卫星电话,分成 3组进行探测。每组可独立将探测情况报告给指挥部门。请设计一种你认为耗时最短的探测方式。按照你的探测方式,探测完整个区域的时间是多少?

2 模型假设与说明

2.1 模型假设

(1)假设在探测过程中不考虑余震、天气、个人等因素对探测进程的影响;

(2)假设在探测过程中 GPS定位仪、步话机、卫星电话等设备不出故障;

(3)假设在探测到某目标后无时间间隔继续探测下一目标。

2.2 符号说明

Si(i=1,2,3,4…)S为各段路程,i为各段路程顺序号;Ti(i=1,2,3,4…)T为各段路程探测或行进使用的时间,i为各段路程顺序号;ti′(i=1,2,3,4…)甲组各段探测路径所需时间;ti(i=1,2,3,4…)丙组各段探测路径所需时间;V1探测时平均行进速度;V2不需探测只行进时平均速度;Ts为 B完成探测任务的时间;Tg为 B在拐弯处探测时间;T完成总任务的时间;A探测队伍中左侧排头;B探测队伍中左侧排头;r每个人探测时的可探测半径。

3 模型的建立与求解

3.1 问题一

考虑到每个人探测到目标,需要用步话机及时向组长报告,组长用卫星电话向指挥部报告探测的最新结果,则在探测队伍中每名探测队员应该与组长保持一定的距离 (原则上不能超过1 000m)我们可先将队伍排成一排,组长位于中间位置,由于每名队员的可探测的半径为 r=20m,则此时队伍排头队员与组长的距离为 380m<1 000m。为了对该平地矩形目标区域进行全境探测,我们可进行地毯式扫描探测。

队伍在行进过程中的拐弯处,右端排头 A与左端排头 B的探测面积不同,则行进路程会存在一定差异。如果让每名队员始终以恒定的速度进行探测则可能会出现部分队员由于行进太快,与组长失去联络等情况。因此我们假设在探测过程中组长随时协调每名队员的行进速度以保证所有队员与组长的距离始终在步话机的通讯半径1 000m的范围内。

分析探测行进路线 (如图1),其中:粗实线表示探测队伍中组长的探测行进路线,细实线表示左端排头队员 B的探测行进路线,20名队员排成一排探测的距离是 800m,考虑行进过程中队员之间探测速度的差异以及拐角区域等因素影响,为便于计算我们把探测目标区域等分成 14×9=126个800×800m2的矩形区域。

可以确定在探测过程中,队伍左端排头 B探测面积最大,耗时最长,因此我们只分析 B探测所用的时间 Ts,我们可根据探测路线将探测行程分成若干段,每段所用的时间为 Ti(i=1,2,3,4…)则有 :Ti=Si/Vi

(1)所有队员以 V2=1.2m/s的速度从出发点到达指定探测开始位置,其中 B所用的时间

(2)队伍排列完成后,所有队员以 V1=0.6m/s的速度开始探测,为便于计算我们可根据探测路线将探测行程分成若干段,(如图2)每段所用的时间为 Ti,

B在拐弯处会遇到探测拐角,因此要完成全境探测,B需要以 V1=0.6m/s的速度向左前方 45°进行探测然后以 V2=1.2m/s的速度原路返回 (如图3)。

则每一处拐角所花的时间 Tg有:

B在全程中共有 14处相同的拐角,由此我们可算出 B探测任务所用的时间 Ts

原有的 20名队员 (以组长为代表)以 V2=1.2m/s的速度从出发点到达如上指定开始位置,队员 C处于探测队伍的左端。组长以 V2=1.2m/s的速度向前行进 40m,然后以 Vi=0.6m/s的速度向前探测,同时队员 C以 Vi=0.6m/s的速度探测 40×800m2的区域。当队员 C完成 40×800m2的探测任务到达另一端时,组长已向前行进 800m,此刻队员 C以V2=1.2m/s的速度追赶其他队员。当队员 C重新追上组长并处于探测队伍的一端时,组长再以 V2=1.2m/s的速度向前行进 40m,然后以 V1=0.6m/s的速度向前探测,同时队员C再以 V1=0.6m/s的速度探测 40×800m2的区域。当队员C又一次完成 40×800m2的探测任务到达另一端时,组长又向前行进了 800m,此刻队员 C还需以 V2=1.2m/s的速度追赶组长。依次循环,直到探测任务完成。该数学模型的相关计算如下:

组长以V2=1.2m/s的速度向前行进 40m的距离所需的时间;队员 C完成 40×800m2的区域探测任务到达另一端所需要的时间;ty时间内组长向前行进了 800m;此时,组长与队员 C的距离;此时队员 C与组长的最远距离为903.77(m)<1 000m,也能保证队员 C用步话机及时向组长报告;队员 C追上组长的时间;此时组长又向前行进了 800m;于是每个追赶循环过程,组长一共向前行进了 800+800+40=1 640m。在每一个追赶循环过程中次方案比上一方案节省的时间为。分析路线图可知组长共向前行进100 800m,则整个过程中最多可有个追赶循环过程,则总共节省的时间。因为 48.43-0.56=47.87h<48h,所以上述方案可行,即增加一名队员即可保证在 48h内完成探测任务。

3.2 问题二

分组探测时仍可采用上题的数学模型,即队员以并排方式,组长位于队伍中间协调组员向前探测。根据线性规划理论可将目标区域分成三块,让每组队员分别完成探测任务并到达集结点的时间差尽可能小,经分析可分为甲组 20人,乙组 20人,丙组 10人,其各组探测路径如图4。

下面对每组探测路径所需时间进行数学计算:

(1)甲组。

在探测过程中,仍需要比较一组探测队伍中左右两端排头组员的探测路径长度,如上可只分析探测路径最长的排头组员的探测时间。经分析甲组中右端排头所需的时间最长,其各段探测路径所需时间如下:

注:黑粗实线表示甲乙组(两组对称)探测队伍中组长的探测行进路线,灰粗实线表示组探测队伍中组长的探测行进路线,细虚线表示队伍一端排头队员的探测行进路线。

(2)乙组。

由于乙组队伍探测完成所分区域及路径与甲组完全相同,并且甲乙两组组员人数相同,所以乙组队伍探测完成所分区域所需的时间

(3)丙组。

采用相同的分析方法分析丙组队伍中右端排头组员的探测路径,其所需时间如下:

分析三组队伍探测完成各自所分区域所需的时间甲组20.13h、乙组20.13h、丙组19.84h。此方案在丙组完成任务20.13-19.84=0.29(h)后,甲乙两组同时完成探测任务,即整个目标区域探测完成需要20.13h。最优的探测方案应为 3组队伍同时完成任务,鉴于0.29h相对于20.13比较短暂,且此方案探测路径比较简单,重复路线较少,因此,此方案可行。