崔 琛， 李 辉， 余 剑

（电子工程学院，安徽 合肥 230037）

0 引言

调制方式是通信信号的一个重要特征，其基本任务是在多信号环境与由噪声干扰的条件下确定出接收信号的调制方式和信号的其它参数，从而为进一步的分析处理信号提供依据[1]。在通信对抗侦察中，调制识别可以为解调器正确选择解调算法提供依据，最终获得有用的情报信息；在通信对抗干扰中，调制识别有助于选择最佳干扰方式，也有助于设计干扰抵消算法，抑制和破坏敌方通信，同时保证友方通信。

MPSK信号是常用的数字信号调制方式之一。文献[1]中采用判决理论方法，通过对相位似然比函数进行幂级数展开近似，得到准对数似然比分类准则，但该方法只能分类BPSK与QPSK信号。文献[2]中利用Tikhonov函数近似相位的概率密度函数，通过推导证明了相位的偶数阶统计矩是随M单调递增的函数，以此为基础文中提出了一种基于相位的偶数阶统计矩识别MPSK信号的方法，文中仿真结果表明，利用相位的8阶矩，在信噪比为0 dB时，识别正确率为0.9，在信噪比为2 dB时，识别正确率约为0.98。文献[3]中利用傅立叶级数近似相位的概率密度函数，证明了相位的偶数阶统计矩是随 M 单调递增的函数，与文献[2]中的方法相比，有更好的识别概率，而且计算更简单，文中仿真表明在错误识别概率为 0.01时，与文献[2]中的方法相比所需信噪比下降2 dB。文献[4]中在文献[2]的基础上，在 M =1 ,2,4,8的条件下对由 Tikhonov函数近似得到的相位概率密度函数进一步化简，由化简得到的公式提出了一种次优的识别算法，与文献[2]中的方法相比，有更好的识别概率，文中仿真结果表明，在正确识别率为0.9时，所需信噪比下降约2.5 dB。

文献[2-4]中直接利用Hilbert变换或IQ正交两路信号提取瞬时相位，本文利用Morlet小波变换提取瞬时相位，通过推导可知，由Morlet小波变换得到的瞬时相位概率密度函数与利用 Hilbert变换得到的瞬时相位概率密度函数有相同的形式，因此可以通过Tikhonov函数或傅立叶级数近似相位的概率密度函数，然后由文献[2-3]中提出的相位偶数阶统计矩或文献[4]中提出的次优算法识别 MPSK信号。与文献[2-4]中利用Hilbert或IQ提取瞬时相位相比，通过Morlet小波变换噪声得到了抑制，MPSK信号获得了信噪比增益，因此利用Morlet小波变换有更好的识别概率。

1 MPSK信号的Morlet小波变换与信噪比增益

Morlet小波为解析小波，其表达式为：

其中， ()gt为高斯窗：

高斯窗 ()gt的Fourier变换 ()Gω为：

由高斯函数的性质，定义g(t)的支撑集为[-4 σ,4σ]， G (ω)的支撑集为[-4/σ, 4 /σ]。

Morlet小波的基函数ψ (a,b)(t )为：

其中，a与b分别为Morlet小波的尺度参数与平移参数。

基函数ψ(a,b)(t)的Fourier变换ψ(a,b)(ω)为：

其中， |ψ (a,b)(ω) |的支撑集为如果＞＞ 1 ，则 |ω |＞ω0时有G(ω)≈ 0 。因此，Morlet小波可看成是近似解析的。通常选取ω0=5，σ≥1。

对MPSK信号：

其中，W Ts(a,b)、ξ(b)分别为信号s(t)与噪声ε(t)的Morlet小波变换。

当(k - 1)T ≤t ＜ kT 时，MPSK的 Morlet小波变换WTs(a,b)的表达式为：

其中， θ =φi+θc。令b =n Ts，其中 n =1 ,2,…, N ，N为抽样点数， Ts为抽样周期，则对PSK信号：

其中，|W Ts( a,n Ts)|为信号的小波模，φs为s(t)信号的瞬时相位。

在一个码元周期内MPSK信号的小波模为恒定值，瞬时相位为线性相位、初始相位与调制相位的和，瞬时相位中包含了MPSK信号的有用信息。在码元跳变处，由于相位的突变，小波模有较大的峰值。

输入噪声ε(t)为高斯过程，而Morlet小波可等效为一线性时不变系统，则输出噪声ξ(b)也是一高斯随机过程，其功率谱密度为：

从式（11）中可以看出，输出噪声()bξ的功率谱密度为高斯型的，不再是白的。

选取尺度参数 a =ω0/ωc，即ωc=ω0/a ，此时PSK信号的载波位于Morlet小波滤波器的中心，ξ(b)的功率为：

其中Bε为()tε的半带带宽，而()xΦ的定义为：

Φ( x )的值可查表得到。

假定信号 s (t)的半带带宽为B，则当 a =ω0/ωc，σ=4 /aB ，Bε=B 时，输出噪声ξ(b)的功率为：

输入信噪比为：

输出信噪比为：

MPSK信号通过Morlet小波变换的信噪比增益Gain为：

即MPSK信号通过Morlet小波变换后约有6.5 dB的增益。

注意这是载波位于 Morlet小波滤波器的中心时所得到的最大增益，此时Morlet小波的频率分辨率最高，时间分辨率最低。在实际的应用中要与时间分辨率折中考虑。

2 Morlet小波变换后瞬时相位的概率密度函数

通过中值滤波器滤除在码元跳变处小波模的峰值，则WTx(a,b)是一恒包络正弦波信号与窄带高斯过程的和。令：

则 W Tx(a,b)可写为：

WTx(a,b)可写为模与相位的形式：

由推导可知，φ的概率密度函数 ()fφ为：

定义0γ为：

则式（17）可化为关于0γ的形式：

其中()Qx的定义为：

则()fφ可近似为Tikhonov函数的形式：

其中， I0(x)为零阶修正贝赛尔函数。

比较式（26）与文献[2]中的式（10）可知，式（26）与文献[2]中的式（10）有相同的形式，只是在式（26）中，γ0为Morlet小波变换后的信噪比，因此可以利用文献[2,4]中提出的方法识别 MPSK信号，也可以利用傅立叶级数近似式（24），从而利用[3]中提出的偶数阶统计矩识别MPSK信号。由第1节中的分析可知，信号通过Morlet小波变化后获得了信噪比增益，因此与文献[2-3]中直接利用Hilbert或IQ正交两路提取瞬时相位相比，通过Morlet小波变换得到的瞬时相位更精确，从而有更好的识别正确率。

这里利用文献[4]中的方法为例识别MPSK信号。 首先提取信号的瞬时相位，然后计算lα，α=0 ,1,2,3来识别MPSK信号，其中lα的定义为：

其中0=α，对应CW信号，1=α，对应BPSK信号，2,3α=以此类推。则最大的lα对应的M即为信号PSK的阶数。下面通过仿真验证。

3 计算机仿真结果分析

在本节中，给出了利用Morlet小波变换的相位信息进行MPSK信号调制方式识别的计算机仿真结果。仿真条件：抽样速率 fs=1 ，载波频率 fc=0.1，码元周期 T =126，码元个数为50，噪声为窄带高斯噪声，带宽与信号相同。尺度参数a取为8，σ取为2。仿真结果如图1所示，仿真结果表明，同样的识别正确率，利用Morlet小波与利用Hilbert法相比，所需信噪比要低约3 dB。

图1 识别正确率随信噪比变化曲线图

4 结语

本文针对MPSK信号的分类问题，给出了MPSK信号经Morlet小波变换后相位的概率密度函数。受加性高斯白噪声污染的MPSK信号经Morlet小波变换后，相位的概率密度函数与利用 Hilbert变换得到的相位概率密度函数有相同的形式，因此可以利用文献[2-4]中提出的方法识别MPSK信号。由于Morlet小波对噪声有良好的抑制作用，因此与直接利用Hilbert变换或IQ正交两路相比，得到的瞬时相位更精确。仿真表明，采用文献[4]中的次优识别算法，在正确识别率为0.9时，采用Morlet小波变换，所需信噪比低约3 dB。提高抽样速率，增加抽样点数，可以得到更好的识别结果。

[1] Kim K, Polydoros A. Digital Modulation Classification:The BPSK Versus QPSK Case[J]. Proc.MILCOMM, 1988, 2(10): 431-436.

[2] Soliman S S, Hsue S Z. Signal Classification Using Statistical Moments[J]. IEEE Trans COMM, 1992, 40(05): 908-916.

[3] Yawpo Yang,Samir S Soliman. An Improved Moment-based Algorithm for Signal Classification[J]. Signal Processing, 1995(43):231-244.

[4] Yawpo Yang,Samir S Soliman. A Suboptimal Algorithm for Modulation Classification [J]. IEEE trans AAES, 1997, 30(01):38-45.