王 轩，王 莉，魏 蔚

(空军工程大学导弹学院，陕西 三原 713800)

轴承故障是感应电动机常见故障之一，约占电动机故障的30%～40%。在安装、润滑和使用维护都正常的工作条件下，轴承疲劳失效从滚道和滚动体表面下开始，并逐渐扩展，经过一段时间运转，便会出现疲劳剥落和磨损而不能正常工作，导致轴承故障[1]。

目前采用的几种方法在提取轴承故障特征方面各有所长，但也存在一些不足，如振动信号的频谱分析法，虽然能较明显地凸显故障特征，但易受电动机工作环境影响，难以推广[2]；三相平均功率的故障诊断法[3]虽然能够制成非入侵式，但对于各相电压、电流采样要求较为苛刻，增加了诊断成本;而基于“频点”的Fourier分析法，在处理电动机实际运行时的非平稳信号并不理想[4]。通过理论分析发现，轴承故障时，单相瞬时功率中的故障特征更为丰富；而小波包变换是一种基于“频带”的时频分析方法，非常适合于非平稳信号的分析。

1 轴承故障在瞬时功率中的表现

假设感应电动机的电源是理想的三相正弦交流电压，并且电动机本身结构是对称的。正常运行的感应电动机相电流是理想的正弦波。以A相为例，设感应电动机相电压和相电流分别为：

(1)

式中：Um，Im分别为相电流基波电压和电流的幅值；ω1为基波频率δ1所对应的角频率；φf为电动机的功率因数角。

则A相的瞬时功率为：

(2)

当轴承出现故障时，其振动特征会有明显变化，从而引起电动机气隙的振动，气隙的磁通受到调制，调制谐波又在定子绕组中感应出相应的谐波电流。轴承振动频率反映到定子电流中的特征频率为[2]：

fbng=|f1±nfv|

(3)

式中：f1为供电电源频率；n=1，2，3，…；fv为轴承故障时振动特征频率，可表示为：

(4)

(5)

(6)

式中：fe为轴承外沟道故障特征频率；fi为内沟道故障特征频率；fb为轴承钢球故障特征频率；Z为轴承钢球数；frm为电动机转速；Dw为轴承钢球直径；Dpw为球组节圆直径；α为接触角。

设A相电流为：

cos[(ω1-nωv)t-φ1n]+Ibm2n·

cos[(ω1+nωv)t-φ2n]}

(7)

式中：Im，Ibm1n，Ibm2n分别为基频、f1-nfv和f1+nfv分量电流的幅值；φf，φ1n，φ2n分别为基频、f1-nfv和f1+nfv分量电流落后于电压的相位角；ωv为故障时振动特征频率所对应的角频率。

此时，A相瞬时功率为：

(8)

对比(7)，(8)式可以发现，故障后单相瞬时功率信号较故障后电流信号含有更为丰富的信息量，并且与正常运行时的单相瞬时功率信号相比，除了直流分量和2倍频分量2f1外，2f1±nfv分量、nfv都可以作为诊断轴承故障的特征量。至于直流分量，可在信号预处理中叠加一个与其大小相近的负直流分量，将其过滤，从而避免小波包分解时产生频谱混叠的现象。

2 小波包及其频率特性

小波变换在时域和频域都具有局部化能力，是一种基于频带的时频分析方法，特别是小波包变换，其较好地解决了二进小波变换固有的高频段频率分辨率低的缺陷，非常适合于电动机运行时非平稳信号的分析。

令正交小波基的滤波器系数分别为hn和gn，并将尺度函数φ(t)改记为w0(t)，小波函数ψ(t)改记为w1(t)，于是关于φ(t)和ψ(t)的二尺度方程变为：

(9)

由上式定义的函数集合{wn(t)}n∈Z称为由w0(t)=φ所确定的小波包。小波包{wn(t)}n∈Z是包括尺度函数w0(φ)和小波母函数w0(ψ)在内的一个具有一定联系的函数的集合。与小波分解相比，小波包分解除了有尺度参数和平移参数之外，还增加了一个频率参数n。用w2n和w2n+1将Wj空间不断地二进滤波为相对低频和相对高频的两个子频带，分解过程如图1所示。

图1 三层小波包分解过程示意图

当进行三层小波包分解时，得到(3,0)至(3,7)8个子频带，但由于Matlab算法程序编制的原因，在小波包分解二层开始，会出现频带交错现象[5]，以三层为例，以上8个子频带的频率由低到高的顺序为(3,0)，(3,1)，(3,3)，(3,2)，(3,6)，(3,7)，(3,5)，(3,4)。

通常，进行小波包分解时，只是对感兴趣的频带进行分析，当分解的级数较大时，可以用一个通式来表示同一级所有子频带编号按照频率由低到高排列的顺序。用j表示对信号f(t)作第j次分解，设第j-1次分解后得到的2j-1个子频带已按频率由低到高的顺序排列为n0,n1,…,n2j-1(nj应由实际编号代替)，则第j次分解得到的N=2j个子频带按频率由低到高的顺序排列为：

n0,n1,…,n2j-1(2j-1+n2j-1),(2j-1+n2j-1-1),…，(2j-1+n1),(2j-1+n0)

(10)

将电动机运行时的单相功率作小波包分解，求取小波包分解子频带所对应节点系数的均方根值(Root Mean Square，RMS)，即：

(11)

式中：j为信号分解层数，即小波包分解的尺度参数；n为小波分解的频率参数(n=0，1，2，…，2j-1)；xRMS(j,n)为小波包分解系数任一节点的RMS值。

电动机故障情况下的信号与正常信号相比，故障信号所对应的子频带内信号的能量发生了较大的变化，该子频带小波包分解系数的RMS值将会明显改变。因此，计算出故障特征分量对应的子频带节点以及该节点系数的RMS值，将其与正常时信号所对应节点系数的RMS值相比较，即可对故障实现准确检测。

3 仿真验证

设轴承钢球直径Dw为7.94 mm，球组节圆直径Dpw为39.04 mm，转轴转速为150 r/min，模拟6205轴承钢球故障，则轴承内圈转动频率为29.25 Hz(n=1)[6]，依照故障频率，令：Im=10，Ibm11=Ibm21=0.8，fv=29.25，φf=φ1n=φ2n=π/4，采样频率为1 000 Hz，采样1 024个数据，则电流信号可表示为(A相为例)：

iaf=10cos(50t-π/4)+0.8cos(20.75t-

π/4)+0.8cos(79.25t-π/4)

(12)

根据瞬时功率小波包分解法，当电动机轴承故障时，首先求取A相的瞬时功率信号，并进行滤波处理(图2)。为了更好地抑制频谱混叠与频谱泄漏，在此选用db40小波进行仿真[7]。对A相瞬时功率信号进行4层小波包分解，得到(0～31.25)Hz，(31.25～32.5)Hz，…，(468.75～500)Hz共16个频带，由(8)式可知，包含故障特征频率(fv=29.25 Hz，2f1-fv=70.75 Hz，2f1+fv=129.25 Hz)的子频带所对应的小波节点分别为(4,0)，(4,3)，(4,6)，其小波包分解系数如图3所示。按(11)式求取上述3个节点的RMS值，并定义均方根值变化率：

(13)

式中：RMSb_n表示故障时节点n系数的均方根值；RMSok_n表示正常时节点n系数的均方根值，其结果如表1所示。

图2 A相故障电流及瞬时功率信号

图3 各节点小波包分解系数

表1 小波包分解系数RMS值

4 结束语

电动机轴承发生故障时，单相瞬时功率中将含有丰富的故障信息，而对故障特征干扰较大的基波亦转化为直流分量，预处理时便于滤除；采用更适合于非平稳信号处理的小波包变换对电动机单相瞬时功率进行分解，将故障特征频率fv，2f1-fv，2f1+fv所在子频段节点系数的均方根值变化率作为特征指标，从而达到突出故障特征，提高故障诊断准确度的效果。通过仿真验证了此方法的可行性。