李卫平

(西华师范大学物理与电子信息学院,四川南充 637002)

1 原题及原参考解答

为了方便读者,将第26届全国中学生物理竞赛复赛第一大题的第5小题的原题及评分参考解答转录于下.

题目:如图1,给静止在水平粗糙地面上的木块一初速度,使之开始运动.一学生利用角动量定理来考察此木块以后的运动过程:“把参考点设于如图所示的地面上一点 O,此时摩擦力f的力矩为0,从而地面木块的角动量将守恒,这样木块将不减速而做匀速运动.”请指出上述推理的错误,并给出正确的解释.

参考解答:

该学生未考虑竖直方向木块所受的支持力和重力的力矩.仅根据摩擦力的力矩为零便推出木块的角动量应守恒,这样推理本身就不正确.事实上,此时支持力的作用线在重力作用线的右侧,支持力与重力的合力矩不为0,木块的角动量不守恒,与木块做减速运动不矛盾.

图1

2 对原参考解答的分析

显然,参考解答是将减速运动过程中的木块始终视为大小不可忽略的刚体的.在此前提下,参考解答首先认为,作用于木块的重力和支持力对参考点O的力矩不为零,因而木块对参考点O的角动量不守恒;进而认为,在木块的角动量不守恒时,这与木块速度大小变化的客观事实不矛盾.学生之所以推出木块不减速而做匀速运动的错误结论,是因为未注意到作用于木块的对参考点 O的合力矩不为零.

从参考解答的文字表述来看,其分析论证中包含着这样的观点:即认为角动量守恒与否和速度大小变化与否是可以构成矛盾冲突的两个事实——在物体角动量不守恒而速度大小变化时二者不构成矛盾;在物体角动量守恒而速度大小变化时或者角动量不守恒而速度大小不变时二者便构成矛盾.笔者认为这样的观点是欠妥的.

为了说明问题,不妨设想将相对地面静止的参考点O由地面向上平移至与木块质心C的等高处(如图2所示).此时,木块对参考点O的角动量便由原来的不为零变成现在的始终为零,摩擦力、重力、支持力对O的合力矩相应地由原来的不为零变成现在的为零,而木块却仍做减速直线运动——其运动性质绝不会因参考点 O的位置改变而改变.按照参考解答的观点,此时木块角动量守恒的事实与其做减速运动的事实便构成了矛盾.在这种情况下,该学生如果根据木块的角动量守恒,推出木块将不减速而做匀速运动,我们将如何去论证学生的推理错误呢?

图2

图3

为了说明问题,也不妨设想将木块压薄,使其成为一平放在地面的高度极小而长、宽(垂直于纸面)不变,质量不变的薄木板(如图3所示).此时,木块相对地面上的参考点O的角动量始终为零——这当然也守恒(不难证明,此时支持力和重力的作用线将重合,两力对参考点O的合力矩等于零).在这种情况下,学生如果根据木块的角动量守恒,推出木块将不减速而做匀速运动,我们又将如何去分析论证学生的错误呢?

参考解答的问题其实出在将角动量的守恒与否与速度变化与否视为一种单一的必然关系.一般而言,物体相对参考点的角动量大小取决于相对参考点物体质量的分布情况和速度(大小及方向)的分布情况等两方面的因素.因此,相对选定的参考点,物体角动量变化时物体的速度不一定变化,物体的角动量不变时物体的速度也不一定就不变化,而且即使速度变化也不一定就是速度的大小变化;而相对同一参照系中的不同参考点,物体的角动量一般可能是不同的,但物体的速度却绝不因同一参照系中的参考点的不同而发生变化.所以说,将角动量守恒与否和速度大小的变化与否视为构成矛盾冲突的两个方面的观点是欠妥的.

还须指出的是,参考解答仅仅将运动中的木块视为大小不能忽略的刚体也是欠妥的.原题并未用文字明确说明运动初始时木块的大小相对其距所选定的参考点O的距离是不可忽略的,所以在考察木块以后的直线平动时,学生忽略其大小视其为质点也是可能并且是允许的.而当木块被合理地视为一定条件下的质点时,支持力、重力将在一条竖直线上,作用于木块上的各外力的合力矩为零,木块的角动量守恒,且由于作为质点的木块的速度矢量过参考点O,其角动量将始终为零.而木块事实上却做减速运动.这时显然就无法用木块角动量守恒与否和木块速度大小变化与否能不能构成矛盾来分析论证学生的推理错误了.实际上,作为质点的木块相对地面上的参考点O的角动量为L=r×p,由于r与p的夹角α≡0,所以木块的角动量的大小L=rmvsinα≡0,而无论 v实际变化与否.由此也不可能断定速度的大小 v必然是不变的.前述两种设想中的角动量与速度大小的关系其实也属这种情况.一般说来,当做直线平动的物体的质心速度过研究转动的参考点时,其角动量便恒为零,这是角动量守恒的特殊情况.这时是根本不可能据此判断物体速度大小是否变化的.而当直线运动物体的质心速度不过研究转动的参考点时,方可根据其角动量守恒与否和其他条件相结合来判断物体的速度大小变化与否.

事实上,对题中木块的运动,若将木块视为大小不可忽略的刚体的话,如图4,通过简单的分析计算可知直线平动的木块相对地面上的参考点O的角动量为L=rC×mv[1],其方向始终垂直纸面向里(必须假定木块质心 C的速度v处在直线OC所在的竖直平面内才有这一结论),其大小则为 L=rCmvsinθ=hCmv.由于木块所受合外力矩不为零,所以其角动量是变化的,由于木块的角动量方向不变,所以其大小必然发生变化,由于木块角动量大小表达式中的“hCm”是不变的 ,所以其速度大小v将发生变化.这一推理过程表明了,并非简单地仅仅根据角动量不守恒便可以必然地推断出木块的速度大小变化的结果.相反,被视为刚体的木块其所受合外力矩假若为零的话(比如,在地面光滑摩擦力为零,重力和支持力作用在一条竖直线上的时候),则木块的角动量将守恒.由于木块的角动量方向不变,所以其大小L=rCmvsinθ=hCmv必然不变,由于角动量大小表达式中的“hCm”不为零且是不变的,所以木块的速度大小 v将不变.这一推理过程表明,并非简单地仅仅根据角动量守恒便可以必然地推断出木块的速度大小不变的结果.

图4

3 新的参考解答:学生的两种可能的错误

根据以上分析可知原题中的学生所犯的错误应分两种情况看待.

(1)如果该学生将木块视为一定条件下大小不可忽略的刚体,则存在的错误是:疏忽了重力、支持力的不为零的合力矩,而误认为木块的角动量守恒(这正是参考解答所指出的),因而导出了不符合实际的结论.

(2)如果该学生将木块视为一定条件下大小可忽略的质点,则认为木块角动量守恒(始终为零)是正确的,而存在的错误则是:根据木块的角动量始终为零,得出其速度大小一定不变的推理不具有必然性,因而导出了不符合实际的结论.

1 舒幼生.力学.北京:北京大学出版社,2005.153