杨云锋，夏小刚，冯卫兵



奇点定义注记

杨云锋，夏小刚，冯卫兵

（西安科技大学 理学院，陕西 西安 710054）

通过一个假命题的论证，对已有文献所给出的奇点的两种定义进行了比较，给出了两种定义下的主要结论；并根据定义1对奇点的性质进行了讨论，得出了奇点与边界点的关系以及孤立奇点的存在条件.

解析函数；奇点；边界；孤立奇点

解析函数是复变函数研究的中心对象，其概念及相关理论是复变函数理论体系的重要组成部分；奇点与解析点对立，其定义的严密对完善复变函数解析性的理论具有非常重要的意义. 在现行教材中两种奇点定义并存，由之得出的结论也不相同，本文比较并讨论了二者的不同和优劣.

1 两种奇点定义的比较

根据定义1，可以证明下列结论成立：

1）在复平面内处处不解析的函数没有奇点.

2）定义域外的点不一定是奇点.

4）定义域的孤立点不是奇点.

5）奇点是解析点的极限点.

根据定义2，也可证明如下结论成立：

1）在复平面内处处不解析的函数的每一点都是奇点.

2）定义域外的点都是奇点.

4）定义域的孤立点是奇点.

5）奇点不一定是解析点的极限点.

2 定义1下奇点性质的讨论

证明 1）证明奇点是边界点

2）证明边界点也是奇点

将命题1修改得命题2：

3 结语

通常，泛称的解析函数允许有奇点且它在复平面上总有解析点，故它不包含复平面上处处不解析的函数；本文定义2下的奇点包括：处处不解析函数的每一点、定义域外的点、定义域的孤立点，这些点我们通常并不研究；因此，定义1要优于定义2.

[1] 盖云英，包革军. 复变函数与积分变换[M]. 2版. 北京：科学出版社，2007.

[2] 钟玉泉. 复变函数论[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，1979.

[3] 余家荣. 复变函数[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2000.

[4] 西安交通大学高等数学教研室. 复变函数[M]. 4版. 北京：高等教育出版社，2002.

[5] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2001.

[责任编辑：熊玉涛]

A Note on the Definition of Singularity

YANGYun-feng,XIAXiao-gang,FENGWei-bing

Through the demonstration of a false proposition, two definitions of singularity given in the existing literature are compared and main conclusions under the two definitions are drawn. The characteristics of singularity are discussed according to the first definition and the relationship between singularity and boundary points as well as the conditions for the existence of isolated singularity are derived.

analytic function; singularity; boundary; isolated singularity

1006-7302（2010）03-0003-42

O241.82

A

2010-03-25

国家“十一五”课题重点资助项目（FIB070335-A2-15）；教育部教改项目（高教司函（2009）59号）；陕西省教育厅教改项目（陕教高（2009）39号）

杨云锋（1978—），男，陕西永寿人，讲师，硕士，主要从事应用数学的教学和研究工作，E-mail: yangyunfeng_1978@126.com.