刘东升

数学思想和方法是数学的血液和精髓.它是解决数学问题的有力武器，是进行数学发现和创造的工具，又是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂．

本学期每章都渗透了相应的数学思想，下面我们精选一些典型问题跟同学们就本学期常见的数学思想归类例析，希望对同学们期末复习有所帮助．

一、感受数形结合思想

例1（2008年·湘潭市）如图1，将一副七巧板拼成一只小猫，则图1中∠AOB=.

【思路探究与简解】由于所给的七巧板中三角形均为等腰直角三角形，故拼成的小猫中∠AOB=45°+45°=90°．

二、理解转化思想

例2如图2，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A处沿表面爬行到顶点B处，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C处呢？说出你的理由．

【思路探究与简解】这只蚂蚁要从正方体的一个顶点A处沿表面爬行到顶点B处，沿线段AB爬行的路线最短；如果要爬行到顶点C处，将正方体表面展开，易知沿图3所示的折线ADC爬行的路线最短．这两个结论都是利用“两点之间，线段最短”的性质得出的．

三、体会整体思想

A．18 B．12 C．9 D．7

【思路探究与简解】分析所给的条件，得到一个等式3x2-4x+6=9，表面上看这个代数式的值为9对我们解题毫无帮助，因为根据我们目前掌握的知识无法求出x的值，进而不能代入求x2-x+6的值了！难道本题没法做了吗？应该不会.再仔细观察已知代数式与待求的代数式，我们会发现它们是有关系的.原来已知代数式中有3x2-4x，而待求的代数式中有x23x2-4x），经过这样的变形后，我们只要根据已知条件求出3x2-4x这个整体的值为3，代入变形后的代数式（3x2-4x）+6，即可求出答案为7，故选D．

四、关注由特殊到一般的归纳思想

例4（2008年·哈尔滨市）观察图4中的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有____个★．

【思路探究与简解】本题可以从三个方面观察和思考，从而发现规律．

方法一：从图形的变化角度可以发现，第1个图形中共有3个★，第2个图形比第1个图形多3个★，第3个图形比第2个图形多3个★，依此类推，第20个图形比第1个图形多3×（20-1）=57（个）★，所以第20个图形中有57+3=60（个）★.

方法二：从图形中蕴涵的数字变化规律可以发现，第1个图形中的★有3×1=3（个），第2个图形中的★有3×2=6（个），第3个图形中的★有3×3=9（个），依此类推可得第20个图形中的★有3×20=60（个）.

方法三：从图形整体的变化角度可以发现，每个图形实际上是一个三角形，每条边上的★的个数相等，且均比序号多1，所以第20个图形中共有（20+1）×3-3=60（个）★．

五、点拨分类讨论思想

例5（2007年·长沙市）经过任意三点中的两点共可以画出的直线是（ ）.

A．一条或三条 B．三条

C．两条 D．一条

【思路探究与简解】解答这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在同一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一直线上时，此时共可以画出三条直线．故选A．