张景中等

有些题目看似简单，但仔细想想，却会有新的发现.

图1中有△PAB和△QAB，问：△PAB与△QAB的面积之比是多少？

这个问题不难解答.因为三角形面积等于底和高之积的一半，显然△PAB和△QAB共底，要求面积之比，只需求两三角形的高之比.作出两三角形的高PD、QE（如图2），可得 = .那么，我们要做的工作就是作两个高，测量两次，作一次计算，这个问题就解决了.

有没有更简单一点的办法呢？因为作高比较麻烦.如果只是尺子一摆，顺手作出，那么就可能出现较大的误差.可不可以避免作高呢？办法也是有的.可以延长PQ、AB（如图3），使之相交于点M，则有 = .这是为什么呢？

学过相似三角形的读者很快就会发现△PDM ∽△QEM，因而有 = .那么，没有学过相似三角形的读者能否明白其中的道理呢？办法仍然是有的.在直线AB上取点N（如图4），使得MN = AB，于是 == .这里用到了“同高三角形的面积之比等于底之比”.因为我们把PM看成△PNM的底，把QM看成△QNM的底，那么△PNM和△QNM就成了同高三角形.

回顾我们思考的过程，从中可以获得一些有益的启示：

第一，不要放过那些表面上看似寻常的问题，它们的背后也许还有很多你没弄明白的东西.

第二，找到一种解决方法的时候，不妨再想想，有没有更简单、更高明的方法.

第三，更简单、更高明的方法也许要用到更多的数学知识.不妨进一步想想，能否用更少的、更基本的知识来说明它.

问题并没有结束，我们还可以举一反三.图1中画出的两个三角形有一条公共边AB.但是，有公共边的两个三角形情形是多种多样的，它们的位置并不一定像图1那样.下面我们给出一个定理.