潘国本

线与数学可是有奇缘的，信不信？不信请看.

线，可缝衣、织布、钓鱼、做琴弦……能耐多多.如果是毛线，可打毛衣、扎辫子、织图案……如果是钢丝，可制铁钉、做栅栏、做钢缆……这些用途不必细说了，但是如果只是笔下一条线，有啥能耐？它能成字、成画，能表示河岸、大道，能表示等高线、边界，能表示各种函数关系，能表示各种平面图形的边、立体图形的棱、圆形的圆周、球形的廓……

线与数学关系密切，在平面几何、立体几何、解析几何、非欧几何中都立下了汗马功劳.再具体一点，西摩松线、欧拉线、牛顿线、一笔画曲线都魅力非凡.简直一条线就有一个故事，每个故事都绚丽多彩.说两则简单的故事吧！

一位叫莫比乌斯的德国人，一次与几个朋友去乡村度周末.这个村庄的周围有许多湖汊（注：分叉的小河）.他们支起帐篷，开始垂钓、野炊.莫比乌斯看着眼前美景，忽发奇想，用一段树枝在地上画了一个图（如图1）说：“这些曲线都是湖岸线，若A在岸上，你们说P在湖中还是在岸上？”

朋友们看了一会儿，看不出名堂.莫比乌斯随即在图上画上许多斜线（如图2），接着说：“我们就用这些画有斜线的阴影表示湖面吧，这样，陆地和湖面不就一目了然了吗？”

是啊，就添了些斜线，大家一下子就看清楚P是在湖岸上了.

还有一位比莫比乌斯晚出生48年的法国人，叫若尔当，也是一位画线的高手.他曾经对人说，一条封闭曲线将平面分成了内外两个部分.他是第一个对大家说这句话的.后来这句话成了一条著名的定理，它看似简单，证明起来却远不轻松.

他也给朋友提出过一个类似的问题:一条不相交的封闭曲线S，把平面分成内外两部分，平面上有一点A（如图3）.点A在曲线S所围区域的内部还是外部？

对图形，朋友感觉模糊，需要仔细分辨.这时，若尔当在远离曲线的地方找了一个点B，连接AB，随后说，我们只要数数线段AB与曲线S有多少个交点就可以了，若交点的个数是奇数，说明A与B分在S的不同区域；若交点的个数是偶数，则说明A与B在S的相同区域.图3中AB与曲线有4个交点，交点的个数是偶数，又B在S所围区域的外部，所以A也在曲线S所围区域的外部.若尔当只画了一条线段，问题就轻松地解决了.

到这里，你也许会说，莫比乌斯、若尔当各用对方的方法，不也同样能解决自己的疑难吗？

画一条线，简单明了，先辈们有心开凿，居然得到了这么一个奇妙世界.所以，只要肯动脑筋，做个有心人，你也会与他们一样有所发现的.

【责任编辑：穆林彬】

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