张建山

在复习“有理数”一章后半部分的内容时，七（1）班数学兴趣小组的所有成员又聚到一起，开展本学期的第四次兴趣小组活动.

组长赵毓晗首先说：“‘有理数一章后半部分主要是有关有理数的乘除、乘方以及混合运算等内容.下面请大家就这部分内容畅谈自己学习的感受.”一向心直口快的刘宗林马上说道：“我感觉有理数的乘除运算和小学学过的内容差不多，而乘方运算只不过是几个相同数的乘法运算的另一种书写形式.”思维更为活跃的“数学王子”高炎生听不惯刘宗林这种无所谓的腔调，略带些霸气地说：“对你的说法我不敢苟同.在有理数之间进行乘除、乘方以及混合运算，与小学学过的乘除和混合运算相比，还是有很大的区别.你没听老师在课上总结吗？有理数之间的运算不仅包含绝对值的运算，还有符号的运算，而乘方运算是更高级的运算.我们可不能轻视.”刘宗林脸上微显不悦之色.见刚开始就有了点“火药味”，其他同学忙打圆场：“组长，还是和以前一样，你先出些题，我们讨论一下吧！重要不重要，容易不容易，题目中见分晓.”“那好吧！”说着，赵毓晗在黑板上写下了以下几道题目：

①计算：- 24 ÷ （- 8） × -

.

②计算：- 22 - （- 3）3 × （- 1）2 - （- 1）3.

③计算：- .

④下列说法中正确的是（）.

A． 若a ≠ b，则a2 ≠ b2B． 若a ＞ b，则a2 ＞ b2

C． 若a2 = b2，则a = bD． 若a + b = 0，则a3 + b3 = 0

赵毓晗刚写完，刘宗林又抢先说道：“我知道第①题如何解答.本题是只含有乘除的混合运算，要注意从左往右的运算顺序.式子中的（-8） × -

是个陷阱，千万不可因为想要进行简便运算而改变运算顺序.所以本题要先算（- 24） ÷ （- 8），再把所得的商与- 相乘.最终结果显然是.”“啊……不对！”大家齐喊道，“应该是- ，你没有进行符号运算.”刘宗林一怔，仔细一瞧，连拍自己的脑门，为自己的粗心懊恼不已.“第②题该如何解答？”赵毓晗问道.刘宗林这回不敢轻易发言了，这时班长宋祥威说：“我清楚第②题如何解答.本题重在考查乘方运算.在乘方an中，a叫底数，n叫指数，乘方的结果叫幂.在具体运算时，一定要弄清某个指数所对应的底数是什么.在本题的第一项‘- 22中，指数2所对应的底数是2，而不是-2.这里的负号是2的2次幂的性质符号.”说着他在黑板上作了如下板书：原式= - 4 - （- 27） × 1 - （- 1） = － 4 + 27 + 1 = 24.刘宗林看着班长的板书边点头边说：“那第③题中指数2对应的底数应该是5，而不是，更不是- ，所以运算结果应该是- .这次我没有再上当吧.”大家都为他的细心点头称好.高炎生突然说道：“那你再说说第④题该选哪一个.”刘宗林仔细阅读了一下题目，缓缓说道：“A选项中当a = 2，b = - 2时，a ≠ b，但是22 = （- 2）2，即a2 = b2.当a，b相等或互为相反数时，a2 = b2；反之亦然.所以A选项错误，C选项也容易判断，是错误的.本题应该选择B、D两个选项中的一个，我感觉B选项不对，我猜是选D.”对学习一向要求严格的闫明大声说：“怎么能猜呢？要说明B选项是错误的，也只需举一个反例啊.比如，1 ＞ － 3，但12 ＜ （- 3）2.用排除法可以知道一定是选D.”

这时一直站在一旁的数学老师张老师上前一步对大家说：“刚才几位同学的回答都很好.用淘汰法确实是一种很好的解答选择题的方法.但学习数学只停留在为解答一道题目而解题是远远不够的.要学会在解题后反思，要真正理解题目要考查的知识，领会解答题目的方法，挖掘出题目的解答中所蕴涵的规律.这样才可以达到触类旁通、事半功倍的效果.拿刚才这个问题来说，题目旨在考查我们对有理数的奇数次幂与偶数次幂的特征的理解.大家知道，任何有理数的偶数次幂一定是非负数（即为正数或零），但奇数次幂则不改变底数的正负性，特别是对一对相反数而言，它们的偶数次幂是相等的，而奇数次幂却仍然互为相反数.若能理解这一点，解决刚才的问题就易如反掌了.”

赵毓晗见所有的问题都解决了，于是说：“看来大家今天的收获都不小.近来，大家在学习中一定都遇到过一些解决不了的问题，那就写在黑板上，让我们一起来解决吧！”很快，黑板上便有了下面几个问题.

①若ab ＜ 0，则 ++= .

②求32 008的个位数字.

③已知a = 355，b = 444，c = 533，试比较a，b，c的大小.

④计算：1 + 2 + 22 + 23 + … + 22 007.

一番讨论之后，同学们开始陆续发言了.

组长赵毓晗说：“第①题需要用分类思想解答.已知ab ＜ 0，则a，b必异号.若a ＞ 0，b ＜ 0，则原式 = ++ = － 1；若a ＜ 0，b ＞ 0，则原式=++= -1.所以原式的值为－ 1.”

（读者朋友，请你思考：若abc ＜ 0，则 +++的值是多少？）

数学课代表傅皓说：“第②题中要求32 008的个位数字，需先找规律：31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，….可以发现从第5个数开始个位上数字便出现循环，即每4个为一个循环.2 008除以4余0，所以32 008的个位数字和34的个位数字一样，为1.”

（同样可以求任何一个整数的任意正整数次幂的个位数字.那么，72 007的个位数字是多少呢？试试看.）

李雪妮说：“我在课外教辅资料上看过第③题的解答过程，其解答的关键是要把各个式子化为同底数或同指数的式子后再作比较.355表示55个3相乘，将55个3每5个一组，可分成11组，由乘方的定义可把355写成（3 × 3 × 3 × 3 × 3）11 = （35）11，即24311；同理可以把444，533分别写成（44）11，（53）11，即25611，12511.它们的指数相同，而底数中256最大，125最小，所以444 ＞ 355 ＞ 533.即b > a >c.”

可是对第④题却没有人发表见解了，看来同学们是给难住了.任务只好留给张老师.

张老师说：“第④题直接计算确实很难.这里我教给大家一种特殊的方法——错位相消法.设S = 1 + 2 + 22 +23 + … + 22007，两边同乘以2，得2S = 2 + 22 + 23 + … + 22 007 + 22 008.大家仔细观察这两个等式的特点，第二个等式的右边与第一个等式的右边相比，只是少了个1，多了个22008，于是将第二个等式减去第一个等式可得2S - S = 22 008 - 1，即S = 22 008 － 1.所以原式的计算结果为22 008 － 1.当然，这一方法只有当算式中相邻的两项的比值相等时才能使用.今天的兴趣小组活动中，同学们的参与热情很高，大家再说说自己的收获吧！”

“数的范围扩大为有理数后，各种运算与小学相比虽然没有什么大的变化，但也得细心，特别要注意符号运算.下次我一定小心，不能再在这方面吃亏了.”刘宗林有些害羞地说.

“从这次解决这些问题的过程看，真正地领悟相关概念的意义是解决与之相关问题的基础，而不应该一味地寻求技巧.”一向少言寡语的张璇有点语出惊人……

亲爱的读者朋友，你对于有理数的运算，还有哪些处理不了的问题呢？赶快动手写出来，在自己的兴趣小组活动中说一说，让大家共同帮助你解决吧！

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