范　鸿

数学课程改革要求教师重新审视数学学习方式.数学学习的主要方式应由单纯的记忆、模仿和训练转变为自主探究、合作交流与实践创新.下面通过教学案例说明新课标下数学探究学习的开展.

已知：如图1，△ABC中，AD平分∠BAC，AD是BC上的中线.求证：AB=AC.

师：要证AB=AC，可证∠B=∠C或△ABD≌△ACD.但凭条件很难得证.故要考虑其他思路进行转化.这里有中线AD，请想想怎样处理？

生：延长AD至E，使DE=AD，然后连接BE，易证△ACD≌△EBD（SAS），于是∠DAC=∠E，BE=AC.又因∠BAD=∠CAD，所以∠BAD=∠E，于是AB=BE.通过等量代换可得到AB=AC.

师：这位同学反应很快，遇到中线，我们通常倍长中线，把角、线段进行等量转化.还有没有别的想法？

生：看到了中点，我想到了构造中位线.取AB的中点F，连接DF，于是DF∥AC，并且DF=AC，这样∠ADF=∠DAC.又因∠BAD=∠DAC，所以∠BAD=∠ADF，于是DF=AF=AB.这样通过DF作桥梁，得到AB=AC.

师：非常好！我们通过这条性质逆命题的探究，可帮助我们打开解题的思路,提高看问题的层次.来看下面的题.已知：如图2，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB.AM⊥CD，AN⊥BE，连接MN.求证：MN∥BC，且MN=（AB+AC-BC）.

生：已知有BE平分∠ABC，并且AN⊥BE，具备判定等腰三角形的条件，于是延长AN交BC于H，用“ASA”判定△ABN≌△BHN,得到AN=HN.同理可知AM=MG,所以MN是△AGH的中位线.通过线段等量代换，很容易证明第二个结论.

师:该生有较强的观察力和构建意识,正是由于受刚才讨论问题的启发,使我们想到利用两个条件的存在去构建证明的基本图形.我们把判定三角形是否为等腰三角形的两个条件简称为“二合一”.

生：看来，对书上的某种性质加以探究反思并提炼总结，构造基本图形,可积累我们的解题经验.

师：总结得很好！对任何问题我们不要进行简单的记忆、模仿，要抓住问题的核心，举一反三.这就是探究学习成果的正迁移.

如果我们继续取中点……

1. 提出问题：数学的本质在于解决问题，而解决问题的关键在于发现规律.如图3，在任意四边形ABCD的各边取中点E1，F1，G1，H1，得到的四边形E1F1G1H1是什么四边形？如果继续取中点，得到的四边形又是什么样的四边形？你能得到什么样的规律？

2. 研究规律：继续取平行四边形E1F1G1H1各边中点连接而成四边形E2F2G2H2是平行四边形.如果开始四边形ABCD是矩形，则E1F1G1H1是菱形，继续取菱形的中点得四边形E2F2G2H2是矩形.看来，有规律如下表.

3. 反思规律，揭示本质：四边形ABCD对角线相等，四边形E1F1G1H1是菱形，但对角线相等的四边形不一定是矩形；四边形ABCD对角线互相垂直，四边形E1F1G1H1是矩形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.通过引导同学自主探究揭示问题的本质.