于志洪

如图1所示的九个圆圈是四个小的等腰三角形的顶点，在图上将1～9这九个数字填入圆圈，要求这七个三角形中每个三角形的三个顶点上的数字之和都相同.

[背景材料]

此题是由爱因斯坦(A·Einstein，1879～1955)给出的．爱因斯坦在全世界闻名之后，仍继续为《法兰克福报》写稿，为读者提出一些数学问题，此题就是一例．

[解题方法]

设构成七个等腰三角形的九个顶点分别为A、B、C、D、E、F、G、H、I(如图2).观察可知△ABG，△CDH，△EFI没有公共的顶点，又1+2+3+4+5+6

+7+8+9＝45，且已知上述三角形的三个顶点所在数的和应相等，因此，我们可以知道：

每个三角形的三个顶点上的数的和应为：45/3＝15，

而1～9这九个数中每三个数的和为15的所有可能为：1+5+9；1+6+8；2+4

+9；2+5+8；2+6+7；3+4+8；3+5+7；4+5+6．

考虑到等腰三角形GHI处在六边形ABCDEF的中央，为配数的需要，应把1～9中处在中间段的数4，5，6放在G，H，I的位置上，不妨设G＝6，H＝5，I＝4(亦可以设G＝4，H＝5，I＝6或G＝5，H＝4，I＝6)．此时，A有六个数可选，例如选7（其他情况类似)，由于A+H＝7+5＝12，从而F＝3；又I＝4，故I+F＝7，从而E＝8；A＝7，G＝6，A+G＝7

+6=13，从而B＝2；C＝15-(B+I)＝15-(2+4)＝9；最后，由于H＝5，C=9，因此，D=15-(H+C)=15-(5+9)＝1.

因此，在G＝6，H＝5，I＝4的情形下，A，B，C，D，E，F的值分别为：7，2，9，1，8，3，符合题目要求.

同理，在G＝6，H＝5，I＝4的情形下，A，B，C，D，E，F的值亦可为：1，8，3，7，2，9.

两个供读者思考的问题：

(1)G，H，I的值可否有除4，5，6以外的选择？

(2)△AHF，△BCI，△GDE三个顶点的数值和不为15是否可以?

答案：以上两题答案均为否定.

提示：对于(1)可有下述必要条件：放在G，H，I位置上的数，每个数至少应存在三种与其他数的和为15的形式，根据我们列出的和为15的八种形式可知，只有2，4，5，6，8排在中间才可能满足要求，通过实验可知2和8放在中间不合要求，亦即当三角形的和为15时，若不考虑G，H，I的循环情形，满足需要的G，H，I是唯一的，即只有4，5，6．对于(2)，实际上很简单，若三个顶点的数值和不为15，则必造成和不相等的情形，不满足题目要求.