周青松 李明树

基金项目  苏州市教育科学“十四五”规划2022年度立项课题“初中数学‘做’中学体系的构建研究”（2022/LX/02/166/09）;江蘇省教育学会“十四五”教育科研规划课题“指向核心素养的初中数学混合式教学实践研究”（22A11SXSZ295）;苏州市教育科学“十四五”规划2021年度立项课题“初中数学互动式课堂教学的建构研究”（2021/O/01/021/09）;苏州工业园区基础教育前瞻性教学改革实验项目“基于STEAM理念的初中数学综合与实践教学设计研究”．

【摘  要】  苏科版初中数学八年级上册教材中，工人师傅使用“角尺工具”解决了二等分角问题，还可以借助实物工具量角器、尺规作图工具解决此问题，借助工具还可以解决几等分角问题，教材内容未做编写，学生对数学工具的认识与使用缺乏感性认识，数学实验课教学可以弥补不足，学生经历三等分角工具的制作、使用的过程，帮助学生理解知识本质，培养合作意识，提升探究能力.

【关键词】  三等分角；制作工具；使用工具；教学思考

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“课程实施”中指出：“进一步加强综合与实践，强化项目主题学习活动，可以利用信息技术或制作教具的形式，对现实世界中具有开放性、真实性的问题进行探索”［1］，而数学实验工具的制作、使用就是以项目为导向，引导学生发现并解决问题，学生经历发现、提出、分析、解决问题的过程，帮助学生理解知识本质，培养合作意识，提升探究能力.

数学实验是学生动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师引导下，学生运用有关工具，通过具体操作在认知和非认知因素参与下，进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的数学活动［2］.近年来，苏州工业园区数学实验教学团队一直致力于数学实验工具的设计与开发工作，本节课在苏州市第六届初中数学实验研讨活动中展示，取得良好的教学效果，整理成文，供同仁们交流.

1  探究背景

在苏科版数学教材八年级上册P25中，工人师傅常常利用角尺工具平分一个角，利用量角器、圆规和直尺等工具也可以平分一个角，利用工具可以实现角的四等分、八等分、十六等分等等，能否将一个任意角三等分呢？这是古希腊三大几何难题之一，已证实仅用圆规和无刻度的直尺无法完成，但是若将条件放宽，如允许使用有刻度的直尺或配合其他曲线使用，可以实现对任意角的三等分，本文尝试引导学生利用自制实物工具的方法对三等分角进行探究.2  学情分析

学生对“等分角”有所了解，但大都是直观感知，在学习了全等、轴对称、角平分线知识后，积累了基本操作经验.八年级学生求知欲望强烈，喜欢探究新知.借助工具动态获取，需要学生具备较强的几何直观能力、空间思维能力和归纳能力，这对部分学生来说，是有一定难度的.3  目标分析

通过本课内容学习，让学生对设计、制作、使用工具有深刻体会，进一步理解实物工具的数学原理，鼓励学生大胆发言，对各种观点进行分析、辨析，培养合作意识，发展学生几何直观和空间观念，提高数学探究能力.4  重点难点

实物工具的设计、知识依据、操作方法、数学原理.5  探究准备

剪刀、直尺、纸质吸管（若干）、大头针（若干）、记号笔.6  教学设计

6.1  问题提出

活动一  苏科版数学教材八年级上册P25中，工人师傅常常利用角尺工具平分一个角.如图1，在∠AOB的两边OA，OB上分别任取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.操作  老师提供自制教具：实物角尺，让学生实际操作，借助工具二等分一个角，感知数学原理，如图2.

问题1：角尺工具可以解决什么问题？

问题2：角尺工具的结构特征是什么？

问题3：角尺工具的工作原理是什么？

问题4：还有什么工具可以二等分角？

设计意图  以实物工具和电子工具相融合的方式，让学生通过实际操作去感知工具的实用性和便利性，观察描述角尺工具的特征——邻边垂直且相等，并说出工具的工作原理——用“边边边”的方法判定△OCM≌△ODM，可知∠COM=∠DOM，所以射线OM就是∠AOB的平分线.学生初识工具，可以解决二等分角问题，激发学生使用工具的兴趣，为制作二等分角工具做好了知识铺垫.

制作  结合刚才所学知识，你能否设计、制作一个工具进行二等分角？学生根据角尺的结构特征、数学原理，小组合作制作二等分角工具，作品如图3.

问题5：工具中将点A放在与角顶点重合，还是将点C放在与角顶点重合？

实际操作，小组讨论得出一致意见：将筝形点A放在与角顶点重合时，适合二等分较小的角;将点C放在与角顶点重合，适合二等分较大的角.因两组边的长短问题，影响工具的开合范围，此工具在实际使用过程中存在短板.

问题6：如何改善工具，使工具更具广泛的适用性？

从问题5中得到启发，将工具的四边调整为等长线段，就可以兼顾优点，规避短板，改善后菱形工具作品如图4.

问题7：制作实物工具的流程是怎样的？

问题提出知识依据设计方案制作工具使用工具改善工具实物工具

问题8：借助工具可以把一个角二等分，还可以几等分？

生：四等分、八等分、十六等分、三十二等分……

师：怎样操作？

生：用工具把角二等分后，再分别二等分，重复操作……

师：还可以几等分？

生：三等分、五等分……

师：怎样操作？（提示学生借助工具解决问题）

生：用量角器测量……

师：结合二等分角工具，你可否设计一个工具实现三等分角？

設计意图  引导学生制作工具，动态理解知识本质和数学原理，在实际使用中分析利弊，激发学生再思考，不断完善实物工具，总结得出制作工具的流程，为下面三等分角工具的制作积累经验和方法.

6.2  问题探究

活动二  制作三等分角实物工具.

图5操作  根据二等分角工具制作的经验，直接将两个二等分角工具叠合在一起，沿着重合的顶点开始旋转其中一个工具，当工具的一条边与另一个工具的对角线重合的时候，此时形成的三个角刚好相等，如图5.

问题9：如图5，为什么此时的三个角相等？

生：连接BC，因二等分角工具是一个菱形，故△ABC≌△DBC，得到∠ABC=∠DBC，同理可证△EBG≌△FBG，得到∠EBG=∠FBG，进而把∠ABF分成了三个相等的角，此时BC，BG就是三等分线.

师：还有不同的证明方法吗？

生：可以根据菱形的性质证明角等，BC，BG也是两个二等分角工具的对角线，根据菱形的性质，对角线平分一组对角，也可以说明BC，BG就是三等分线.

师：太棒了！制作  小组分工，根据流程操作，黑板展示，并介绍结构特征、操作方法、工作原理，作品如图6.实际操作过程中发现，张合度很小，解决三等分锐角可以，钝角有些困难，整体结构不牢，在老师启发下，只要解决中间的推杆就可以解决张合度的问题，类比雨伞中的环形扣，同学们用纸环代替，优化三等分角工具，可以解决任意角三等分问题了，作品如图7.

设计意图  引导学生制作三等分角工具，经历设计、作图、操作、完善的过程，培养主动探究、团队合作意识，体会知识的本质、实物工具与数学知识之间的联系，将静态知识转化为动态获取的方式，极大地鼓舞了学生学习热情和探究欲.

6.3  问题拓展

活动三  老师借助网络画板，制作了刚才的二等分角工具，引导同学们继续探究思考，如图8.

问题10：如图8，移动点D的位置，此工具的功能是否改变？

师：操作网络画板向学生展示点D的位置变化情况.

生：不会改变，因为DA=DC始终没变，两个三角形依旧全等，特别当点A，D，C三点共线时，此时是一个等腰三角形，BD就是三线合一.

活动四  老师借助网络画板，制作了刚才的三等分角工具，引导同学们继续探究思考，如图9.

问题11：如图9，三等分角的本质是什么？

师：操作网络画板向学生展示，启发学生思考.

生：这个工具，就是两个二等分角工具的结合，把二等分角工具中的每一个角当作单位角，进行组合就可以实现角的三等分.

师：太棒了！问题12：如果给你一个二等分角工具和一个三等分角工具，如图10，你可以把角几等分？

生：将工具结合在一起，可以四等分、五等分、六等分、七等分……

师：网络画板操作，向学生展示.

设计意图  融合信息技术教学，使得工具更加直观、形象，引导学生探究自制实物工具的本质，把二等分角工具看成单位角与三等分角工具随意组合，可以实现角的任意等分，在解决问题的同时，发现新的问题，反复思考，继续解决问题，助力学生从合情推理能力到演绎推理能力的发展.

6.4  文化延伸

播放视频介绍古希腊三大几何难题的诞生和发展过程.“三等分角”是古希腊三大几何难题之一，是几何尺规作图中的名题，和“化圆为方”“倍立方”问题并列为古希腊三大难题，三等分角的完整叙述为：“在只用圆规和一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分，进行尺规作图时，已证实无解.”

设计意图  通过数学文化的介绍，让学生感知数学的独特魅力，本课借助实物工具不仅解决了三等分角问题，还实现了对任意角的三等分，强化了学生运用工具解决问题的意识，激发浓厚的学习兴趣和热情.

6.5  课堂小结

本节课你有什么收获？

设计意图  让学生谈谈经历识工具、做工具、用工具的学习感受.提升对工具的感性认识，体会工具和解决实际问题之间的便捷关系，体会敢想、敢做、质疑、思考在学习数学中的重要意义.7  教学思考

7.1  在课堂小结中碰撞火花

在总结中让学生表达学习感受、学习方法与困惑.小结中学生说到“我们学过了角平分线的知识、全等三角形的知识，今天感受到知识确实可以解决问题”“在遇到复杂问题的时候，可以先从简单的问题入手，把不会的问题转化为熟悉的问题来解决”“制作工具时画出图纸很重要”“工具可以解决三大几何难题之一：三等分角，工具是否可以解决另外两大几何难题呢”，以上发言不难看出，兴趣的火花已然在学生心中生根发芽，正是这种兴趣激发学生强大的学习动力.

7.2  在制作工具中理解知识

利用实物工具开展学习活动，可以激发学生学习兴趣和动力，从而创造性制作和发明工具.角尺工具中的全等三角形知识在充分理解后，创造性发明了二等分角工具，更加适用、便捷，让抽象的数学知识变得形象直观，内隐的数学思维变得可视化［3］，静态的知识通过自制工具展现的更加直观化、具体化，将两个二等分角工具进行融合便可以创造出三等分角工具，继续融合可以制作任意等分角工具，而这一切的灵感来源于“设计本就是知识理解与再创造的过程”.

7.3  在使用工具中感知原理

数学实验工具的使用改变了学生传统接受知识的方式，将静态知识转化为动态获取的过程，学生也由被动接受知识向主动探索学习转化，在使用角尺工具解决二等分角问题时，进一步感知原理，激发学生对知识再理解，设计新的二等分角工具、三等分角工具，经历使用工具的过程，强化了对工具原理的认识，在完善实物工具的同时，进一步理解工具原理与数学的关系，培养学生分析问题的能力，在创造中感知动手做数学的乐趣，改观传统谈“数学”色变的现象，激发了学生对数学的兴趣与热爱.

数学实验教学是近年来教育改革的趋势之一，对于推动初中数学课程改革具有现实意义.借助实物工具，动手“做”数学是实验课类型之一，文中学生制作工具、使用工具进行操作、验证、理解、探究活动，有助于学生理解数学、领悟知识、感知原理，切实改变了初中数学教与学的方式.制作工具、使用工具是实验探究活动的呈现方式之一，注重经历观察、操作、推理、探究的过程，从问题情境出发，逐步探究，实际操作，建立模型，解决问题；特别在实际操作中，使用自制实物工具解决问题的同时，发现新的问题，不断调整完善实物工具，在遵循认知规律的基础上，让学生经历从感性认识到理性思维的飞跃.实物工具类型实验课已经开启，电子工具的开发与设计、数学实验资源的开发与建设等问题，有待进一步思考，未来已来，任重道远.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：89.

［2］董林伟，等.初中数学实验的理论与实践研究［M］.南京：江苏凤凰科学技术出版社，2016.

［3］董林伟.数学实验工具：助力初中生数学学习的应然选择［J］.数学通报，2018（11）：1-4.

作者简介  周青松（1987—），男，江苏苏州人，中学一级教师，李明树（初中数学）名师工作坊成员；主要从事初中数学实验课堂教学研究.

李明树（1977—），男，江苏苏州人，中学高级教师，苏州工业园区初中数学兼职教研员，李明树（初中数学）名师工作坊主持人;荣获苏州市教学成果奖二等奖，主持或参与各级规划（重点）课题14项；发表文章近40篇，其中3篇被中国人民大学《复印报刊资料（初中数学教与学）》全文转载.