基金项目  2022年度江苏省教育科学规划课题“大概念观照下初中数学前建构教学的实践研究”（C/2022/02/01）；江苏省苏州市教育科学“十四五”规划课题“数学理解视域下跨学科教学的实践研究”（2022/LX/02/081/10）.

【摘  要】  通过从学科、学生、教材与教学四个视角对苏科版八年级下册“8.2可能性的大小”一课展开案例分析与思考，并提出对“认识概率”单元的教学建议：重视概率实验的意义，发展学生的核心素养；紧扣学生已有认知经验，丰富对概率的理性认识；组织设计前建构课堂，明晰概率的本质内涵；借助信息技术工具，发展智能计算思维.

【关键词】  认识概率；可能性的大小；初中数学；案例分析

1  问题缘起

近期，在苏科版教材八年级下册“8.2可能性的大小”教学中，笔者组织了如下数学实验：在不透明的盒子中装有1支白粉笔、2支黄粉笔和3支红粉笔，每支粉笔除颜色外都相同.每次从盒子中摸1支粉笔，记下所摸粉笔的颜色，然后将粉笔放回并摇匀，重复10次，将结果填写到表1中.表1  摸粉笔实验结果记录表实验结果划记频数频率

摸到白粉笔

摸到黄粉笔

摸到红粉笔

在课堂教学中，笔者将6支粉笔放置在粉笔盒中，并邀请了若干位同学随机抽取粉笔.第一个班通过10次抽取实验，得到了摸到白粉笔1次、黄粉笔3次、红粉笔6次的完美结果，顺势激发学生思考“摸到红粉笔的可能性与哪些因素有关”，丰富学生对可能性大小的感悟.但在第二个班的实验中，却出现了十分尴尬的一幕：在10次抽取的结果中一次也没有抽到白粉笔，反而抽出了7次黄粉笔、3次红粉笔，这不由引发了学生的哄堂大笑.笔者只有无奈地向学生解释道：无论摸到什么颜色的粉笔都是随机事件，我们实验的次数偏少就有可能出现这种情况，那如果我们实验次数增加到100次、1000次，那么大家猜一猜摸到哪种颜色的粉笔可能性大呢？学生配合地回答道：红色粉笔.随后归纳出：一般地，随机事件发生的可能性有大有小，并迅速进入课堂的下一个环节.回首再看这一实验的设计与教学实施，可以发现无论实验是否成功，都没有达到相应的实验效果，实验结论也大多属于教师的告知，是一种“自圆其说”的表现，缺乏学生真实的体验与内在的认同.而这一次尴尬的实验也不禁反映出了概率教学的一大问题——概率实验的教学“形同虚设”.对此，笔者针对这一案例展开深入思考，以期为初中概率的教学提供些许建议.2  案例分析与思考

2.1  学科视角：为何摸到红色粉笔的次数不是最多的

在苏科版九年级下册的教材中将随机事件A的概率表示为P（A）=mn，m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数.因而，从理论的角度可以推出实验中摸到红粉笔的概率为12，摸到黄粉笔的概率为13，摸到白粉笔的概率为16，故摸到红粉笔的可能性最大.由大数定律可知，随机事件在反复多次实验中的频率稳定在某一个常数附近，这个常数被认为是随机事件发生的概率的估计值.上述概率的表示均是建立在反复多次实验的基础上，而在课堂中由于实验次数较少，则很有可能出现现实情况与理论情况相违背的现象，这就需要进行更多次实验，方能得出较为理想化的结果.因此，教师可以组织开展小组活动，让每个小组都开展10次乃至更多次的摸粉笔实验，进而在大量数据的汇总与叠加下，现实结果会更趋向于理论情况，就能够直观地呈现出摸到不同颜色粉笔的可能性大小，这样课堂中就不会出现如此尴尬的情况了.

2.2  学生视角：为何学生会“哄堂大笑”

在第二个班的实验中，随着一支又一支黄色粉笔被抽出，学生们越来越兴奋，笔者也越来越紧张，直至十次实验全部完成后统计结果，学生们就哄堂大笑了起来.学生的大笑从表面上看是由于他们看到了老师“出糗”，即“明明红粉笔支数多，但实验摸出黄粉笔的次数却远超红粉笔”，期待老师如何“圆场”.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标2022版》）在第三学段“统计与概率”中要求“通过试验、游戏等活动，让学生了解简单的随机现象，感受并定性描述随机现象发生可能性的大小，感悟数据的随机性，形成数据意识”［1］.这就说明在小学阶段学生能够借助数量的多少来描述随机事件发生的可能性大小.从深层次看，学生在参与实验之前就已经知道了实验理想化的结果，即“摸到红粉笔的次数最多，黄粉笔次之，白粉笔最少”，也能够明白实验结果的随机性.因而，面对实验结果与学生原有认知相矛盾时，学生就认为“该实验是没有意义”，并以“哄堂大笑”的形式表现出来.

2.3  教材视角：“可能性的大小”的编排意圖是什么

《课标2022版》指出：随机事件的概率的教学要从小学阶段的定性描述逐渐走向初中阶段的定量分析，应当通过简单易行的情境，引导学生感悟随机事件，理解概率是对随机事件发生可能性大小的度量［1］76.这也就意味着初中阶段“可能性的大小”的教学并不是炒小学的“冷饭”，而更需要从定量分析的角度来思考随机事件的可能性大小，为后续概率的计算教学而服务.

苏科版教材在八年级下册编排了“认识概率”这一章，包含“确定事件与随机事件”“可能性的大小”“频率与概率”这三块内容.本章的重点是希望学生能够初步建立概率的基本概念，能够通过定量分析，利用频率来估计概率的大小.“可能性的大小”这节课的内容重点在于让学生通过实验探究感受古典概型与几何概型下随机事件发生可能性的大小，初步感知可以通过频率来定量分析可能性的大小，为后续用频率估计概率的引出铺垫.然而，教材在“尝试”环节中给出了5只装有10个球的不透明袋子，其中白球的个数依次为4，2，9，0，10，要求根据摸到白球的可能性大小排序.学生能够快速地根据白球的数量多少来排出可能性大小的顺序，在课堂中也有学生已经能够准确地说出各个袋子中摸到白球的概率.虽然答案是正确的，学生的答案是由“白球的个数占总球数之比”得到，这是受数字巧合的影响对概率公式的形成一种错误的认识，不利于学生后续概率公式的深度学习.

综上，初中教材的编排相较小学而言，增添了“计算频率”这一步骤，体现了概率知识学习的螺旋式上升，突出了小初概率学习的差异，为学生定量刻画可能性的大小提供了明确的方向.但教学中也要避免学生产生对概率认识的偏差.

2.4  教学视角：“可能性的大小”应该怎么教

基于上述分析，“可能性的大小”的教学既要立足小学阶段对可能性大小的定性描述，又要结合数学实验启发学生从定量分析的角度刻画可能性的大小，为用频率估计概率的引出打好基础，同时也要帮助学生免受数字巧合的影响，发展学生的数据观念.

因此，教师在教学中应积极组织开展古典概型与几何概型的两类概率实验，如：摸球实验和转转盘实验，鼓励学生主动参与到实验中去，通过实践操作、记录数据、计算频率等活动，让学生结合原有经验与实验结果，初步感知随机事件的可能性的大小，提升数据分析能力.而后，教师引导学生思考“随机事件的可能性的大小与什么因素有关呢？”“两次实验的异同之处在哪？”“如何定量刻画可能性的大小呢？”等问题，让学生通过对实验结果的分析与思考，建立用频率估计概率的意识，逐步实现由对可能性大小的定性描述转向定量分析.

同时，为了避免学生对概率的计算产生错误的认知，教师可以对上述实验进行进一步拓展，例如在摸球实验中，教师可以让学生有放回地摸两次，记录所有可能的情况，并判断各种情况发生可能性的大小.在活动中，学生无法从球的数量来判断可能性的大小，只能回归到利用生活经验来感知或者利用随机事件出现的频率来判断，更利于学生感受事件发生的随机性，发展数据分析意识，提升数学统计素养.3  “认识概率”单元的教学建议

3.1  重视概率实验的意义，发展学生的核心素养

在当下概率教学的评价导向下，教师大多抱以“考什么就教什么”的态度，更侧重概率的计算教学.同时，由于概率实验的随机性，学生往往无法在小量次数的实验中得到较为理想的结果，且受限于课堂教学的时间、场地、器材等因素，概率的实验在教学中往往受到了“冷落”.这就会导致教师选择如案例的教学形式，让学生在已知实验结果的情况下“旁观”概率实验，进而假装得出实验结果，引出教学内容，然后迅速地转向概率问题的解决中.虽然八年级的学生处于皮亚杰认知发展理论中的形式运算阶段，思维具有可逆性、补偿性和灵活性，能够结合原有认知经验接受这一事实，但是如此教学使学生容易产生“等可能偏见”“曲解概率的内涵”等问题，不利于学生数学统计素养的发展，丧失了概率教学的价值意义.

因此，教师要重视概率实验的意义，在“认识概率”单元的教学中，充分发挥“抛硬币”“摸小球”“转转盘”“抛图钉”等实验的价值，让学生以小组合作的形式在课堂中完整经历实验操作、记录数据、分析数据、得出结论的概率统计过程，丰富用频率估计概率的活动体验.此外，在单元教学的尾声，教师可以组织跨学科主题的项目活动（如图1），以生物学中“生物种群密度的取样调查方法——标志重捕法”为主题，引导学生理解该调查方法的数学原理，感知统计与概率知识学习的意义.活动中，教师可以设计模拟实验，以大米、红豆、绿豆等材料代替生物的种群，让学生开展实验探究，利用统计与概率的知识来推测出大米、红豆、绿豆的数量.通过该项目活动的学习，学生的数学素养在多个方面不同维度上都得到了提升，同时也有利于学生跨学科素养的形成与发展.

3.2  紧扣学生已有认知经验，丰富对概率的理性认识

建构主义强调，学生并不是空着脑袋进课堂的，他们在过去的学习与生活中已经积累了大量的知识经验、数学活动经验、生活经验，为新知的学习提供认知基础、情感体验等.一般来说，对原有经验的再构建是学生获得新知的最有效方式［2］.正如案例中学生“哄堂大笑”的情形，这正是学生原有认知经验与实验结果产生的冲突而导致的.因此，教师首先要明晰学生对概率知识的认知基础、小初概率内容的异同之处，避免初中课堂与小学课堂产生同质化倾向，体现知识的螺旋式生长.其次，教师要明晰教材对“认识概率”章节的编排意图，提炼单元教学的目标与重难点，紧扣“用频率估计概率”这一关键点，引导学生从小学阶段的定性描述逐渐转向初中阶段的定量分析，实现数据分析素养由数据意识向数据观念的进阶，丰富学生对概率的理性认识.

3.3  组织设计前建构课堂，明晰概率的本质内涵

概率论是研究随机事件发生规律的学科，它的产生与发展经历了四百余年，逐渐发展为一套完整的理论.概率知识高度抽象，与几何与代数的知识中的因果关系、逻辑关系等确定性思维方式相比有着较大差异，学生理解起来较为困难.而且要让学生接受“用大数次试验中频率的稳定值作为概率的估计值”这一观点，也并非易事［3］.倘若要让学生建立对概率本质内涵的清晰认识，教师需要让学生在系统认识概率之前先初步建構概率知识的基本框架，初步感受用数据来描述随机事件可能性的大小，即教师可以围绕教材章首语的编排开设单元前建构课.在苏科版教材的“认识概率”的章首语中呈现了抛掷图钉实验的折线统计图，并附上了引言“事件发生的可能性有大有小.概率度量事件发生的可能性的大小.”统计图揭示了随着抛掷次数的增多，频率趋向稳定的这一现象，而引言则揭示了事件发生的随机性与概率的基本内涵，明晰了单元研究的对象.章首语中还给出了摸小球的实验，其目的分别是感受随机事件、感受随机事件发生的可能性的大小、感受等可能事件.最后，章首语给出了本章的研究对象与研究方法，建构了单元知识框架.

基于上述分析，在“认识概率”的章前构课中，教师可以组织学生开展抛掷图钉的实验，让学生首先思考抛掷图钉后可能出现的情况（即“针尖着地”与“针尖不着地”），初步感知随机事件，进而让学生从感性的角度出发判断哪种情况发生的可能性较大，激发学生实验探究的兴趣.而后，学生以小组为单位通过不断抛掷图钉，记录数据，并在教师的引领下汇总数据，绘制折线图统计图，发现“大量实验下‘针尖不着地’的频率在0.61附近摆动”这一事实，建立用数据来刻画可能性大小的意识，揭示概率的意义，发展学生的数据观念.最后，教师可以总结概率研究的基本内容与基本思路，共同绘制初中概率学习的框架图，揭示小初概率学习的差异，为后续概率的学习起到先行组织者的作用.

3.4  借助信息技术工具，发展智能计算思维

《课标2022版》中指出：要重视大数据、人工智能等对数学教学改革的推动作用，改进教学方式，促进学生学习方式转变［1］88.信息技术的发展为数学教学的开展提供了诸多直观、便捷的方式，同时也不断推动着数学教学形式的变革.在概率的教学中，信息技术的融入有助于教师与学生进行随机数据的产生、数据的处理、数据的可视化分析等.因此，在“认识概率”单元的教学中，教师可以利用信息技术来模拟数学实验，例如，“抛骰子”实验就可以利用Excel中的RANDBETWEEN函数，即在单元格中输入“=RANDBETWEEN（1，6）”就可以立刻随机输出1～6中的整数，再利用COUNTIF函数统计数字1～6出现的次数.表2中统计了随机产生的700个数，学生能够直观地感受出数字1～6出现的频率较为接近.此外，教师还可以将数字1～5代表红球、数字6代表黄球来模拟摸球实验，甚至可以进一步开发抛图钉、转转盘等实验的计算机模拟，为随机数据的产生提供便捷.

在获得随机数据后，教师可以利用Excel中的插入图表功能，快速地呈现相关统计图，便于学生观察可视化数据，利于学生顺利地发现概率中的相关结论.当然，课程中统计软件的使用不仅可以采用Excel，还可以应用Tinkerplot等统计教育软件和SPSS、R等专业统计软件，发挥软件优势，凸显其数据可视化的价值.此外，当面对较为复杂、不便于纸笔计算的数据时，教师还可以与信息技术教师合作，开展跨学科的项目式学习课程，让学生亲身体验应用计算机收集数据、分析数据与处理数据，养成利用信息技术开展研究的习惯，促使学生智能计算思维的发展.4  结束语

随着社会信息化程度的不断提升，概率在生活各个领域的应用愈加广泛，概率教学的重要性也日益突出.概率实验作为概率教学不可或缺的组成部分，能够使学生亲身经历随机事件发生规律的探索过程，激发学生从定量分析的角度感知可能性的大小，消除“等可能偏见”，发展数据观念、推理能力等数学核心素养.因此，教师要立足单元整体，合理设置开展概率实验的时机，重视概率实验的教学组织，发挥学生在课堂中的主体地位，促進学生形成对概率探究的真实体验，加深其对概率本质的认识与理解.当然，教师不应盲目地夸大概率实验的价值，要以理性客观的眼光审视组织概率实验的必要性，要鼓励学生开展概率的“思想实验”，让学生通过“思想实验”来初步感知随机事件发生的可能性的大小，形成对可能性大小的感性认识，而后再加以开展必要的概率实验，以此发现规律、验证猜想、修正错误，切实体会随机性与随机思想，形成丰富的数学体验.最后，值得指出的是，由于实验次数的有限性与实验结果的随机性，开展概率实验的真正目的并不是为了验证概率的大小，而是为了让学生亲身经历事件发生的随机性及其规律性，使学生产生感性与理性的思维碰撞，修正对概率的错误认识，建立正确的概率直觉.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：37.

［2］黄贤明.基于学生经验的教学实践与思考——以苏科版“有理数的除法”教学为例［J］.中学数学杂志，2022（06）：37-39.

［3］赵燕，连春兴.初中概率教学“鸡肋说”的根源分析——兼谈一个教学案例的启示［J］.数学通报，2011，50（11）：8-12.

作者简介  黄贤明（1999—），男，江苏苏州人，中学二级教师;研究方向为初中数学教学．