21世纪以来我国中小学数学变式教学研究的回顾与展望

2024-01-22徐凤旺严虹

中学数学杂志(初中版) 2023年6期

徐凤旺严虹

【摘要】数学变式教学是独具中国特色的课堂教学方式.以中小学数学变式教学为研究对象，基于“中国知网”数据库平台关于中小学数学变式教学的相关文献，研究总结了中小学数学变式教学的概念、分类、价值、原则、流程、策略以及应用，并对未来发展进行展望：优化数学变式教学，满足不同学生的需要；加强对数学变式教学本质的把握，提升学生数学思维；将数学变式教学融入数学课堂教学设计，提升教学效率；正确把握数学变式教学的“度”.

【关键词】数学变式教学；回顾；展望

1 研究缘起

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的基本理念第3条指出，把握数学本质，启发思考，改进数学［1］.数学变式教学正是启发学生思考，把握数学本质的有效途径之一.随着社会的不断发展，数学的学习不再停留于表面的学习.通过数学变式教学，能够促进不同知识间的迁移，学生能够从不同的视角看待数学问题，加深不同知识之间的理解，能够较好地把握数学知识的本质.广大教育者对数学变式教学的研究是比较深入的，但目前几乎没有对数学变式教学的研究进行梳理的.虽然数学变式教学已经是一种成熟的中国传统教学模式，但也还存在一些问题，最主要的原因是对数学变式教学的理解不够深入，未能真正的把握其本质，导致实际的教学效果不理想［2］.因此，梳理从21世纪以来关于中小学数学变式教学的相关研究，具有重要的意义，同时为后面的研究提供一定的理论参考.2 研究设计

2.1 研究对象

为研究21世纪以来我国中小学数学变式教学的研究状况，在中国知网上，对发文年限限定为2000年1月1日到2023年6月20日，以检索条件为：（（（题名=‘变式’）OR（题名=‘变式教学’））AND（题名=‘数学’））进行检索，共检索到2030篇文献，其中包含学术期刊161篇，对学术期刊剔除无关文献后得到144篇文献作为本文的研究对象.

2.2 研究方法

本文应用了文献计量法和文献分析法.文献计量法主要用于对所要研究的144篇文献从四个维度进行文献计量学的统计分析，文献分析法对所要研究文献的内容进行分析，这是一个透过现象看本质的方法，目的是为了揭示数学变式教学研究的隐性内容，最后得出聚焦点.

2.3 研究思路

本文所研究的是21世纪以来我国中小学数学变式教学的回顾与展望，以期把握中小学数学变式教学的发展趋势.本文将基于文献计量法对所选文献从“年度分布情况”“关键词分析”“高频被引作者分析”和“高载文期刊分析”四个维度进行分析;利用文献分析法对所选文献进行研究分析，最后基于文献计量法和文献分析法得到相关结论并对数学变式教学进行展望.

3 基于文献计量学的研究回顾与分析

3.1 年度分布情况

将144篇文献按照发表的年份进行整理，得到如图1所示的21世纪以来我国中小学数学变式教学研究的年度分布情况.通过图1，可以看出从2000年到2023年的发文量是波动的，在2015年發文量是最多的，达到了15篇，但是近五年又有所下降，这可能与中小学数学课程的改革是有关系的，虽然我国的数学变式教学有着丰富的研究成果，但我国数学教科书中使用的变式素材的研究仍处于起步阶段［3］.图1 我国中小学数学变式教学研究的年度分布

3.2 关键词分析

根据本文所研究的144篇文献，对关键词出现次数从高到低排列选取了前12个关键词绘制如图2所示的我国中小学数学变式教学研究中的高频关键词.由图2得出，“变式教学”处于首位，这是因为变式教学作为成熟的教学理论而且已成为我国数学教学的瑰宝［4］，通过不断地研究和实践，已经取得大量的成果.同时，关注到“变式”“初中数学”“变式训练”等关键词频繁出现，可以得出有不少的研究者将数学变式教学与这些关键词结合起来研究.

3.3 高频被引作者分析

被引频数是指文献发表以后被研究者参考和引用的次数，文献被引用的频次越高，说明学术界对该论文的学术价值认可度越高，该领域的相关研究也得到更多的关注［5］.表1为21世纪以来我国中小学数学变式教学研究被引频次前10位的文献.

由表1可以看出，我国数学变式教学研究领域被引频次较高，并且在学术价值和影响力得到众多研究者认可的研究成果包含三个方面：一是数学变式教学的内涵界定，数学变式教学是透过现象看本质的一种教学方法，由于没有统一的界定，所以对数学变式教学作出界定是研究的基础；二是数学变式教学的理论框架研究，实践来源于理论的支撑；三是数学变式教学的实践研究，在不同的学段，数学变式教学均有应用.

3.4 高载文期刊分析

将得到的144篇文献按照期刊来源整理，选取至少发表3篇数学变式教学文章的期刊得到如图3所示的我国中小学数学变式教学研究的来源分布.由图3可知，数学教育研究中的核心期刊，如《数学通报》《教学与管理》《数学教育学报》等期刊上发表了较多的研究成果，其中《数学通报》发表的文章是最多的，有12篇.说明本文的研究质量从来源上看具有一定的可靠性，具有较好的学术参考价值.图3 我国中小学数学变式教学研究的来源分布

4 我国中小学数学变式教学研究的回顾

对本文研究的144篇文献进行整理和分析，不难得出从21世纪以来我国中小学数学变式教学的研究主要聚焦于数学变式教学的概念、分类、价值、原则、流程、策略以及应用方面.

4.1 数学变式教学的哲学研究

4.1.1 数学变式教学的概念界定

对数学变式教学的概念进行界定，是多数的教育研究者在进行中小学数学变式教学研究中不可避免的一个问题.尤善培等认为，数学变式教学是指变化数学对象（问题）的呈现方式，一个数学对象（问题）有着多种呈现方式，通过不同的呈现方式使非本质特征逐渐淡化而本质特征逐渐凸显的一种教学方式［6］.耿秀荣认为数学变式教学是通过改变数学概念的非本质特征来得到本质特征的一种教学方法［7］，如数学概念的学习就需要教师对概念进行多方位、多角度的剖析，剖析的过程中把握概念的本质.武岿认为所谓的数学变式教学即有目的、有计划的对数学命题进行不断变换的教学方法［8］.综上，数学变式教学是指在数学教学中通过不同形式的直观材料和事例来说明概念、定理、命题的本质属性，从不同角度、不同情形以及不同背景对数学定理、命题等非本质属性进行不断的变化，进而突出本质属性，揭示不同知识之间的联系.

4.1.2 数学变式教学的分类

对于数学教学中的变式是无处不在的，导致很多研究者很难对数学变式教学做一个系统的分类，不一样的分类可能会对研究产生不同的影响.赵方方按照数学教学的内容，将数学变式教学划分为三种形式的变式，分别为概念定义变式、定理公式变式和概括能力变式［9］.周爱东等从不同的课型出发将数学变式教学划分为概念课中的变式教学，例题课中的变式教学以及复习课中的变式教学［10］.冯伟明通过不断对数学变式教学的内容和方法的改进，将其分为五种形式，分为变题型，本质不变；变条件，结论不变；条件不变，变结论；题目不变，变解法；基本图形不变，变结论和条件［11］.无论是哪一种分类，教师在教学中进行数学变式教学时，要引导学生选好变式点，使学生在变式的过程中能够巩固所学知识，掌握方法，提高学习数学的能力和水平.

4.1.3 数学变式教学的价值

（1）数学变式教学帮助学生转变学法，跳出题海

数学变式教学是数学问题解决的有效铺垫，深化理解数学题目的有效途径［12］.数学教学的过程中离不开解题，教师引导学生对教材中的例习题进行变式探究，达到“做一题，会一类”的效果，对于难度大的题目，教师可以尝试引导学生将问题转化为学生比较熟悉的问题进行求解.解题不是目的，通过解题深化学生对知识的理解与运用，掌握解题的思想方法和技巧，从而积累更多的解题经验.

（2）数学变式教学有利于培养学生的数学思维

通过数学变式教学，有利于学生养成良好的数学思维.教师引导学生从不同角度思考问题，能够发散学生的数学思维.教师引导学生对数学概念、定理、公式、法则等进行变式，进而产生新的数学问题，培养了学生思维的创新性.将数学变式教学应用于數学的学习中，使学生通过一个知识点的学习能够辐射出多个知识点，降低了学生的学习压力，增加数学学习的趣味［13］.

（3）数学变式教学有利于提高学生的综合素养

数学变式教学可以从定理、公式、法则、图形等不同的方面进行变式［14］，这样的教学方法为学生创造了一个非常大的想象空间，在数学变式教学的模式下，学生从不同视角思考问题.在探究中学习，在学习中探究，学生多方面、多角度地去理解问题，综合应用所学知识，去理解新知识、新概念的本质，使得数学的学习变得不再那么的困难.

4.1.4 数学变式教学的原则

数学变式教学中所说的“变”是指对数学对象或数学问题中非本质属性做到“万变不离其宗”，目的就是在变化的过程中能够找出数学概念、定理、法则等本质特征，在数学变式教学中，要遵循以下四个原则.

（1）针对性原则

在数学课程的学习中，课型包含新授课、习题课和复习课，教师在教学的过程中要根据不同的课型，有针对性的进行数学变式教学，做到因材施教，而不是采用“一刀切”.数学变式教学的设计要有层次，由易到难，由简到繁，要遵循对事物的认知规律，有的放矢［15］.比如在新授课中，应该以本节课的教学目标为导向进行变式；在习题课中应该根据教学目标和学生现有的知识水平，通过数学变式教学在变式的题目中渗透数学思想方法；在复习课中，要紧扣考试大纲进行横向与纵向的变式复习.

（2）适度、适量原则

在数学教学的过程中，要求按照适度、适量的原则进行灵活的教学.灵活的教学指的是教师从形式、内容上有自己的看法和理解，并不是一成不变的，教师要勇于做出改变，但是在改变的时候要以学生为主，要考虑到学生的接受能力［16］.数学变式教学要求教师给学生布置的题目要适度、适量，尽量选取一些有代表性的题目，尤其是课堂上例题的选取，教师带领学生深入分析例题，做到弄懂，更懂.同时，数学变式教学也要求教师在教学的难度上进行把控，不要太难也不要太简单，掌握好平衡，通过学习使学生对数学学科的学习感兴趣，增强学习数学的信心.

（3）循序渐进原则

学生认知能力的发展要遵循一个由低到高的过程，同理，数学知识的逻辑结构的呈现也应是由简单到复杂，教师在数学变式教学的过程中要根据教学内容和学生的实际情况设计符合学生“最近发展区”的教学内容进行相应的数学变式教学，教师可以通过给学生创造逐级递进的问题情境，让学生一步一步地向教学目标靠近［17］.

（4）主动参与原则

课堂教学中，教学不是教师一个人就可以完成的，课堂中要以学生为主体，教师为主导.对于教师来说，教师可以选取有代表性的题目，通过查阅相关的文献，积极主动的对题目进行变式，进而在课堂中引导学生开展相应的数学变式教学活动.在数学变式教学过程中，对教师有着更高的要求.教师要明确教学目标，引导学生对每一节数学课的基本知识的学习有一个把握，让学生感受到数学变式教学能够给学生自身带来知识储备以及学习能力的提高，让学生学以致用，学会举一反三［16］61.

4.1.5 数学变式教学的流程

在数学变式教学中，教师根据教学的内容和学生的学情，选取某种范式，进而开展数学变式教学，在保持事物本质不变的情况下，使事物的非本质属性不断的凸显，黄蓓［18］、肖凌戆［19］等给出了数学变式教学的一般流程，如图4.

4.1.6 数学变式教学的策略

（1）使用概念性变式进行教学

数学概念是对知识内容的高度概括和总结，具有简洁、凝练的特点［20］.无论在哪一阶段的数学教学过程中，都少不了数学概念的学习，教师引导学生加强对概念的理解和剖析是比较重要的.将数学变式教学与数学概念相结合，教师引导学生从不同角度对数学概念进行理解，让学生不仅知其然，还知其所以然［21］.深入剖析数学概念，加深学生对数学概念的认识，提高课堂教学的效率.

（2）使用过程性变式进行教学

在数学教学的过程中，教师通过创设“阶梯式”的问题，由易到难，不仅能够帮助学生巩固所学知识，还能发散学生的思维，使学生积极参与到课堂，成为探究的主体［22］.常见的过程性变式有“一题多解”“一题多变”“多题一解”等，通过层层递进的方式，打开学生的思路，提高学生分析和解决问题的能力.

（3）在例题和习题中应用变式教学

对于教材中的例题和习题，教师可以带领学生选取一些比较典型的例题和习题通过变式教学进行“深加工”［10］75，但在变式的过程中要围绕本节课的教学目标来展开，这样不仅能够巩固本节课所学的知识，还能提高学生的探究能力和学习的主动性，在围绕例题和习题开展数学变式教学的过程中，教师可以有意识的融入一些数学思想方法，提高学生的数学学习能力，培育学生逻辑推理和数学运算的数学核心素养.

4.2 数学变式教学的应用研究

数学变式教学的应用是非常广泛的，钟志华等将数学变式教学应用于数学教学设计中，从情境创设、猜想发现和证明、课堂小结以及布置作业等方面充分发挥数学变式教学的指导作用［4］23.李静将数学变式教学与小学的多元表征融合，有利于学生数学认知能力的发展以及提高学生解决实际问题的能力［23］.褚小婧分析了数学变式教学在陈述性知识中促进了学生图式的形成，在程序性知识中增加了数学活动途径的多样性和过程的层次性［24］.程喜玲阐述了数学变式教学分别在数学概念、教学和练习题中的应用［25］.在数学概念的学习中，为学生数学学习打下坚实基础；在数学教学中，能够优化数学课堂；在数学练习题中，教师引导学生对练习题做“一题多解、一题多变和多题一解”，培养学生的数学思维.周功扬应用“概念性变式”和“过程性变式”从多题归一、一质多表、一题多变、一题多解和一法多用五个维度总结了数学变式教学在数学中的应用［26］.数学变式教学能够在不改变事物本质的情况下，灵活运用各种素材进行教学，对数学例习题、概念、结论、条件等进行不断地深化和拓展，有助于启迪学生的数学思维.5 我国中小学数学变式教学研究的展望

从21世纪以来我国中小学数学变式教学研究中不难看出，现今对于数学变式教学的概念、分类、价值、原则、流程、策略以及应用方面的研究是比较丰富和全面的，但是也仍然存在许多进一步待完善和研究的方面.笔者通过对文献阅读的总结与反思，认为以下方面是值得思考和进一步探究的.

5.1 优化数学变式教学，满足不同学生的需要

数学变式教学经过漫长的发展，已经成为了具有中国特色的教学方法，但是数学变式教学需要与时代的发展同步，更多地满足不同学生的需要，可以通过优化数学变式教学的目标、优化数学变式教学的载体以及优化数学变式教学的策略方法三个层面进行［27］.在现在这样一个时代背景下，对人才的要求是不断提高的，数学变式教学的发展应是基于学生的成长与发展的需求、社会对人才的要求等.因此，在数学变式教学的过程中，教师要尝试优化教学目标，满足学生不同需求的发展；通过不同的教学载体，调动学生学习的主观能动性，激发学生学习的求知欲；通过优化教学策略和方法，找到更适合促进数学变式教学的方法.

5.2 加强对数学变式教学本质的把握，提升学生数学思维

随着教育发展的不断深化，人们对数学的认识不再停留于“工具”层面，而是将其视为改变思维的重要途径［28］.这与数学变式教学中的“通过不断迁移数学问题的非本质属性、不断变更思维角度来把握数学问题的本质，从而提高思维能力”的教学模式是契合的［29］.在数学课堂中，教师可以引导学生通过一题多解的数学变式教学激发学生思维的发散性，能够使学生从不同的视角解决问题，增强学生对问题本质的把握，提升数学思维；教师可以引导学生通过多题一解的数学变式教学激发学生思维的灵活性，很多题目的解答方法是可以通过类比得到的，达到“做一题，会一类”的效果；教师可以引导学生通过一题多变的数学变式教学激发学生思維的创新性，通过在原题的基础上不断的进行变式，培养创新意识.

5.3 将数学变式教学融入数学课堂教学设计，提升教学效率

数学变式教学可以作为一种教学理念融入数学课堂的教学设计中［30］.数学变式教学融入数学教学设计.首先，教学目标的制定问题，数学变式教学中教师要引导学生变换问题的视角和形式，引发学生思考和探究，从而掌握事物的本质.但是无论怎么变，一切都要围绕教学目标来展开，做到“万变不离其宗”；其次，教师要关注到课堂教学中的一些关键点，毕竟数学课堂时间是有限的，怎么样才能达到教学效益最大化，比如变式例题的选择，就需要教师考虑；最后，教师要引导学生对例题做深度拓展变式，使所学知识系统化、板块化.数学知识在学习的过程中是零散的，但很多的知识之间是有联系的且属于同一个系统.所以，在数学课堂教学设计中融入数学变式教学，能够有效的提高教学的效率.

5.4 正确把握数学变式教学的“度”

数学变式教学在我国的数学教学过程中扮演着十分重要的角色，是每一位教师都应掌握的，但是在现实的数学课堂中，除了学生对数学变式教学的理解存在误区外，很多的教师也没有真正的理解变式教学的本质，无法把握数学变式教学的“度”［31］.在数学变式教学中，教师要把握好“度”，比如要选取有针对性和代表性的题目进行变式，题目不要太简单或者太难，数量也不要太多，否则达不到想要的教学效果或者让学生陷入题海战术.教师要从理论的层面去深度剖析数学变式教学，要遵循相应的数学变式教学原则，掌握数学变式教学的方法和策略.

参考文献

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