沈中宇 胡永强

基金项目  2022年度江苏省高校哲学社会科学研究一般项目“中小学教师学科育德能力评价指标体系构建研究”（2022SJYB1444）；2022年度江苏省教育科学规划专项课题“江苏中小学专家型教师的成长机制研究”（C/2022/01/53）；江苏省中小学教学研究第十四期课题“初中数学学科德育内容开发与实施路径研究”（2021JY14-L47）；上海市第四期双名工程“中小学数学留白创造式教学”课题组、上海市立德树人数学教育教学研究基地研究项目“数学课程中落实立德树人根本任务的研究”.

【摘  要】  数学学科德育是数学课程的重要目标，将中华优秀传统数学文化融入初中数学教学是实现其德育价值的重要途径之一.通过分析与初中数学相关的中华优秀传统文化素材，发现其蕴含了激发积极情感、树立正确信念、形成理性思维和培养优秀品质等丰富的数学学科德育价值，可以通过结合教育技术、利用古今对照、融入问题提出和布置数学写作等多种实施策略落实其相应的学科德育价值.

【关键词】  学科德育；传统文化；教学策略

1  引言

学科德育是指将道德教育融入到各科教学中，实现各科教学与品德教育相融合的一种德育形式［1］.近年来，学科德育受到了国家政策层面的高度重视，在学科教学中渗透德育是当今学校课程立德树人的基本路径［2］.在新一轮数学课程改革的背景下，数学学科德育受到更多的关注.在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，将数学学科德育列为数学课程的目标之一.

同时，中华优秀传统文化承载着重要的教育功能.2021年教育部颁布了《中华优秀传统文化进中小学课程教材指南》，其中提到“在中小学数学课程教材中纳入我国传统数学内容，对于学生感悟中华民族智慧与创造、增强民族自豪感、坚定文化自信具有重要作用.”

已有研究表明，数学史融入数学教学有助于达成德育之效［3］.中华优秀传统数学文化作为数学史的重要组成部分，其内蕴的德育价值与相关的德育实施策略还有待探讨［4］.

有鉴于此，本文通过分析与初中数学相关的中华优秀传统文化素材，揭示其中蕴含的德育价值，并提出相应的德育实施策略，从而为在初中数学教学中渗透学科德育提供启示.2  中华优秀传统数学文化的德育价值

结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》的课程目标中有关数学学科德育的相关要求［5］与基于数学史的数学学科德育分类框架［3］（如表1所示），将中华优秀传统数学文化的德育价值分为激发积极情感、树立正确信念、形成理性思维与培养优秀品质四类，以下结合与初中数学相关的素材展开具体分析.

2.1  激发积极情感

在情感方面，中华优秀传统数学文化有助于提升学生数学学习的兴趣，激发学生对数学的好奇心、求知欲和学好数学的信心.

首先，中国古代数学典籍中包含了较多趣味性的数学问题，如《九章算术》均输章中的“凫雁俱起”问题：

“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起.问何日相逢？”［6］

此问题可以在学生学习一元一次方程应用的过程中提出，作为相遇问题供学生探究思考，从而提升学生对相关数学内容学习的兴趣.

其次，中国古代有较多对于数学问题的巧妙解法，如中国古代数学家刘徽（约225—约295）在《九章算术》注中使用方程“新术”解多元线性方程组问题.

“以正负术入之.今左、右相减，先去下实，又转去物位，则求其一行二物正、负相借者，是其相当之率.又令二物与他行互相去取，转其二物相借之数，即皆相当之率也.各据二物相当之率，对易其数，即各当之率也.”［6］

以《九章算术》方程章中的“五雀六燕”问题为例，根据条件可列出方程组：

4x+y=8，x+5y=8.

将方程组中的两行相减，于是有：

3x=4y，即：

x∶y=4∶3.

接着，任取方程组中的一行，将x转化为y即可获得方程组的解.

与一般的解方程组方法不同，以上方法通过消去方程组中的常数项获得方程组的解.在二元一次方程组的学习过程中，教师可以在恰当时机向学生介绍这一解法，从而激发学生对数学的好奇心和求知欲.

最后，中国古代数学家在数学研究的过程中始终保持着不屈不挠的精神，如中国明朝科学家徐光启（1562—1633）与意大利耶稣会士利玛窦（Matteo Ricci，1552—1610）在翻译《几何原本》的过程中，利玛窦向徐光启充分陈述了《几何原本》汉译之难，然而，徐光启不畏艰难，其提到“吾避难，难自长大；吾迎难，难自消微.必成之”［7］.这充分体现了其坚定的决心、過人的勇气和强烈的使命感，于是，经过反复推敲，二人终于将《几何原本》前六卷译完并出版.在初中生刚刚接触平面几何的演绎证明时，难免产生畏难心理，在教学过程中融入以上故事有助于让学生认识到，只要肯钻研、不怕难，就一定能学好数学，从而培养学生数学学习的自信心.

2.2  树立正确信念

在信念方面，中华优秀传统数学文化能够让学生了解数学在生活中的广泛应用以及形成动态的数学观.

一方面，中国古代数学较为注重实用性，如《周髀算经》中周公问商高：

“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出.”

商高的回答为：

“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五.”

以上对话可以说明，中国古代数学家将数学作为一种量天度地的工具，其强调了数学在天文测量中的巨大作用，并因此引出了勾股定理的特殊形式［8］.在勾股定理的教学中，可以通过以上对话，引出勾股定理背后的巨大实用价值，说明数学在生活中的广泛应用.

另一方面，中华优秀传统数学文化中数学概念的演进过程可以帮助学生形成动态的数学观，如“方程”的概念，刘徽对“方程”的解释为：

“程，课程也.群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率.二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”

因此，中国古代的方程实质上是指行数与未知数个数相等的线性方程组.后来，李善兰等人在翻译西方数学著作时，借用“方程”一词来作“equation”的译名，从而方程的概念发生了变化［9］.因此，在初中生学习方程概念时，可以介绍以上方程概念含义变化的过程，让学生了解数学是不断发展演进的，从而树立动态的数学观.

2.3  形成理性思维

在理性方面，中华优秀传统数学文化有助于学生形成质疑问难、自我反思和严谨求实的科学精神.

其一，中国古代数学家能够批判性的看待已有的数学成果，如在《九章算术》方程章中给出了“五家共井”問题，其中共有6个未知数，但由已知条件仅能列出5个方程，所以问题的解不是唯一的，然而，《九章算术》的编撰者并未认识到这一点.刘徽注意到了这一问题，其提出原先《九章算术》中得出的答案仅为一组整数解，将其扩大或缩小若干倍也是原“方程”的解［9］.以上充分体现了刘徽对已有的数学成果批判性接受的过程，在线性方程组的教学中，可以向学生介绍这一过程，从而培养学生质疑问难的精神.

其二，在一些中国古代数学典籍中，往往对于数学公式、解法没有推导、不做证明，如在《九章算术》中，对于勾股定理的描述为：

“勾股各自乘，并，而开方除之，即弦.”

然而，《九章算术》中并没有给出勾股定理的证明.刘徽在《九章算术》勾股章的注中借助图形的出入相补给出了勾股定理的证明.

“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”

以下为清代数学家李锐在《勾股算术细草》中有关刘徽出入相补方法的推测.

如图1所示，分别将两个小正方形中的三角形Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ分别移到大正方形中Ⅰ′、Ⅱ′和Ⅲ′中，其余位置不动，则勾方与股方恰好等于弦方，从而勾股定理得证［6］.因此，在勾股定理的教学过程中可以融入中国古代数学家对定理的证明，从而培养学生严谨求实的精神.

2.4  培养优秀品质

在品质方面，中华优秀传统数学文化能够培养学生勤奋、刻苦和爱国等优秀品质.

一则，在中国古代数学家身上蕴含着勤奋、刻苦的优良品质.如清代数学家华蘅芳在少年时期学习数学，在了解前人对勾股定理的证明之后，华蘅芳认为前人尚未穷尽勾股定理的证法，因此，经过日夜的苦思冥想与勤奋思考之后，华蘅芳总共给出了勾股定理的22种证法，令人惊叹［7］.在初中勾股定理的教学过程中，融入华蘅芳研究勾股定理的故事，有助于让学生感受到数学内容背后，数学家研究数学的勤奋、刻苦精神.

二则，中国古代数学家取得了多项领先世界的数学成就，如在线性方程组方面，中国古算中关于线性方程组的成果，是当时西学所匮缺的，中国早在《九章算术》成书的年代（公元1世纪左右），相当复杂的线性方程组问题和解法就已经出现了，而在17世纪的欧洲，线性方程组的理论和算法还较为粗浅，系统的理论和算法更是18世纪以后的事情［9］.在线性方程组的教学过程中，可以向学生介绍中国古代的相关成就，说明中国人不必在西方数学成就面前妄自菲薄，从而增加民族自豪感，坚定文化自信，培养爱国的优良品质.3  基于中华优秀传统数学文化的德育实施策略

尽管中华优秀传统数学文化中蕴含了以上学科德育价值，在实际教学过程中，仍然需要将中华优秀传统数学文化的学术形态转化为教学形态，结合已有的数学史融入数学教学相关策略［10-13］，如图2所示，提出结合教育技术、利用古今对照、融入问题提出和布置数学写作四类德育实施策略.图2  中华优秀传统文化的学科德育价值及实施策略

3.1  结合教育技术

在基于中华优秀传统数学文化实施学科德育的过程中，展示数学概念的演变过程以及中国古代数学家的奋斗历程是非常关键的.考虑到初中生的认知特点，仅仅依靠教师口头讲述会显得比较枯燥，结合教育技术，将相关内容制作成微视频，则往往能给学生留下深刻的印象和积极的影响，从而起到更好的德育效果.

以“方程”的概念微视频为例，可以将“方程”概念的历史演变分为三个阶段展示，分别为：《九章算术》中的方程概念、李善兰等人所翻译方程概念的过程和如今初中数学教科书中的方程概念.同时，需要说明很多数学概念的含义都经历了相关的演变过程.以上微视频的展示有助于激发学生的学习兴趣、树立学生动态的数学观以及培养学生不断探索、创新的品质.

3.2  利用古今对照

在通过中华优秀传统数学文化落实学科德育的过程中，展示中国古代数学家对相关数学问题的巧妙解法与严谨证明是非常重要的.考虑到古代数学家的认知基础与数学研究背景与如今初中生有所不同，为了促进学生的探究与反思，可以利用古今对照的方式，将历史上的解法与如今的解法相比较，搭建历史与现实融通的桥梁，让学生对数学问题及其不同解法有更深入的理解和认识，以便达成理想的德育效果.

以线性方程组的求解方法为例，在学生学完线性方程组的消元法之后，请学生进一步思考还有什么方法可以解线性方程组.接着，教师展示刘徽在《九章算术》注中使用的方程“新术”.然后，教师引导学生进一步比较之前所学的消元法与方程“新术”之间的联系与区别，鼓励学生进一步发展新的方法.通过设置以上古今对照的探究活动，可以让学生了解数学的动态变迁，形成探索反思的理性思维以及培养学生倾听、包容等优秀品质.

3.3  融入问题提出

在将中华優秀传统数学文化融入数学教学的过程中，可以充分利用中国古代数学问题.一方面，可以直接采用或者改编中国古代的数学问题，将其融入课堂教学的练习中，另一方面，也可以基于已有的中国古代数学问题，让学生自主提出问题.已有实践表明，后者对于学科德育效果的达成具有重要作用.

以“凫雁俱起”问题为例，首先，教师可以将其作为一元一次方程应用的练习让学生求解.接着，教师在课堂上展示学生的求解方法的同时，让学生进一步思考，围绕这一问题可以提出哪些新的问题.最后，教师可以基于问题改编方式对学生提出的问题进行分类展示、交流.在此过程中，学生可以体会到自己提出数学问题的乐趣，了解数学的创造性，养成创新思维并且培养学生大胆假设、小心求证的理性思维.

3.4  布置数学写作

在数学学科德育的实施过程中，需要让学生了解中国古代的数学思想与中国古代数学家的研究历程.由于课堂教学时间有限，可以结合课内的相关传统文化素材，布置一些相关的数学写作任务，通过这种方式，学生可以在写作过程中更深入地了解中国古代数学的文化背景和历史意义，从而提升课堂教学的德育效果，形成长效的德育机制.

以清代数学家华蘅芳在少年时期证明勾股定理的故事为例，教师可以在课后将相关材料发给学生，并进一步布置相关的数学写作任务：“如果遇见华蘅芳，你会对他说什么？”通过这一写作任务，可以引导学生真正走进古人心灵，促进学生的情感流露，体会数学研究背后的理性思维，同时，可以激发学生的民族自豪感，培养学生热爱祖国等优良品质.4  结束语

综上可见，中华优秀传统数学文化中蕴含了激发积极情感、树立正确信念、形成理性思维和培养优秀品质等丰富的数学学科德育价值，可以通过结合教育技术、利用古今对照、融入问题提出和布置数学写作等多种实施策略落实其相应的学科德育价值.

从以上可以发现，除了人们熟知的爱国主义的德育价值之外，中华优秀传统数学文化在数学学科德育的渗透中还可以发挥更多元的价值.在课堂教学中，教师不仅仅要讲述中国古代数学家的故事，更要注重采用合适的策略，使中华优秀传统数学文化与数学教学深度融合.中华优秀传统文化博大精深，随着越来越多的教师将其融入教学实践，相信其价值和策略将会得到更加深入地发掘与弘扬.

参考文献

［1］叶飞.学科德育的实践意蕴及其实现途径［J］.课程·教材·教法，2009，29（08）：48-51，56.

［2］姜浩哲，沈中宇，汪晓勤.新中国成立70年数学学科德育的回顾与展望［J］.课程·教材·教法，2019，39（12）：22-27.

［3］汪晓勤，邹佳晨.基于数学史的数学学科德育内涵课例分析［J］.数学通报，2020，59（03）：7-12，19.

［4］汪晓勤.中华优秀传统数学文化融入初中数学教学的若干路径［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（6）：34-39.

［5］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：人民教育出版社，2022.

［6］郭书春.九章算术译注［M］.上海：上海古籍出版社，2015：276，359，373-374.

［7］汪晓勤.数学文化透视［M］.上海：上海科学技术出版社，2013：33-34，253-254.

［8］程贞一，闻人军.周髀算经译注［M］.上海：上海古籍出版社，2018：1-2.

［9］刘钝.大哉言数［M］.北京：商务出版社，2022：236-242.

［10］侯小敏，汪晓勤.HPM微课在初中数学教学中的运用［J］.中学数学月刊，2015（06）：61-63.

［11］胡永强，刘志峰，孙丹丹.古今对照发展学生数学公理化思想——以等腰三角形两底角相等为例［J］.数学通报，2021，60（03）：38-42.

［12］丁倩文，汪晓勤.基于数学史的初中数学问题提出课例分析［J］.中学数学月刊，2018（03）：44-48.

［13］汪晓勤，柳笛.数学写作在美国［J］.数学教育学报，2007（03）：75-78.

作者简介  沈中宇（1991—），男，江苏苏州人，博士后；主要从事数学史与数学教育、数学教师教育研究.

胡永强（1981—），男，江苏徐州人，高级教师；主要从事初中数学教学研究.