刘太杰　周发凤

［摘  要］ 文章以一道期末调研填空压轴题为例，通过一题多解，引导学生从多方面深入探究多元最值问题的求解方法；通过变式拓展训练，加深学生对多元最值问题处理方法的理解，提升学生的发散思维能力；通过教学反思，深度品味例题带给大家的教学启示.

［关键词］ 多元最值；深入探究；深度品味

多元最值问题一直是一个热门考点，较受命题者的青睐. 从考查内容来看，考查的知识点较多，涉及不等式、函数与方程、导数、几何意义等内容；从命题意图来看，多元最值问题综合性较强，区分度较大，便于命题者命题以筛选优等考生；从考生应试来看，多元最值问题让很多考生望而生畏、默默放弃，成为他们心中挥之不去的梦魇.

在上学期我市期末调研考试中，就出现了这样一道让学生望而却步的多元最值问题. 通过阅卷了解到，该题的平均分只有0.04分，而难度系数不足1%，远远低于教学预期，笔者力图从多层面、多视角剖析该题，并进行适当的变式拓展，以期达到抛砖引玉的功效. 正如数学家波利亚所言：“一个有责任心的教师，与其穷于应付烦琐的教学内容和大量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力.”［1］

试题呈现

题1 若实数a，b，c满足ab+c=1，

a2+b2+c2=3，则abc的最小值是_____.

1. 追溯命题源头

我国宋代著名诗人朱熹在《观书有感》中写道：“问渠那得清如许？为有源头活水来. ”

在数学中，很多题目不是无中生有，大多根植于课本，要么拓展自前期的高考真题，要么变形自前人命制的各种模拟试题. 可见，追溯命题源头非常重要. 通过追溯命题源头，能发现命题者的命题意图和考查方向，便于顺藤摸瓜查找各种支流，为以后的研究和学习提供帮助.

例如题1源于2014年浙江省高考文科卷第16题：

已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是______.

2. 品味解题方法

“一题多解，是指在原有基本解法的基础上，充分发挥发散性思维的优势，对原有解法进行提炼加工，并以原解法为中心拓展，上下求索，左右逢源，寻找其他多个解决问题的途径.它对激发学生的学习兴趣、提高知识的迁移能力、培养学生创造性思维及创新能力都是十分难得的载体和重要途径.”［3］ 本文中笔者分别从代数运算和几何推演两个途径对题1的解法進行剖析，其中解法1至解法3属于通性通法，便于学生模仿练习；解法4至解法8均有较大的运算量，适合课外拓展使用. 不管是哪种解法，都是先消元，再求余元的取值范围，最终利用基本不等式或二次函数求最值. 在考场实战中，考生应根据自己的解题习惯选择适合自己的解题方法.

3. 探究教学方向

题1的得分率之所以非常低，主要原因有两点：一是在不等式这一章的日常教学中，教师所选例题大多是一元或二元问题，很少涉及三元问题，相应题型的训练和思维培养不到位；二是学生在平时的训练中对各种方法的理解不是很透彻，没有及时复习巩固，再加上考场上的各种心理因素的影响，看到题目就放弃的应该不在少数.

在教学方面，首先，教师要积极研究历年高考真题，因为高考真题是很多模拟试题的源头，只有把握了源头活水，才能将它源源不断地输送给学生，正所谓先“授人以鱼”，再“授人以渔”；其次，教师要多去尝试变式教学，通过变条件、变目标、变结构等让学生感受题型的复杂多变，体验各种解题方法所蕴含的智慧；再次，在日常教学中，教师要引领学生及时消化课堂所学内容，定时总结各种解题方法，适时复习巩固考试内容. 总之，要让教师的“教”与学生的“学”形成合力，让教师在教学中研究，让学生在学习中成长.

参考文献：

［1］ 叶琳. 提出问题 启发引导 深度对话——“一道教材例题的激活与拓展”教学反思［J］. 中学数学教学参考，2018（25）：22-24+29.

［2］ 张金良. 构建深度学习课堂 促进数学核心素养的养成［J］. 中学教研（数学），2019（11）：1-5.

［3］ 鲁和平. 对高中数学“一题多解”教学的辩证思考［J］.中学教研（数学），2019（05）：29-31.

基金项目：浙江省湖州市2022年度教学研究课题（HZJY22115）.

作者简介：刘太杰（1981—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学和研究工作，曾获2020年度湖州市教科研先进个人荣誉称号.