［摘  要］ 虽然合情推理在日常生活中无处不在，却难以达到数学精确水平. 猜想是合情推理的主要形态，合理猜想是具有良好直觉的高级认知活动过程. 文章从合情推理的内涵与价值出发，具体谈谈数学探究思维活动流程，并从公式、定理与例题教学三方面對合情推理能力的培养措施展开分析.

［关键词］ 合情推理；公式；定理；解题

波利亚认为，在我们的日常交流、思维、艺术表演以及最高学科成就中到处都充满了合情推理，虽然合情推理无处不在，却难以达到数学精确水平. 他还提出，不管是初等数学还是高等数学，抑或其他学科，都不能缺乏合情推理过程，合情推理在所有的发现中都有着重要作用. 新课标也着重强调数学教学要注重发展学生的应用意识与推理能力.

合情推理的内涵与价值

合情推理是指在认知心理活动过程中，从感性直观到知性探究的过程，它与演绎推理的逻辑形式有所不同，直觉、归纳与类比是它惯用的思维方式. 猜想是合情推理的主要形态，合理猜想是具有良好直觉的高级认知活动过程，一般以知识的形成作为思维的起点. 那么，在什么情况下，数学教学需要合情推理的辅助呢？

康德哲学学说认为，主体一般会利用自身意识中直观性的先验格式来罗列万象，整顿乾坤，即外于主体的客体信息为人类已有的观念赋予了它结构与意义，这种赋予外在信息意义的过程源于感性直观和知性探究. 也就是说在学习者的思维活动中，获得决定问题信息的本质结构，才能组织好外在信息，利用数学知识生成有价值的知识轮廓. 那么，赋予数学化信息结构与意义的过程是怎样的呢？

如图1所示，首先，主体从外在信息中确定支点信息，而这个心理活动又由外在信息与已有的知识结构互相诱导、调整而来；其次，支点信息形成“凝聚核”后，诸多外在信息则形成网络式轮廓；最后，信息轮廓提示主体选择相应的知识封装成网络式轮廓，形成新的信息结构图.

综上可知，分析数学问题信息时，主体对信息的结构并没有十足把握. 因此需要从信息的某个支点出发，将信息组织成带有结构意义的脉络，这一切都离不开合情推理的作用.

培养合情推理的具体措施

概念、公式、定理、法则等是数学教学的基础，也是数学解题之源. 原理命题的发现与证明过程，都离不开合情推理的应用. 因此，公式、定理与解题教学也是发展学生合情推理能力的必经之路.

1. 立足公式教学，培养合情推理能力

有些教师认为，学生只要记住公式就可以了，至于公式的来龙去脉没有必要弄清楚. 殊不知，公式是解题的基础，学生只有做到“知其然且知其所以然”，才能准确地应用公式. 淡化公式推导过程不仅会严重消减学生对公式的重视程度，还会阻碍学生合情推理能力的发展.

案例1 “等差数列的前n项和公式”的教学.

对于等差数列的前n项和公式，基本上从特殊对象着手开始研究，再逐步扩展到一般情况，即应用从特殊到一般的数学思想方法推导公式. 比如先提出问题“1+2+…+100=？”而后推广问题“1+2+…+n=？”“a+a+…+a=？”，最后总结方法“配对求和”“倒序相加求和”.

笔者按照上述思路在一个班上了一节课，有两点感受：①学生并不会将等差数列的前n项和公式与高斯算法联系到一起，即使在教师的点拨下，也无法顺利从高斯算法中得到启示，自主实现倒序相加法的思维转换；②讨论高斯算法时，学生的兴致较高，但对于其算理的研究以及倒序相加法的转换，学生表现的是茫然的状态. 因此只能将倒序相加法强硬地灌输给学生，在这种高压措施下，“顺利”完成了等差数列的前n项和公式的推导. 虽说最终完成了教学任务，但学生并没有从本源上认识到倒序相加法的原理，为后续实际应用埋下了隐患.

为此，在另一班授课时，笔者进行了如下改进：

与学生从求和符号开始进行讨论，分析等差数列｛a｝的前n项和用数学中常用的求和字母S来表示，即S=a+a+…+a①. 若对式①进行逐项相加计算，则计算过程冗长烦琐，而且容易出现失误，这就要考虑使用一种简单的求和方法进行计算，由此引发了如下互动过程.

生1：可以结合等差数列的性质，探索式①的简单表达式，即求和公式.

师：英雄所见略同，那么表达式的结构是什么样子的呢？如果表达式确实存在，那么在其结构形式中，可能存在哪些组成元素？

（学生沉默）

师：现在我们从以下几方面去思考：式①的右边存在n项，n为变量，其变化必然引起S的变化；结合等差数列的通项公式不难发现，若能确定等差数列中的某两项，或者确定公差与等差数列中的某一项，那么这个数列也就明确了. 这能给我们带来启示吗？

生2：如果一个等差数列明确了，那么该数列的前n项和应该也是确定的.

师：非常好！若这种猜想是正确的，则S表达结构中的元素有哪些？

生3：若猜想正确，则可能存在n，因为前n项和的值会随着项数的变化而变化.

生4：还可能存在式①右侧n项中的两项.

师：很好！对于生3的想法，比较容易理解. 如果n是确定的，那么数列的前n项和必然也是确定的. 现在请生4说说你的想法.

生4：鉴于等差数列求和公式包含其所有项，因此其表达式就必须反映出该数列的所有项. 根据等差数列的特殊性，若知道其中两项即可确定其所有项，换个角度理解，就是S的表达式仅需包含等差数列中的两项就能将问题表达清楚，而且这两项必须是相加的关系.

师：非常好！你的洞察力很强，提出的猜想也非常合理. 如果这种猜想成立的话，我们可以尝试在式①右侧的n项中取两个特殊项，如a与a，那么S的表达式则含有a，a与n三个元素，而a与a必然以加法算式整体呈现.

生5：如果S的表达式含有这几个元素，那么根据等差数列的通项公式，是不是也可以用n，a，d来表达S？

师：非常好！生5的思路非常清晰，希望大家能像他一样拥有钻研精神，也希望你课后能继续研究下去，相信一定会有所收获. 现在我们以a，a与n三个元素来表达S，鉴于a，a为等差数列中已知的项，那么唯一会发生变化的元素只有n，也就是说可以将S视为关于n的函数，即S=f（n）. 接下来就要思考如何确定函数S=f（n）的表达式.

生6：可以从特例着手进行分析，如S=a+a②.

师：这种探索思路对解决数学问题具有很大的帮助. 之前猜想的是S为n的函数……

生7（打断教师）：我认为S=a+a这个式子的右侧应该用n=2来表达，即S=.

师：太棒了！那么S=a+a+a③该怎么处理呢？

生8：结合之前的猜想，S可以用n，a，a来表达，去掉a即可. 根据等差数列的性质可知a+a=2a，因此a=④，将式④代入式③，得S=a++a=⑤.

师：这是关键的一步. 现在我们来看看S的表达式，因为a+a=a+a，所以S=2（a+a）⑥. 式⑥不含4，这该怎么处理呢？

生9：式⑥可以化为S=.

师：很好！综上分析，咱们可以猜想出S的表达式了吗？

生10：S=.

观察改进后的教学过程，发现公式教学的真正价值并不在于公式推导或公式证明的逻辑过程，而在于公式结构探索的过程. 公式推导或证明只能说明该公式是正确、可靠的，而公式结构的探索则需要学生从零起点开始，通过智力的投入与思维的介入，才能促使公式诞生. 该过程是助力学生合情推理能力和探究能力发展的过程.

2. 关注定理教学，培养合情推理能力

定理是数学解题的依据，是在原命题的基础上，通过证明获得的新命题，它对发展学生的合情推理能力、数学思维能力以及探究能力都有重要的促进作用. 关注定理教学，带领学生亲历定理形成与发展的过程，是将课堂转移到“何以学会”的基础.

案例2 “正弦定理”的教学.

笔者首先呈现图2，提出这是一个三条边与三个角各不相等的三角形，要求学生判别这个三角形的三个角和它们各自所对的边具有怎样的关系. 学生通过直观观察，很快就提到“大角对长边或长边对大角”. 根据这个猜想，获得结论：当C>B>A①时，则c>b>a②，即在同一个三角形中，角和边的大小呈一种互相依存的关系.

上述学生自主探索而来的结论属于定性结论，定性是科学或哲学研究常用的方法，数学对定性研究还需要进一步准确刻画，增加定量的研究过程.

师：对于式①和式②这两个有一定联系的不等式，是否可以定量刻画？

生11：从三角形的三个角与三条边的关联情况，可以推测出定量关系==③，角度为弧度制单位.

师：很好！这个猜想是否成立呢？

生12：可以拿有的直角三角形来验证，式③显然不成立.

师：是否有其他意见或想法？

生13：尝试将式③中的角分别取正弦值、余弦值与正切值进行分析，也就是==④，==⑤，==⑥，再检验这三个式子是否成立.

生14：式⑤和式⑥根本就不需要检验，取C=就可知，这两个式子都不成立.

师：式④成立吗？

学生经讨论分析，发现式④是成立的.

关于三角形的边角关系，学生在初中阶段就有所接触. 学生从“大角对长边或长边对大角”出发，猜想并构造式③，通过检验发现式③并不正确，由此引出新式④、新式⑤和新式⑥，当式⑤和式⑥被直接否定后，剩下的式④需要想办法去证明.

合情推理过程在定理教学中的作用不言而喻，一环扣一环的猜想、验证，为知识的获得奠定了基础. 教师若为了教学进度，直接将定理展示给学生，省略学生自主探索、猜想与验证的过程，则学生会因缺乏推理过程，对定理感到陌生，应用定理时难免出现各种问题.

3. 强化解题教学，培養合情推理能力

合情推理能力的发展对构建解题技巧、提升解题能力具有直接影响. 有些教师为了让学生接触更多的题型，解题教学中常常关注学生“怎么解”，而忽略“为什么这么解”. 其实，解题思路与方法的提炼、总结，是实现触类旁通的基础，亦是培养学生数学合情推理能力的根本.

案例3 “数列”的解题教学.

问题：已知数列｛a｝与｛b｝的各项都是正数，且满足a=（n∈N*）①. b=（n∈N*）②. 若｛a｝为等比数列，分别求a，b.

式①和式②难以配合在一起，若将式②变形为=，则可以猜想：若数列｛b｝为等比数列，则｛a｝必然是公比为1的常数列. 由于题目没有直接给出｛b｝为等比数列的条件，因此需要从猜想出发，从式①中探寻a是常数的条件.

根据式①的结构考虑到基本不等式，从数列｛a｝与｛b｝都是正项数列的条件可知a+b<（a+b）2≤2（a+b），因此1<≤，也就是1≤a≤③. 接下来想办法证明该猜想是成立的（过程略）.

从本题的解答过程不难发现，猜想“｛b｝为等比数列”是解题关键. 在猜想的辅助下，学生很快就意识到解决本题的关键措施是什么，由此成功地推导出解题思路. 这让学生充分认识到合情推理对解题思路的形成具有重要影响，推理是促进自身形成“三会”能力的重要过程.

总之，借助课程资源培养学生的合情推理能力具有可行性. 在教学中，教师可有意识地引导学生猜想知识是怎样产生的，让学生在猜想与验证中不断强化对知识的认识，提高发现与解决问题的能力，以促进数学思维与合情推理能力的发展.

作者简介：于美娟（1987—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作，海安市骨干教师.