［摘  要］ 帮助学生解决疑难问题是教学的重要任务之一. 在教学中，教师要通过知识传授来提高学生解决问题的能力和发展学生的思维能力，实现数学思想方法的渗透，为学生的终身学习奠定基础.

［关键词］ 教学难点；思维能力；知识体系

运用知识解决问题是检查学生是否真正掌握知识的重要标准，也是让教师和学生都头疼的问题. 在实际教学中，由于学生的主体地位没有得到有效落实，导致学生的学习较为被动. 学生依赖教师的指令学习，极易产生困惑，而部分教师关注更多的是知识本身而忽视了这些困惑，学生的思维能力自然得不到有效提升. 我们常说教师的职责在于“传道授业解惑”，也就是说，在教学中，教师除教授知识外，还要善于发现学生的困惑和问题，并及时给予点拨和指导，以提高学生学习能力. 对此，教师要围绕核心任务设计问题，引导学生探寻发现数学知识的基本线索，构建数学知识体系，在自主思考的过程中理解并内化知识.

在苏教版必修第一册“三角函数应用”一课中，教材从物理和生活两个角度提出了两道应用三角函数的例题，以及生活中港口水深的变化与三角函数关系的探究案例，教学参考建议第一节课讲解例1和例2，第二节课讲解探究案例，其中例2为教学难点.

（例2）一半径为3 m的水轮如图1所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.

（1）将点P距离水面的高度z（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；

（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？

笔者有幸聆听了几位教师对这一内容的讲解，从课堂反馈来看，存在不小的差异，其原因是教师对教学内容的理解不同，采用不同方案来突破该教学难点. 下面谈一谈笔者对此部分内容的教学思考，与各位同行交流.

何谓难点

数学教学中所谓的难点是指学生不容易理解的知识或较难掌握的解题技巧. 本题（例2）讲解的是三角函数在圆周运动中的应用，综合性较强，对学生的要求较高——懂知识转化——既懂水轮的转动与角的度数的转换，了解半径为r的圆上的一点用坐标如何表示；又懂角的始边OP与x轴的正半轴差一个角φ的几何意义. 经历这样的思维过程对学生来说是非常困难的，那么如何突破难点，找到问题解决路径呢？

突破难点的教学实践

1. 教学方案一：以旧知联系新知，解决未知问题

（1）设计问题串，巩固知识.

问题1：如图2所示，圆O的半径为r，以圆心O为顶点，Ox为始边的角α的终边上的点P的坐标是什么？

问题2：如图3所示，将角φ的一边OA逆时针旋转α角的大小到OP，那么点P的坐标是什么？

问题4：水轮每分钟逆时针转动4圈，t秒后水轮转动多少度？

（2）联系旧知，解决新的问题.

教师提出例2的变式0题：

如图5所示，若降雨后水面上升了4 m，请解决以下问题.

①点P与水面的距离z（单位：m）如何用时间t（单位：s）的函数表示？

②经过多长时间的转动，点P可以第一次到达最高点？

2. 教学方案二：设疑激发学生的好奇心，以特殊问题为起点，从特殊到一般，促进问题的解决

（1）创设情境，导入新课.

根据学生熟悉的生活中的事物，如闹钟，引导学生思考：秒针、分针分别转一格得到的角是多少度？

（2）知识应用.

学生思考例2时遇到了困难，教师及时提出：让我们先来看一些简单的问题，找一找相关的解题方法（出示例2的变式题）.

基础问题：一半径为3 m的水轮如图6所示，水轮圆心O刚好在水面上，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.

①点P距离水面的高度z（单位：m）可以用时间t（单位：s）的函数表示吗？

②点P第一次到达最高点大约要多长时间？

变式题1：如图6所示，当点P从点C，B，D分别开始计时，点P距离水面的高度z（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函數分别是什么？

变式题2：如果水面由于干旱下降了2 m，如图7所示，点P从点P0开始计时，那么点P距离水面的高度z（单位：m），如何用时间t（单位：s）的函数表示？

拓展：①转动的周期变化了吗？

②t（单位：s）内转过的角度变化了吗？

③点P的纵坐标还是其距离水面的高度吗？

师生共同讨论得到一致认识：问题①②“没有变化”，问题③“变化了”.

变式题3：若降雨后水面上升了2 m（见图8），点P从点P0开始计时，又该如何用时间t（单位：s）的函数表示点P距离水面的高度z（单位：m）？并计算点P第一次到达最高点的时间.

变式题3作为学生的探究练习.

3. 教学方案三：将未知问题逐层分解成多个子问题，最后获得解决方案

（1）以问题情境激发学生的兴趣.

用图片展示明代科学家宋应星《天工开物》中的水车和三峡水电站的大型机组.

问题：我们看到图片中古代的灌溉设施和现代的水电站都使用了水轮，其实水轮在生活中有着广泛的用途，观察水轮的运动，它具有怎样的特点？如果用数学方法进行研究，应该用何种函数进行表示？

展示例2，并将题干中的半径改为4 m，请学生读题并思考，关注学生在解决过程中出现的困难.

（2）设计系列问题，引导学生探究.

首先，展示系列问题，供学生思考.

①水轮运动1 s，点P转过的弧度数是多少？

②设圆与x轴的正半轴相交于点A，设∠AOP=α，探究角α与时间t（单位：s）之间的关系.

③点P的纵坐标如何用角α的三角函数来表示？

④假设水轮运动的起始位置是P，求∠AOP与时间t（单位：s）之间的关系.

⑤请用时间t（单位：s）的函数将点P距离水面的高度f（t）表示出来.

其次，建立数学模型，解决问题.

学生思考问题后尝试回答：

教师即时反馈，规范解答过程.

最后，引导总结，回顾反思.

①回顾这道题的解答过程，特别是突破难点的过程，你受到启发了吗？

②上述答题方案，可以推广到一般的试题中吗？

引导学生总结解决难题的一般步骤：遇到疑难问题时，要冷静沉着去分析条件，可以采取问题串的形式去思考、探索解题途径，或将一般问题转化为特殊问题.

拓展研究1：点P可以距离水面最高多少米？点P第一次到达最高点大约要多长时间？

拓展研究2：水轮转动2015 s时点P距离水面多少米？

4. 教学方案四：在师生互动、追问探究中逐渐接近目标，探索答案

教师展示例2，并将题干中的半径改为4 m.

师：本题要解决的目标是什么？

生1：描述距离和时间之间的关系.

师：很好，对这个目标我们能不能进行一定的转化？

生2：可以，z=y+2.

师：这里的y是什么？

生3：y就是圆上动点P的纵坐标.

师：我们有没有学过求圆上的动点坐标的方法？

生3：在单位圆上学过，单位圆上的动点坐标可以表示为（cosα，sinα）.

師：好的，这里的α可以求出来吗？

生4：α=∠AOP，∠POP为水轮从点P开始所转过的角，根据题意可求出水轮转动的速度——1 s转过的角度是，因此t s转过的角度是t.

学生是课堂教学的主体，教学设计要以学生为本，尊重学生的主体地位，以学生的长期发展为教学目标. 教学方案除了要契合课程标准和教学内容外，还要符合学生的认知规律和特点，否则教学目标就难以真正落实，也达不到应有的教学效果. 通过解题教学，可提高学生的思维品质和思维能力，使学生单一的具象思维不断向立体化的抽象思维发展. 只有不断提升学生的思维能力，才能提高学生解决问题的能力，因此解题训练是思维发展的生长点. 上述四种教学方案对学生思维的训练存在着很大的差异.

教学方案一，通过想好的步骤牵着学生一步一步跟着走，学生的思路限定在教师的预设里面，不会偏离教学目标，学生容易理解知识，教师也容易把握课堂节奏，适和基础较为薄弱的班级. 但是这一方案也有一定的缺点，那就是学生的思维受到了一定的限制，缺乏深入思考，容易对教师产生依赖. 在面对难题时，由于学生缺少独立解决的能力，因此常常束手无策，容易形成畏难心理，基本被教师牵着走.

教学方案二，先展示未知问题引导学生进行解决，再引导学生由简单特殊的问题开始积累解题经验，从而学习新的知识，由特殊到一般是学生在面对疑难问题时常常采用的解题思想和方法. 在这个教学方案中，学生经历了难题的突破过程，体会到了知识的解决过程，学会了思考和学习，适合水平层次中等以上的班级.

教学方案三，先用动画播放的方式引入情境，目的是增强学生的视听感受，激发学生的兴趣；再通过层层递进的探究性问题逐一分散难点，将综合性的难题分成5个小问题进行局部探究，在关键环节以小组合作探究的方式进行推进，通过分解问题的方法建立函数模型. 在教学中，教师注重指导学生仔细审题、梳理题干的要素和数量关系，提醒学生利用相互转化的方法解决问题. 本方案中的总结反思也是解题环节的重要一环，帮助学生巩固解题思路，促使学生掌握解题规律. 通过拓展练习，让学生进一步体会函数模型的应用，熟悉函数模型建立的方法. 本教学方案以问题串的形式，通过局部探究解决疑难问题，适合知识基础层次中等或较高的学生.

教学方案四，以目标倒推的方法解题，采用设问和追问的方式不断推导通向目标的路径. 本教学案例先确定目标，接着转化和分解目标，最后迁移知识找到类似问题——单位圆中的坐标表示，利用三角函数的定义解决问题. 当问题中目标的起点变成P时，同样是不断围绕目标进行思考和探索，促进已有的知识和经验进行类比和转化. 这一教学方案有利于锻炼学生的思维，但对学生思维的要求较高，适合知识基础层次较高的学生.

不同的教学方案对学生的要求不同，当然也会从不同的角度锻炼学生不同的思维能力，但都要使学生学会从题目中提取有效信息进行整合，探寻解题之道.

作者简介：杨智慧（1980—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学工作.