［摘  要］ 数学学科核心素养是课程目标的集中体现. 教学设计作为课堂教学的蓝本，是实现课程目标的基础. 平面向量不仅蕴含着丰富的数学思想方法，还是提升学生学习能力、发展学生数学学科核心素养的上好素材. 研究者以“平面向量基本定理”的教学设计为例，从“凸显‘以生为本的教育理念”“遵循学生的认知发展规律”“以思维促进数学学科核心素养形成”三方面谈一些思考.

［关键词］ 核心素养；平面向量；思维

“整合与发展”是当今教育的主题. 设置综合性课程、注重多元能力的发展、强调终身学习、根据国情构建学科核心素养框架等是促使学生形成终身可持续发展能力的关键. 2017年，我国颁布了《普通高中数学课程标准》，将数学学科核心素养作为数学教学的关键目标，这要求教师不仅关注知识的传授，而且注重对学生各项能力的培养.

核心素养的内涵

什么是素养？当我们把所学知识都遗忘了，脑海中留下的解决问题的能力就是一个人的综合素养. 数学学习的目的在于会用数学眼光、思维、语言来观察、思考、描述世界，能够在数学学习中形成适应社会发展的品格与能力. 也就是说，培养数学学科核心素养的目的在于“立德树人”，在于培养“全面发展的新时代人才”. 若从“文化基础”“社会参与”与“自主发展”三个角度来看，核心素养主要体现在人的科学精神、文化底蕴、责任担当、健康生活、学习能力与实践创新等方面［1］.

数学学科核心素养是基于核心素养提出的，是指学生通过数学学习逐步形成的核心能力与品质，《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学学科核心素养划分为六个要素，分别为数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象、逻辑推理与数据分析. 也就是说，数学教学要让学生获得上述六个素养，为学生更好地理解社会、适应社会、改造社会奠定基础. 下面，笔者结合“平面向量基本定理”的教学设计谈谈如何在高中数学课堂中落实数学学科核心素养.

教学实录

1. 旧知回顾，引发思考

课堂伊始，笔者带领学生回顾与平面向量相关的内容，要求学生思考并回答以下几个问题：①若一个人从点A处走到点B处，又从点B处走到点C处，此人两次位移的和是什么？②说说向量共线定理；③如何确定向量共线定理中的实数λ的值？实数λ的值是否唯一？④若a≠0，a能表示哪些向量？⑤如果向量a，b并非共线的关系，b可以用向量a表示吗？

设计意图 问题①和问题②引导学生复习向量加法的三角形法则和平行四边形法则，为本节课的教学活动的开展夯实基础；问题③带领学生回顾向量共线定理，尤其强调实数λ的唯一性，为后面学生理解平面向量基本定理中的实数λ1和λ2的唯一性奠定基础；问题④和问题⑤引发学生思考：向量a（a≠0）能够表示所有与a共线的向量，但不能表示与a（a≠0）不共线的向量，此时该怎么办呢？

2. 逐层突破，铺路造桥

师：类比之前我们在代数学习中遇到的一个情境——数轴上的点与实数属于一一对应的关系，你们认为平面内的点与什么是一一对应的呢？

生1：可以建构平面直角坐标系，确定平面内的点与实数对是一一对应的关系.

师：很好！如果遇到平面向量a（a≠0）不能表示的向量，該怎么处理呢？

生2：可以考虑找一个新的向量来帮忙.

师：找什么向量呢？如果找的是与向量a（a≠0）共线的向量b，是否可行？

生3：不行！我们要找的是与向量a不共线的向量.

师：如图1所示，现在请大家用不共线的向量e1，e2来表示向量a.

学生自主画图且书写步骤，笔者将其中具有代表性的研究过程投影出来供所有学生参考，并做出总结：①在平面内任取点O，绘制向量=e1，=e2，=a；②过点C作OB的平行线与AO相交于点M，=λe1；③过点C作OA的平行线与OB相交于点N，=λe2. 根据向量共线定理发现实数λ与λ是唯一的，同时由向量加法的平行四边形法则可得=+=λe1+λe2.

师：这里提到的“实数λ与λ是唯一的”确定吗？

生4：确定. 根据与e1共线的特征，可知实数λ的值是唯一的，同理可知实数λ的值也是唯一的.

设计意图 上述设计主要是为了完成以下三个教学任务：①带领学生通过类比法，实现一维思维向二维思维的转化，让平面向量基本定理自然生成；②激发学生的探索欲，让学生通过独立思考与合作交流，掌握本节课的知识和技能、思想和方法，积累活动经验；③通过逐层递进的问题，促进学生类比思想与化归思想的发展，这对激发学生的探索精神具有重要意义.

3. 深入探索，揭露本质

如图2所示，能否用不共线的向量e1，e2来表示向量b（b≠a）呢？

（学生画图并投影展示）

师：我们是否可以用不共线的向量e1，e2来表示其他向量呢？（用三角板围绕点O旋转，获得一系列的向量）

学生表示可以，用向量共线定理以及以上作图过程即可证明. 笔者肯定了学生的想法，并要求一位学生用严谨的数学语言描述这一证明过程，同时借助PPT展示完整的平面向量基本定理.

师：大家观察PPT上所展示的定理，说说此定理的关键词.

生5：①不共线；②任一向量a；③有且只有一对实数.

设计意图 一方面，带领学生经历从感性到理性、从个体到整体、从正面到反面、从具体到抽象的平面向量基本定理形成的过程，让学生从多维度理解平面向量基本定理的内涵；另一方面，通过问题的设置，为新旧知识建构桥梁，让学生经历知识发展的过程，理解相应的数学思想方法. 同时，让学生自主寻找平面向量基本定理的关键词，能深化学生对平面向量基本定理的认识.

4. 借助例题，深化理解

师：谁来说说一个平面向量存在多少个基底？

生（众）：只要是两个不共线向量，就能组成一个基底，因此有无数个基底.

师：很好！如图3所示，已知AC与BD是平行四边形ABCD的对角线，于点M处相交，=a，=b，请用基底｛a，b｛来表示，，与.

当学生顺利解决这个问题后，笔者顺势问道：图3中还存在哪些可以构成基底的向量？学生认为，，，等都可以，并说出这么选择的主要依据是：两个不共线向量都可以构成一个基底，能表示平面内所有向量.

设计意图 对典型例题的探讨，不仅能帮助学生夯实知识基础，还能让学生将知识与技能的学习过程转化为一种学习能力，为后续研究其他问题积累经验.

5. 总结反思，提炼深华

要求学生梳理本节课学习的内容，涉及的数学思想方法、研究方法等；布置课后作业，要求学生通过独立思考解决问题，深化学生对知识、数学思想方法、研究方法的理解.

设计意图 从不同维度进行总结反思，不仅能带领学生站到宏观的角度回顾本节课的学习内容，还能让学生从数学思想方法的提炼与问题解决方法的总结中获得数学抽象、逻辑推理等素养.

几点思考

1. 凸显“以生为本”的教育理念

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确学生在课堂中的主体地位，要求教师尽可能为学生提供更多尝试、体验与发现的机会，鼓励学生在动手、动脑与动口中调动各个感官系统，促进深度学习真实发生.

纵观本节课的教学，不论是旧知回顾，还是逐层突破，抑或典型例题的解析等，都是在“以生为本”的基础上进行的. 学生在各个教学环节中大胆地发挥想象，通过猜想、归纳与总结，不仅深化了对知识本质的理解，还从一定程度上揭示了数学思想方法，为后续研究更多知识奠定了思想方法基础.

教师在课堂中俯下身子，用平等的眼光与学生交流，不仅能从真正意义上打开学生的心扉，让学生更加乐于学习，还能有效提高学生学习的积极性，增强学习效率，让核心素养落地生根［2］.

如本节课的旧知回顾环节，笔者以问题串的方式启发学生思考，在理解学生的基础上鼓励学生回顾旧知，为新知的学习奠定基础. 这种“以生为本”的教学方式显然成功地激发了学生的探究兴趣.

2. 遵循学生的认知发展规律

学贵有疑. 问题是学生思维发展的起点，也是数学的心脏. 在教学中，设计科学、合理、难易程度适中的问题，往往能有效启发学生的思维，让学生自主投身于有效的探究活动中去. 事实告诉我们，符合学生认知发展规律的问题，往往能起到事半功倍的教学效果.

若问题的难度过大，则学生无从下手；若问题的难度过小，则无法引导学生进入“愤”“悱”的状态. 在这些情况下，出现“启而不发”的现象就在所难免. 另外，过于细碎的问题也无法激发学生思考，难以达到预期的教学效果. 只有处于学生最近发展区的问题，才能让学生“跳一跳，摘到桃”.

在本节课中，笔者从学生的认知发展规律出发，设计了一些起点低、台阶小、密度高的问题，让学生在求知中体验知识发生和发展的过程，对学生的认知有一种促进作用. 同时，一个个追问的使用，让学生自然而然地概括出平面向量基本定理，整個过程符合学生认知同化与顺应的规律.

纵观本节课，从知识回顾到知识逐层突破，再到定理的自然形成，每一步都是从学生原有的知识结构出发，结合学生认知中的知识基础、思想方法以及思维方式“同化”而来. 在此基础上，学生不仅实现了知识的意义建构，还对数学学科核心素养的发展奠定了基础.

3. 基于思维促进数学学科核心素养的形成与发展

数学教学核心在于促进学生数学学科核心素养的形成与发展，课堂是落实核心素养的主阵地，学生是形成核心素养的主体［3］. 在教学中，教师应将数学学科核心素养的要素细化到各个教学环节中，并以此作为教学目标，从多角度把握教材内容与教学方式，通过对教材内容的整合与再建构，掌握课堂动态生成，让教学“活”起来.

随着教学内容的整合与知识来龙去脉的揭晓，学生不仅亲历知识形成与发展的过程，还充分体验数学学科独有的价值与魅力. 例如本节课中，笔者带领学生从不同维度去分析平面向量基本定理，学生的思维随着问题的逐渐深入而大受启发，帮助学生夯实知识基础的同时还促进学生可持续发展.

俗话说：“数学是思维的体操. ”在平面向量基本定理的探索中，学生经历了图形语言到符号语言的转化过程，不仅为平面向量基本定理的形成夯实了基础，也为形成严谨的表达能力积累了经验. 在整个教学过程中，笔者紧扣教学重点与难点引导学生的思维随着问题拾级而上，逐渐趋向于完善和成熟，促使学生在深刻理解平面向量基本定理的内涵与外延时，形成良好的数学抽象能力.

总之，核心素养并不是指某样知识与技能，而是指学习者获得知识与技能的能力，核心素养的形成与发展是素质教育的重要节点，在数学教育史上具有深远的意义. 当然，核心素养的形成与发展不是一朝一夕就能完成的，也不是通过机械式记忆就能够深刻领悟到的，它的形成与发展需要一个漫长的过程，需要教师精心设计教学活动，将核心素养的培养根植在教学的每一个环节.

参考文献：

［1］ 章建跃.核心素养导向的高中数学教材变革（续4）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写［J］. 中学数学教学参考，2019（28）：7-11.

［2］ 张淑梅，何雅涵，保继光. 高中数学核心素养的统计分析［J］. 课程·教材·教法，2017，37（10）：50-55.

［3］ 印锦松. 深度学习是提升数学核心素养的有效途径［J］. 高中数学教与学，2019（12）：15-17+41.

作者简介：陆燕萍（1982—），中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.