见微知著 因微而深
2023-12-15孙承辉
［摘 要］ 文章以微专题“分段函数中的含参问题”为例，介绍在高三一轮复习中渗透数学思想，精准地突破难点，多角度提升学生的数学学科核心素养.
［关键词］ 分段函数；微专题；核心素养
为了回应高中新课标、新高考模式的改革，谋划现代学校办学的新样态，江苏省常州高级中学举办了“‘大教育引领下的品质课堂”公开教研活动，笔者应邀开设了一节高三一轮微专题课“分段函数中的含参问题”.
笔者以此公开课的开设为契机，对分段函数中的含参问题进行了归类研究，并粗浅思考如何以微专题的形式提升高中数学一轮复习的有效性.笔者将本节课的教学实录和感悟整理成文，以期抛砖引玉.
基本情况
1. 学情分析
授课班级为重点高中的普通理科班，学生整体水平高，大部分学生思维活跃，有较强的逻辑推理能力和数学运算能力，能积极参与课堂教学互动.
2. 教学内容分析
分段函数是一种重要的函数形式，几乎每年都会出现在高考试题中，可以说是经久不衰的热点问题. 学生对这类问题多少都有些害怕，主要是其“分段”的特征决定分类讨论的必要性.对于含有参数的分段函数，学生感到最棘手的是探求分类讨论的标准. 因此，微专题课“分段函数中的含参问题”恰好给学生提供了集中精力思考这类问题的机会.
考虑到以上因素，本节课的教学目标是：
（1）会根据分段函数的特点处理含参问题，发展直观想象、数学运算等素养.
（2）能主动运用分类讨论、数形结合等思想方法分析和解决问题，发展数学抽象、逻辑推理等素养.
（3）在互动交流和互相合作中积累基本活动经验，提高问题解决能力.
3. 教學思路
这节课的设计思路是：先引领学生回顾含参分段函数的类型，然后用例题和习题帮助学生突破含参分段函数的单调性及其零点等难题，着重突出数学思想方法的运用，最后共同归纳解题方法和注意点.
课堂实录与设计意图
1. 课前热身，温故知新
学生在课前完成以下填空题：
（1）已知函数f（x）=ax+1-2，x≤1，
2x-1，x>1，若f（0）=3，则f（a）=______.
（2）若函数f（x）=（2-a）x+1，x<1，
ax，x≥1，是R上的增函数，则a的取值范围是______.
（3）若函数f（x）=-x2-2x，x≤0，
log
（x+1），x>0，且函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是______.
（4）若函数f（x）=x2-4x-5，x<λ，
ex-1，x≥λ，λ∈R，且函数y=f（x）恰有2个零点，则实数λ的取值范围是______.
笔者让学生简要讲述以上填空题的求解过程，并在此基础上让学生回答以下三个问题.
问题1：什么是分段函数？
生1：分段函数是指由于自变量取值范围不同，对应法则也不同的函数.
问题2：处理分段函数问题的常用方法是什么？
生2：根据条件选择合适的解析式，必要时借助函数图象进行处理.
问题3：对于分段函数中的含参问题，参数可能出现在哪些位置？
生3：参数可能出现在解析式里、分界点处或目标问题里.
师：同学们对分段函数的认识非常清晰！这节课，我们将重点研究含参分段函数问题.
设计意图 课前布置四道含参分段函数填空题，一方面加深学生对分段函数的理解，明确它是一个函数，它的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集. 另一方面引发学生思考参数出现的位置——参数可能出现在解析式里（如第（1）题和第（2）题），也可能出现在目标问题里（如第（3）题），还可能出现在分界点处（如第（4）题）.
ax-1，x>1，若存在x，x∈R且x≠x，使得f（x）=f（x）成立，则实数a的取值范围是______.
生6：根据函数f（x）的解析式可知，它的图象在分界点x=1处不间断.另外，“存在x，x∈R且x≠x，使得f（x）=f（x）成立”这句话的意思是“f（x）在R上不单调”. 我觉得可以先从它的反面来思考，也就是假设f（x）在R上单调：当a≤0时，f（x）=-x2+ax在（-∞，1］上先增后减，不符合；当a>0时，需满足对称轴x=≥1，即a≥2，f（x）在R上单调递增.因此，所求的a的取值范围是（-∞，2）.
设计意图 此环节设计了一道例题和两道变式题，主要用于解决如何根据分段函数的单调性求参数的范围. 解决此类问题，既要注意每一段函数的单调性，也要关注分界点两侧函数值的大小关系.变式题1里的是含参绝对值函数，体现了其“分段”的本质；变式题2则将函数的单调性问题隐含在题意里. 这“一显一隐”的变式题组体现了转化与化归以及正难则反的数学思想.
3. 由此及彼，突破难点
解决含参分段函数的单调性问题后，笔者投影下面一道例题.
笔者用GeoGebra软件演示上述动态分类讨论过程，并追问：当0 生7：设f（x）=lnx-（0 师：通过构造函数来解不等式，非常棒！下面思考这个问题：当分界点x=a （a>0）变化时，y=也在变化，那么直线x=a与y=的交点的轨迹有什么特点呢？ 生8：直线x=a与y=的交点的轨迹方程是y=x （x>0），它是一条不含端点的射线，正好与函数y=lnx相切于点P（e，1）. 生9：如图4所示，函数y=lnx和y=的图象相交于点P，直线y=x与函数y=lnx的图象相切于点P且在点P处穿过函数y=的图象. 师：两位同学都观察得非常仔细！“三线交于一点”正是这道题的命制背景.根据这道题，请同学们说一说，在解决分段函数的零点个数问题时，我们需要注意些什么呢？ 生10：解决分段函数的零点个数问题，关键在于判断每一段函数各有多少个零点，必要时我们可以画图来数. 师：这位同学归纳得相当精准.如果分段函数含有参数（或目标函数含有参数），那么我们要厘清参数变化时图象的变化规律，也就是用运动的观点去研究问题. 设计意图 设置例2的主要目的是引导学生探讨如何根据分段函数的零点个数求参数的取值范围. 分段函数的形式决定解题需要对自变量的范围进行讨论，如果函数含有参数，那么讨论的维度就会增加.这种深层次的分类讨论训练对于提升学生的思维品质是大有裨益的. 4. 适时强化，练习反馈 笔者布置以下两道题作为练习，请两位学生在黑板上分别展示解题过程（内容略），然后让同桌点评解题过程是否合理和正确.设计意图 当笔者与学生共同解决完难点后，笔者布置了两道练习题，一方面通过学生板书展现其思考过程，对教学来说是现场反馈和即时交流；另一方面学生通过互相讨论，集思广益，对問题的理解会更加深刻. 5. 反思归纳，总结提升 师：今天我们一起研究了含参分段函数，请同学说一说这节课你有哪些收获和体会. 生11：我们学习了分段函数的概念、分段函数的图象与性质、参数的变化对分段函数图象的影响等知识.对于含参分段函数问题，我们解题时要善于运用分类讨论和数形结合等方法. 师：这位同学的知识理论体系非常清晰，他对数学思想方法的理解也很到位.我们今天学习了这一微专题，在解题过程中要注意体会辩证统一的哲学韵味，比如分（分类）与合（整合）的统一、数（代数）与形（图形）的统一、静（静态）与动（运动）的统一，等等. 设计意图 课堂小结的目的是让学生主动回顾这节课的知识要点和解题方法，帮助学生系统构建知识网络. 笔者对学生的归纳进行了补充和完善，强调解决含参分段函数问题的常用策略，这对后续学习有一定的指导意义. 教学感悟与思考 1. 借力数学思想，高效解决含参函数问题 函数中的含参讨论一直是高考热点，从实际教学效果来看，借助数学思想方法可以迅速找到解题思路，避免讨论过程片面和盲目的发生. 比如，本节课例2的难点在于对a和e的大小关系的分类讨论，这可以采用数形结合思想——在同一直角坐标系中画出函数y=lnx和y=的图象，猜想两者交点的横坐标为e，但对于该交点的存在性和唯一性，则需要借助函数与方程思想进行论证. 因此，数学思想方法并不是空中楼阁，而是蕴含在解题需求里，也蕴含在逻辑推理中. 2. 开设微专题课，精准突破复习中的阶段难点 在一轮复习过程中，学生会遇到阶段性难点，如函数中的零点问题，解析几何中的隐形圆问题，数列中的通项与求和问题，等等. 这时，教师可以在常规教学中灵活地穿插微专题课，及时系统地提炼题型与方法，把隐性的解题经验显性化，从而为学生的知识体系造就新的“生长点”，提升学生运用所学知识解决问题的能力. 在微专题教学中，教师要注意使用合乎逻辑的知识链以及层次清晰的问题串. 例如，本节课的知识链是“含参分段函数的单调性→含参分段函数的零点”，体现了知识的递进关系. 在例2的求解过程中，又有如下问题串：“问题1：请同学们说一说你们的解题思路和流程→问题2：当0 3. 构建灵动课堂，多角度提升学生的核心素养 课堂是师生交流的舞台，也是思维火花碰撞的能量场. 数学学科核心素养的培养应该融于每一节课的教学过程，也应该融于每一个教学环节的精心设计. 因此，教师需要以知识点为中心，在发展核心素养的视角下设计微专题复习，引导学生体悟数学本质和思想方法，并让学生体会思考带来的乐趣. 例如，本节课以含参分段函数为载体，选取典型例题和习题，通过多种方式激发学生思考，包括课前“热身”、师生互动、学生互评、学生提炼等，让学生主动思考如何解决含参分段函数问题，培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养. 对于高三微专题课，教师要抓住其入口微、选题精、针对性强等特点，主动构建自然而灵动的课堂，不断提升学生的数学学科核心素养. 作者简介：孙承辉（1981—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作.
