王占军

摘  要：“随机事件与概率”是初中概率教学的起始课，通过列举教师教学中存在的常见问题，分析教学内容蕴含的思想方法，帮助教师准确理解随机事件的概念，整体把握随机现象、随机试验、随机事件三者间的逻辑关系，明确教学起点，确定研究方法，以数学活动为主线组织教学，引导学生抽象数学概念、感悟研究方法、积累活动经验.

关键词：随机现象；随机试验；随机事件；教学建议

一、问题的提出

随机事件是初中概率教学的重要内容，学生对随机事件的准确认识与理解是体会概率意义、建立随机观念的基石. 在实际教学中，部分教师对随机事件的概念理解不够深入，对课程目标把握不够准确，忽视起始课承担的重要育人价值，课堂教学缺乏对概念的深刻感悟与体验，缺乏组织有效的数学活动引导学生感受概率学习的必要性，致使学生后续学习兴趣不浓、动力不足. 笔者以人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（以下统称“教材”）“25.1 随机事件与概率”一课为例，通过分析课堂教学中存在的常见问题，剖析教学内容蕴含的思想方法和育人价值，提出教学建议和设计构想.

二、“随机事件与概率”教学中存在的常见问题

笔者通过课堂听课观察、教学访谈、学生调查等方式，了解到教师对“随机事件与概率”一课的教学往往存在以下问题.

1. 概念理解不深

（1）混淆随机现象与随机事件的概念，教学起点把握不准.

随机现象与随机事件是概率论中容易混淆的两个概念. 在实际教学中，部分教师没有准确区分两个概念的内涵与外延，没有深入剖析随机现象、随机试验、随机事件三者间的逻辑关系，教学时简单介绍生活中的随机现象后，便直接组织学生进行抓阄、摸球、掷骰子等随机试验，学生对于“什么是试验？为什么试验？怎样试验？”等概率学习的根本性問题认识不清，对随机事件概念的理解停留在浅层次的文字记忆上，没有产生强烈的认知冲突.

（2）对随机事件的随机性和规律性理解不深，用确定性思维解释概率问题.

随机事件的发生具有随机性和规律性. 随机性表现为每一次事件的结果是不可预料的，在相同条件下，每一次试验的结果既不会受上一次事件的影响，也不会影响下一次事件的发生. 规律性表现为在一定条件下做大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性. 为了使学生准确理解随机事件的随机性和规律性，教材中安排了如下的教学活动.

袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别. 在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球.

① 这个球是白球还是黑球？

② 如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？

教材的编排意图是让学生经历“猜测—试验—收集数据—分析试验结果”的活动过程，感受“随机事件发生的可能性有大有小”. 在具体的教学实践中，有些教师对随机事件的随机性理解不清，常常用确定性思维解释概率问题. 例如，当学生摸球出现的结果数是教师期望出现的数据时（摸到黑球的次数多于摸到白球的次数），教师解释为：由于黑球的个数多于白球的个数，在试验中摸到黑球的可能性总是大于摸到白球的可能性. 当学生摸到黑球的次数小于或等于摸到白球的次数时，教师却不知道如何向学生解释.

2. 课程目标定位不准

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）在第四学段对“随机事件的概率”提出如下的学习要求：能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率；知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率.

由于《标准》对“随机事件与概率”一节内容没有提出明确的知识学习要求，部分教师由此认为本节内容不重要，甚至可有可无，从而没有潜心分析教学内容，导致课程目标定位不准，教学过程简单，具体表现为如下几个方面.

（1）直接讲解随机事件的概念，不组织学生经历随机试验的活动过程.

部分教师认为随机事件的概念是学生容易理解的，教材安排的随机试验活动操作简单，设计的问题学生不需要动手操作也能得出答案，完全没有必要安排学生活动. 于是，教师以生活中的随机现象引入课题后，直接讲解随机事件的概念，随后安排大量练习题引导学生做题巩固，掌握模式化的答题技巧.

（2）组织学生进行大量的试验活动，缺乏对活动本质的深刻理解.

部分教师在公开课或观摩课中为了体现“自主探究、合作交流”的课堂教学理念，安排了大量的摸球、掷骰子等试验活动. 在具体的活动过程中，由于缺乏对随机试验活动必要性的准确理解，以及对课程目标的准确定位，教师没有设计有价值的数学问题引领学生在活动过程中深入思考、深刻感悟，课堂表面上看似气氛活跃、活动充分，实质上活动流于形式，学生对知识的感悟停留在表层，思维没有得到有效的训练与发展.

（3）合并课时教学内容，大量进行概率计算及说理试题的模式化训练.

受应试教育的影响，部分教师将解题作为教学的主要目标，对于教材设计的试验活动一言以蔽之，将几节课的教学内容合并为一节课，利用节省下来的时间进行大量的概率计算及做题训练. 这种功利化的教学将学生成长与应试的关系本末倒置，忽略了数学在形成人的理性思维、科学精神和促进学生智力发展中发挥的重要作用. 而在以素养立意的考试中，题海战术往往会“技巧”失灵、“模式”失效.

三、“随机事件与概率”的教学建议

基于以上分析，笔者对“随机事件与概率”一课的教学提出以下建议.

1. 以随机现象为教学起点，组织教学

随机现象和随机事件是不同的两个概念. 随机现象是在一次试验或观测中，其结果有多种可能，事先无法准确断定究竟哪一种结果会发生的现象；随机事件是在相同的确定条件下，随机试验所有可能的表现或结果，即随机事件是随机试验中的一种结果.

从概念的内涵来看，随机现象是一种外部表现形态，强调外在表现的不确定性；随机事件是一种具体的表现结果，指向具体事情的发生. 例如，天气预报明天有雨，明天可能下雨，也可能不下雨. 所以“天气预报明天有雨，明天是否下雨的天气情况”称之为一个随机现象. 而“天气预报明天有雨，明天下雨”是一个具体的随机事件，在一定条件下，这一事件有可能发生也有可能不发生.

从概念的逻辑关系来看，随机现象是初始概念，是用数学的眼光观察现实世界的结果；随机事件是随机现象的具体表现形式，每一个随机试验的结果就是一个随机事件. 在教学中引入随机事件概念的作用是使得随机现象中的结果能够被当成对象来进行研究，结果的规律性反映了随机现象的本质.

因此，随机现象既是学生认知的起点，也是教师组织教学的起点，解决“为什么学”的问题；随机事件是随机现象的衍生概念，解决“学什么”的问题. 教学中，教师应该以随机现象为教学切入点，围绕“研究什么、为什么研究”创设具体的问题情境展开教学.

2. 通过有意义的问题情境，感受随机试验是研究随机现象的重要方法

生活中存在大量的随机现象. 例如，天气预报明天有雨，明天的天气情况；抽一张彩票，彩票的中奖情况；等等. 影响这些随机现象发生的因素有很多，如何从数学的角度认识和理解呢？对此，需要抛弃问题的其他属性，只对其中的数量关系和结构特征进行研究，这就需要寻找一种有效的研究方法. 随机试验是在相同条件下对某种现象进行的大量重复观测，此类试验具有以下3个特征：① 在相同条件下可重复进行；② 在试验前，所有可能的结果都是明确的；③ 在每一次试验完成之前，不能预知会出现哪一种結果.

因为随机试验与随机现象具有相同的数学属性，所以可以采用随机试验的方法研究随机现象. 九年级学生首次接触随机试验的概念，教师应该创设有意义的数学情境，让学生感受运用随机试验研究随机现象的科学性和必要性，使学生深入思考“怎样研究”，构建概率研究的方法和路径.

3. 突出活动主线，引导学生通过试验活动理解随机事件的概念

“随机事件与概率”是一节典型的概念课，教学的主要任务不是让学生简单记忆随机事件的文字描述，而是要通过大量的数学活动引起学生强烈的主观感悟与体验，让学生感悟运用随机试验研究随机现象的必要性，体验随机现象的随机性及通过大量重复试验所呈现出的规律性. 数学试验可以让抽象的知识变得形象、直观，让内隐的数学思维变得可视化，让枯燥的技能训练变得有趣. 教师要注意处理好数学活动和学生思维发展的相互关系，既要设计科学、合理的数学活动引导学生积累活动经验，又要抓住活动本质，在活动过程中提出有价值的思考问题，促使学生深刻思考，不断思辨，提升学生的数据分析素养.

四、“随机事件与概率”的教学设计

1. 观察情境，归纳共同特征

引言：在现实世界中，我们经常会遇到一些无法预料结果的生活现象. 例如，天气预报明天有雨，明天的天气情况；抽一张彩票，彩票的中奖情况；打电话给某人，对方是否在通话中的情况；等等.

问题1：上述生活现象有什么共同特征？

师生活动：学生自由回答问题后，师生总结上述生活现象的共同特征如下.（1）每一种现象的结果有不同的情况；（2）具体会发生哪一种情况，事先无法预料.

教师总结：此种生活现象给我们不确定的感觉，我们称之为不确定现象，也称为随机现象.

【设计意图】从生活中的随机现象切入教学，明确研究对象.

2. 创设情境，确定研究方法

情境：小明与小丽做抛硬币的游戏，游戏规则如下. 将一枚硬币抛掷2次，如果2次出现相同面，则小明赢；如果2次出现不同面，则小丽赢.

问题2：将一枚硬币抛掷2次，2次出现相同面或不同面是随机现象吗？怎样用数学的方法研究生活中的随机现象呢？

师生活动：学生自由发言、讨论交流，随后教师组织课堂提问.

教师总结：为了研究方便，我们常常在一定条件下通过做大量重复试验的方法研究生活中的随机现象，这种试验称为随机试验.

【设计意图】对于“将一枚硬币抛掷2次，2次出现相同面或不同面是随机现象吗？”这个问题，学生难以通过分析得到结论，也难以基于直觉进行直观判断，需要寻找合适的数学方法解决问题. 教师由此提出“怎样用数学的方法研究生活中的随机现象呢？”引发学生的广泛讨论，激发学生愿意参与随机试验活动的兴趣，体会随机试验是研究随机现象的重要方法，了解随机试验的概念及作用.

3. 试验操作，探究理解概念

引言：为了更好地运用随机试验研究随机现象的规律，我们先来做几个简单的随机试验.

探究1：三种事件的概念探究.

活动准备：教师提前准备三个不透明的箱子，分别编号为1，2，3. 在箱子中装入形状、大小、质地完全相同，只有颜色不同的小球，并告诉学生每个箱子中球的颜色和数量. 其中，1号箱装入6个黑球；2号箱装入6个白球；3号箱装入4个黑球、2个白球.

师生活动：基于“某小组要从3名学生中选派1名学生代表观看学校的文艺演出，决定采用摸球的方式确定具体人员. 3名学生从3个箱子中分别摸球10次，摸到黑球最多的人观看演出”的问题情境，教师指定3名学生上台进行摸球试验并记录摸到黑球的次数. 在每名学生摸球前，教师都提出以下问题.（1）你选择几号箱进行摸球试验？为什么？（2）每次摸球时，你能确定摸到球的颜色吗？为什么？试验结束后，教师追问：从3个不同的箱子中“摸出黑球”这一事件有什么不同？为什么？

【设计意图】通过以上对比试验，让学生强烈感受到：从1号箱中摸出黑球是一定会发生的事件；从2号箱中摸出黑球是一定不会发生的事件；从3号箱中摸出黑球有可能发生，也有可能不发生. 这样设计试验活动，一方面，让学生体会在不同条件下摸到黑球的可能性是不同的；另一方面，通过试验明确前两种事件分别对应必然事件和不可能事件. 自然地引出必然事件和不可能事件的概念.

问题3：“从3号箱中摸出黑球”与下列事件相比较，有什么相同之处？

（1）天气预报明天有雨，明天下雨；

（2）抽一张彩票，彩票中奖；

（3）打电话给某人，对方电话正在通话中.

【设计意图】随机事件是随机现象的衍生概念，对后继内容的学习起着重要的奠基作用. 通过对比，加深学生对随机事件概念的理解，归纳总结随机事件的概念.

探究2：随机事件发生可能性不同的探究.

师生活动1：将学生分成10组，为每组提供1个不透明的箱子，箱内分别装入4个黑球、2个白球（球的形状、大小、质地完全相同，只有颜色不同）. 每组指派一人进行3次摸球试验，另一人进行记录，活动结束后，教师展示各小组记录的数据.

问题4：比较10个小组的试验数据，你有什么发现？

【设计意图】每个小组进行3次试验，由于试验次数较少，可能会出现摸出黑球的次数等于或少于白球的情况，引导学生交流讨论后，教师解释说明：由于每次试验具有随机性，有可能摸到黑球，也有可能摸到白球. 目的是让学生感受随机事件的发生具有随机性.

师生活动2：继续刚才的摸球试验. 每组指派一人进行10次摸球试验，另一人进行记录，活动结束后，教师汇总各小组数据.

问题5：随着试验次数的增加，再次比较10个小组的试验数据，你有什么发现？

【设计意图】随着试验次数的增加，每个小组摸到黑球的次数大多数会多于摸到白球的次数，此处要充分引导学生讨论交流. 教师要注意解释的合理性：由于每个箱子中的黑球个数多于白球个数，随着试验次数的增加，摸到黑球的可能性多数情况下会大于摸到白球的可能性.

4. 拓展探究，解决实际问题

引言：我们已经做了一些随机试验，接下来，我们一起利用随机试验探究上课时提出的“抛硬币”问题.

活动准备：将学生分成10组，每组准备1枚硬币.

试验活动：每组指派一名学生代表连续抛掷2次硬币，并记录相同面与不同面的数据. 共进行10次试验，活动结束后，教师汇总各小组记录的数据.

问题6：对比试验结果，你认为该游戏公平吗？如何运用数学的方法解释游戏的公平性？

【设计意图】首先，学生通过确定试验方案解决、参与试验活动，感受运用随机试验可以研究生活中的随机现象，加强学生运用随机观念分析问题、解决问题的意识；其次，问题6启发学生思考如何科学地解释游戏是否公平，为后续学习埋下伏笔.

5. 课堂小结，巩固学习知识

问题7：你能列举一个生活中的随机现象吗？怎样设计随机试验研究这样的随机现象呢？

【设计意图】随机现象是本节课学生学习的起点，通过列举生活中的随机现象，引导学生理解概念，并思考如何设计恰当的随机试验研究问题、解决问题，激发学生进一步学习随机现象的兴趣与愿望.

五、结束语

“随机事件与概率”一课对于培养学生的随机观念和数据分析观念起着重要的奠基作用，教师要在“为什么研究、研究什么、怎樣研究”三个方面深入思考，设计有意义的数学活动，引导学生经历“随机现象的观察—研究方法的确定—随机试验活动的开展—随机事件概念的抽象”的过程，在这个过程中引导学生感受现实世界广泛存在着随机现象，理解随机现象中蕴含的客观规律，认识到随机试验是研究这一数学规律的有效方法，从而帮助学生积累研究随机现象，进行随机试验的数学活动经验，体会随机事件发生的随机性和规律性，为后续概率内容的学习提供方法基础和实践路径.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］张灵，徐章韬. 微言要义之随机现象与随机事件［J］. 数学通报，2017，56（9）：15-17.

［3］王志勇，徐全智. 基于数学建模和随机试验的确定性和随机现象研究［J］. 实验科学与技术，2017，15（1）：1-3，22.

［4］李永革. 科学设计试验方案，积累数学活动经验：以“随机事件的概率”教学为例［J］. 中国数学教育（高中版），2020（4）：47-51.