数学文化同步阅读主题资源的开发

2023-03-25宋莉莉

中国数学教育（高中版） 2023年2期

摘要：为了充分发挥数学文化的教育价值，进一步促进“双减”背景下中小学生自主学习数学，发展学生的数学情感素养，应该开发与教科书同步且聚焦教学重点和难点、根据数学文化的框架和主题进行内容设计、融入情感化设计的数学文化阅读资源供学生使用.

关键词：数学文化；阅读资源开发；数学情感

一、问题的提出

什么是数学文化？最早提出数学的文化观的Raymond L.Wilder认为：“如今，普遍认为数学已经成为一般文化的子文化……它既有自身的历史传统，也有自身发展的规律”. 郑毓信（《数学文化学》，2000）、顾沛（《数学文化》，2008）、齐民友（《数学与文化》，2008）等都提出了自己关于数学文化的见解.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）在总结国内外学者关于数学文化的主流观点的基础上，给出了如下描述：数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动.

近些年来，关于“数学文化的教育价值”的理论研究与教学实践表明，数学文化在中小学数学教育中发挥了激发学生的数学兴趣和情感，帮助学生全面认识数学（包括数学的应用价值和人文精神等）、理解数学和学习数学，提升学生的科学精神和人文素养等价值.《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《标准》要求把数学文化“渗透”或“融入”课程内容中，课程形态的数学文化因此出现在目前正在使用的所有版本的中小学数学教科书中. 人民教育出版社中学数学编辑室在三版教科书前期研究、两版教科书使用的基础上，搭建了较为完整的“数学文化融入中学教科书的内容与方法”理论框架，基于此框架编写的《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教科书”）初步实现了融入数学文化内容和方式的较为均衡的整体分布.

然而，数学文化融入教科书还存在一些需要持续探索和完善的问题. 例如，教科书中不同知识内容承载的数学文化存在不均衡现象，一些知识内容仅融入了少量数学文化，覆盖的数学文化类型也不全. 又如，受到篇幅、语言风格和呈现方式等的限制，教科书中最能反映数学文化深厚底蕴、在数学文化容量中占比很高的数学史内容，往往因重视史实的准确性而带有较强的“史料味”，难以引发学生的兴趣. 再如，在发展学生的数学情感素养方面，还缺乏对教科书中数学文化内容的相关研究与系统设计.

为了充分发挥数学文化的教育价值，应该开发数学文化阅读资源供学生使用. 同时，考虑到“双减”背景下学生自主学习的时间增加了，开发的数学文化阅读资源应有利于中小学生自主学习，以促进其对数学的认识、理解和学习，发展其数学情感素养.

二、数学文化文本阅读资源的开发方向

为了实现上述开发目标，本文基于数学学习理论、数学文化对数学教育的价值研究及情感化设计的理论与实践研究，尝试以数学文化的视角，为帮助学生解决数学课堂学习中遇到的主要困难，增进学生对数学的认识、理解和学习，以及发展学生的数学情感素养提供解决方案，在开发人教A版教科书同步阅读资源《数学欣赏》的实践基础上，提出下列三个开发数学文化文本阅读资源的方向.

1. 与教科书同步且聚焦重点和难点

开发与教科书同步的数学文化阅读资源，是为了改善数学课堂的“同步学习”带来的弊端.《高中教育蓝皮书：中国高中教育发展报告（2019）》指出，高中生在校学习期间，教师授课的学习模式仍占主导地位. 据我们了解，义务教育阶段的学生目前在校的学习形式也是类似的. 也就是说，班级的所有学生在同一时间学习同一内容，如果教师必须选择一种方法来教，最好的办法可能是基于每种情况下学生的“需求中点”进行教学. 这样的同步学习方式可能影响学生数学学习的效果，因为每个人的学习节奏不同，就算是同一个人，对不同概念、公式、定理等的学习效率也有差别，有时学得快，有时学得慢，但学得快并不意味着学得透彻. 而数学知识具有复杂严密的结构，这使得数学学习具有高度的延续性，前面的概念没有掌握往往会影响新概念的学习. 当跟不上统一的步调，缺失的关键知识太多，造成教师所谓的“基础知识不扎实”时，就可能导致数学学习困难. 因此，在开发数学文化阅读资源时，要与教科书同步，为学生自主复习课堂上的内容，以及有针对性地学习、反复学习提供机会.

《数学欣赏》在内容和单元设置上就与人教A版教科书完全配套. 例如，人教A版教科书的第一章介绍了集合的概念、基本关系、运算，以及一些常用的逻辑用语，《数学欣赏》第一册的第一章就从数学文化的角度介绍了集合论的历史，集合论的发明者康托尔的思想和精神，与集合论的诞生和逻辑学的发展密不可分的对“无穷”的认识，人们在追求数学的逻辑严密性中遭遇的悖论、三次数学危机，以及由自然数的逻辑定义产生的0是否为自然数的争论等. 这些阅读材料为学生深入理解教科书中的内容、拓宽视野提供了资源.

在开发数学文化阅读资源时，还要根据数学学习的特点，针对学习中的重点和难点设置内容. 中小学数学的课程内容，特别是高中数学的课程内容，是可以按照核心概念及其反映的数学思想方法为连接点构建成知识网络的. 而对核心概念及其蕴含的数学思想方法的理解，不仅是后续数学学习的关键，而且对培养学生的理性思维、科学精神也是至关重要的. 因此，在编制数学文化阅读资源时，要突出从数学文化的角度对核心概念及其反映的数学思想方法的诠释，加深和拓展学生的理解. 例如，“函数”的概念是贯穿整个高中数学的核心概念，概念的内涵非常抽象.《数学欣赏》编排了文章《函数的成长之旅》，通过講述这个概念如何一步步从模糊、片面走向明确、完善，帮助学生理解这个看似“最完美”的概念背后蕴含的合理性和包容性. 又如，教学中反馈学生学习“向量”的概念时，往往会产生“既然大小可以用数表示，方向可以用角度表示，那么为什么还要学习向量？”“向量中的一些定义非常奇怪，为什么方向相反的向量也是平行向量？为什么起点不同的向量也可能是相等向量？为什么要定义共线向量？”“为什么要让向量运算？”等困惑. 由于篇幅的限制，是不可能在教科书中回答这些问题的，但是可以在阅读资源中给学生解释清楚.

数学学习的连贯性使得学生学习过程中的薄弱环节可能会成为今后学习的障碍. 文本资源虽然不像智能技术那样，可以通过实时收集反馈信息监测到学生学习中的所有薄弱点，但却可以根据教师的教学经验提供的信息确定大多数学生的学习难点，然后把它作为重点编排内容. 例如，用向量法解决平面几何题是一个难点.《数学欣赏》在两篇文章中为学生克服这个难点提供了“脚手架”：《漫谈向量（二）》揭示了向量法较之综合法的优势和不足，给出了把几何问题“翻译”为向量问题时的常用“翻译”策略，使得学生对向量法多了一层理解；《向量的数量积（一）——高手的“秘密武器”》借助一个具体问题向学生展示了向量法在解决几何难题时的基本思路.

2. 以数学文化的框架和主题设计内容

为了充分发挥数学文化的教育价值，应该促进学生对数学文化内容的理解和认识. 在开发数学文化阅读资源时，必须考虑学生的年龄特点和认知基础，采用适合于对象的语言和表现形式，把数学的内容、思想、精神、方法、观点直观地呈现给学习者. 为此，可以以数学文化的框架和主题来设计内容.

（1）以数学文化的维度为框架组织内容.

尽管学界还没有关于数学文化内涵的统一的概念界定，但是常见的对数学文化内涵的描述都包括多个维度. 以数学文化的各个维度组织内容，可以让学生认识和理解数学知识内容中蕴含的多维度的数学文化. 选取什么样的数学文化维度框架，与“同步”的数学知识内容密切相关. 例如，为小学生开发的数学文化阅读资源可以选取“数学家与数学”“历史与数学”“游戏与数学”“艺术与数学”等维度. 汪晓勤基于《标准》所提出的数学四类价值，以及西方学者总结的数学史教育价值提出了“基于数学史的数学文化”内涵分析框架，這个多维度分析框架可以作为高中数学文化阅读资源的组织框架.

《数学欣赏》基于《标准》对“数学文化”的描述，以及数学文化课程的开发理论，选取了下列五个维度来展现高中教科书中知识内容所承载的数学文化：历史与发展，思想与方法，联系与互动，人物与精神，趣味与应用. 为教科书中的数学知识内容构建了一个多维度、联系广泛的呈现空间. 具体说来，各维度的内涵和《数学欣赏》中的例子如下.

“历史与发展”展现的是教科书中一个数学核心概念或数学分支的形成与发展过程（如《图说集合论》《函数的成长之旅（一）》《对数史话》《向量自传之前传——起源》等）.

“思想与方法”提炼了教科书中的数学知识蕴含的思想（如《无穷的奥秘》《反函数——来自数学星球的孪生子》），阐释了相关的数学方法（如《类比——联想的翅膀》《球积之魅》等）.

“联系与互动”揭示了教科书中不同领域的数学知识之间，以及数学知识与其他学科、现实世界及人类生活等的联系（如《当“立体几何”遇到“空间向量”》《数学与天文学的谈话》《数据可视化对医疗卫生的影响——霍乱地图与南丁格尔玫瑰》《“蓝莓布朗尼”的曲线博览会》等）.

“人物与精神”介绍了发现教科书中数学知识的人物（主要是数学家）的性格、生活、成就、精神和行为等（如《身兼多职的纳皮尔》《成果丰硕的帕斯卡》《数列发展中的名家赏析——朱世杰》《拾贝壳的孩子：牛顿》等）.

“趣味与应用”列举了教科书中数学知识的应用场景（如《“指数爆炸”现场采访》《用音叉演奏交响曲》《不一般的足球》《游戏中的组合数学》等）.

（2）以数学文化主题的输出为目标呈现内容.

尽管按照一定的标准可以将数学文化的内涵划分为多个维度，但在各个维度下，不同文化内容可能传达完全不同的数学文化主题. 例如，同为“历史与发展”维度，函数概念的产生与发展过程反映了一个数学概念是如何逐渐变得完善、合理、精确的，向量概念的产生与发展过程则凸显了不同起源如何交错发展，物理和数学如何相互作用，从而促进了一个新概念的诞生. 丰富多彩的数学文化主题正是数学的历史传统和发展规律的具体表现，是学生感受和理解数学文化的抓手. 因此，在编写数学文化阅读资源时，为每篇阅读材料设置一个或多个数学文化主题，并将主题输出作为创作目标，有利于学生借助具体的文化内容获得对数学文化主题的深刻认识.

《数学欣赏》的每一篇文章都向读者输出了一个数学文化主题. 例如，《图说集合论》传达的是对一个数学问题的求解可能引发一系列新的问题，在这种分解和转化中，新的“数学”诞生了，这是数学发展的生命力之一；《无穷的奥秘（一）》说明了看似简单的原理背后可能蕴含着深层次的意义，使之成为解决千年数学难题的出发点. 同时，每篇文章的作者都在文章后面的小栏目“来欣赏吧”中表达了自己对主题的理解和感受，使这个栏目成为一个输出最生动、最鲜活的数学文化观点的窗口. 所有文章传达的数学文化主题叠加在一起，构成了对数学更全面、更深入的解读.

3. 融入情感化设计

美国导演弗兰克·卡普拉曾说：“我曾经以为只要演员哭了，那就是戏剧了. 但其实只有观众哭了，那才是戏剧.”这不禁让我们想到数学文化的主题，如“数学家就是这么干脆利落，给个符号，本来很复杂的式子一下子就‘瘦身了，关键还美观大方”“数学史上最令人惊奇的事，或许就是迟至19世纪下半叶，数的逻辑基础才被建立起来. 而且数学家们似乎是极不情愿、迫不得已去做这项工作的”真的能引起学生的情感共鸣吗？毕竟“数学价值观”不同于人类普遍的价值观，就连数学家群体给学生的印象都带有刻板色彩（2019年12月，在我们对北京市某中学的高一学生进行的一个小规模调查中，学生用“孤独，不善于社交”“头脑发达，意志坚定”“每天一瓶生发剂”等词语描述数学家），而且中小学教科书中的数学至少有三百多年的历史了.

数学情感素养是积极数学情感的表现，包括：对数学知识的认同感、信任感和审美能力；在数学学习中的好奇心、求知欲和喜悦感；对从事数学活动者的亲近感. 为了发挥数学文化在发展学生数学情感素养方面的价值，在开发数学文化阅读资源时，可以融入情感化设计. 情感化设计最早是由国际知名心理学家唐纳德·诺曼提出的，他基于神经科学中情感对人的认知所产生的潜在的、重要的影响，提出了把情感、行为、认知统合到一起的产品设计理念，使人们在欣赏、使用产品的过程中激发联想、产生共鸣，获得精神上的愉悦和情感上的满足. 目前，情感化设计已经在商业产品、互联网产品、广告文案、新媒体文案等的设计中积累了大量的实践经验，但在以数学为内容的资源开发中还没有相关的实践研究. 下面就基于《数学欣赏》中的情感化设计，探讨在数学文化阅读资源中融入情感化设计的可能做法.

（1）把数学对象塑造为有感情的虚拟人物.

每个数学符号、概念、公式、法则、原理、定理等都是人类理性的产物，也是人类感性的产物. 丘成桐先生说：“出色的理文创作，必须有浓厚的感情与理想.”《数学欣赏》利用数学对象的起源、发展、内涵、外延、与其他数学对象的联系、应用方法等中透露出的“人情味儿”，把一些数学对象塑造成了虚拟的人物. 例如，函数（没有设定性别）、i先生、e（没有设定性别）、弧度先生、小概率女士和向量先生等，通过设定虚拟人物在学生熟悉的场景中的性格、感情、语言、行为和经历等，为学生制造身临其境的體验，以达到帮助他们理解这个虚拟人物（也就是这个数学对象）的目的.

例如，《虚数i的奇妙之旅》以复数被引入后在很长一段时间内不被数学界接纳的历史为背景，讲述了一个来自英文世界的“i先生”受邀到数学世界参加一场实数与虚数之间的辩论的故事. 是否接纳复数的理由及其背后的哲学观点，复数的形式表达、运算的含义，复数最终被接纳的原因，都在故事中通过拟人化的“数们”饱含感情的辩词和书信表达出来了，而“i先生”的心路历程则以幽默的方式反映了学生学习复数时可能的心理变化. 又如，《反函数——来自数学星球的孪生子》利用反函数成对出现、性质“对称”的特点，创造了“反函数大本营”招收新成员并给新成员培训的故事情境，通过一群函数入营前或兴奋、或落寞、或懊悔的原因揭示了反函数的不同情况，以及令人感到温暖和鼓舞的“营队文化”表现了反函数的优良性质.

（2）设计串场人物陪伴学生的学习.

从某种意义上说，数学学习就像是一个人的孤独探险，表面上看起来风平浪静，内心却跌宕起伏. 我们在旁听数学课时，时常会听到做练习的学生在自言自语“噢，我明白了！”“怎么还是不对？”之类的话语.

为了让学生在阅读时能有“有人陪伴”的感觉. 《数学欣赏》设计了五个串场人物——女编辑“晴朗”、男编辑“大涵”、女学生、男学生和虚拟人物“小白人”. 他们性格迥异，都有不完美的地方；他们热爱数学，充满好奇心，但也常常犯错或遇到难题. 除了充当旁白、讲解的角色外，他们会时不时地跳出来，分享对当前内容的感悟，表达赞赏、惊讶、兴奋、迷茫、怀疑、遗憾、懊悔等，以期与学生当下的阅读感受产生情感共鸣.

（3）用蕴意丰富的插画代入学生的情感.

与语言相比，图画蕴含了更丰富的信息，能更强烈地渲染气氛，更深地代入读者的情感. 根据故事情节，《数学欣赏》设计了一些具有较强表现力和感染力的插画. 例如，图1描绘的是“计算毫不费力，就像人呼吸或者鹰在风中保持平衡一样”的欧拉“停止了计算，也停止了生命”；图2则表现了欧几里得用“穷竭法”证明锥体体积公式的艰难过程，就像把自己逼上了魔鬼的阶梯——无限分割、无穷逼近，直至趋近于0；图3描述了笛卡儿的三个梦境，这三个梦启示笛卡儿找到了发现真理的方法. 某中学的一位教师说：“学生一看到这样的插画，就像是被感染到了，会停下来看很久.”

（4）与学生交流积极的数学情感.

数学文化内容能激发学生积极的数学情感，情感交流则能促进学生对数学文化内容的理解. 虽然文本阅读资源不能为学生提供情感交流的现实场景，但至少可以为作者提供一个能够直接跟读者交流数学情感的“窗口”.《数学欣赏》每篇文章后面的小栏目“来欣赏吧”就是这样一个“窗口”，作者在这里抒发了写作过程中意犹未尽的情感. 而这些情感具有数学文化特有的情感模式和表达. 例如，有的作者在这里写下了他们对数学结论、发展规律、数学现象等的赞叹、困惑和遗憾等；也有作者总结了数学世界中令人叹服、忍俊不禁或者大跌眼镜的“数学价值观点”. 这种以情感交流为目的的数学文化主题输出，更能引起学生的共鸣.（一名高中生在评价《数学欣赏》时，写道：“此书常常上升到人文高度，比如每章‘来欣赏吧往往提供了一个非常精彩的总结.”）

三、一些讨论和建议

本文探讨了开发数学文化阅读资源的三个可能的方向：与教科书同步且回应其中的重点和难点，以数学文化为框架和主题设计内容，融入情感化设计. 这样的阅读资源有利于在学生自主学习的状态中发挥数学文化的教育价值. 关于数学文化阅读资源的开发和使用，本文还想提出一些讨论和建议.

1. 增加“幽默”的表达

钱钟书先生说：“幽默，是替沉闷的人生透一口气.”《数学欣赏》在写作过程中不经意间加入了几个谐音梗，没想到深受学生和教师欢迎（一位教师在试教后写道：“文中以漫画的形式，借刘徽和妻子一段诙谐幽默的对话，根据谐音‘阳马和‘养马、‘鳖臑和‘别闹，将这些晦涩拗口的数学名词串了起来，很是有趣，一下子就提起了学生的浓厚兴趣.”）. 数学文化阅读资源中不可避免地包括“烧脑”的数学知识内容，“幽默”的表达则可能让学生放下戒备、从容应对. 然而“幽默”体现了右脑“结合情境、综观全局，以及将不同的观点组合成新思想”等强大能力，要在数学文化阅读资源中呈现“幽默”的表达并不容易，还需要进一步探索.

2. 设置“互动”和“反馈”环节

任何形式的学习都应包含“互动”和“反馈”环节. 尽管我们探讨开发的数学文化阅读资源是供学生课外自主学习使用的，但来自学校教师和学生的反馈与互动必将有助于增强学生的学习效果. 因此，我们建议教师在学校通过选修课和翻转课堂等形式为学生提供交流的机会，让学生以讲故事、表演话剧等形式演绎阅读资源中的内容，或者与教师和其他学生一起探讨阅读中发现的问题.

3. 改编为视频资源

如今，视频已经代替文本成为互联网时代的主要流量形态. 我们也期待，从事在线教育的同行能把基于上述理念开发的文本阅读资源改编成以数学文化主题为单元的动画、微课等形式的在线课程，为学生提供形态更丰富的数学文化学习资源.

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