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初中数学反证法的逻辑基础及应用分析

2023-01-08王逸勤施春玲

福建基础教育研究 2022年7期
关键词:反证法量词结论

王逸勤 施春玲

(1.福建教育学院数学教育研究所,福建 福州350025 2.福州大学至诚学院,福建 福州 350001)

反证法是数学证明的重要方法,在数学解题中具有广泛应用,有利于发展学生推理素养.那么,反证法为何是可靠、有效的?其重要依据和逻辑基础是什么?它的适用条件和使用范围是什么?在初中数学中又有哪些具体应用?

一、反证法的逻辑基础

(一)反证法是间接证明的一种方法

数学证明按照是否直接证明一个数学命题,可将数学证明分成直接证明和间接证明.[1]数学中常用的间接证明方法包括同一法和反证法,因此反证法属于间接证明的一种方法.[2]

(二)反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律

数学证明须遵循逻辑规律.首先假设“命题结论不成立”,如果在同一思维下推导得出矛盾,根据逻辑规律中的矛盾律,“命题结论不成立”与“命题结论成立”不能同时成立,其中至少一个是假的.而推导过程是合理的,矛盾是由“命题结论不成立”引发的,由此我们得出“命题结论不成立”是假的.再根据逻辑规律中的排中律,“命题结论成立”与“命题结论不成立”必有一个是真的.由于“命题结论不成立”是假的,因此“命题结论成立”为真.

(三)反证法并不一定等价于证明了原命题的逆否命题

用反证法推导得出的结论只要与已知事实(定义、公理、定理)、题设或反设相矛盾或自相矛盾即可.若推导出的结论与题设矛盾,且在推导中不用到题设条件,那么就相当于证明了原命题的逆否命题;若推导出的结论与已知事实或反设相矛盾或自相矛盾,或在推导中用到了题设条件,那么此时就不是证明了原命题的逆否命题.

(四)“有效增设”——反证法有效性的逻辑分析

对于所要证明的命题,增加条件而不改变题意,使得更容易解决问题,叫做“有效增设”.有效增设是一种重要的解题策略,在数学证明中经常会用到,比如构造对偶式、对参数进行分类讨论等,均可以产生“有效增设”.从有效增设的策略来看,反证法之所以有效,往往是由于其能够给题目增加条件.用反证法证明p→q,相当于证明p∧-q→r∧-r,这就相当于给p增加一个条件-q,特别是p信息少或q不好表示而用-q更好表示时,这个“有效增设”的优势就更突出了,而反证法是产生“有效增设”的一个重要途径.

二、反证法适用条件和范围分析

从逻辑意义上讲,对于任何数学命题的证明,既能用直接证法又能用反证法.那么什么时候要用反证法呢?一般从正面思考不易,直接证明有困难,才考虑从反面考虑.究竟哪些命题更适用反证法呢?

(一)否定性命题

数学中的定义、定理、法则等一般是肯定型的.而此类命题的谓词通常是用否定的,如“不是有理数”.

(二)“至少”“至多”类命题

该类型的命题结论常用“至少”“至多”等量词.需注意的是,在对命题结论进行否定时,其量词要进行相应的转换,即全称量词要改成存在性量词,存在性量词要改成全称量词.

(三)存在性命题

所谓存在性命题,即所讨论对象在一定条件下是否存在的问题.该类型的命题结论常以“存在……,使得……”等形式表示.

(四)唯一性命题

所谓唯一性命题,即所讨论数学对象在存在的条件下是否唯一的命题.该类型命题的结论常以“唯一……”“恰好有一……”等形式表示.

(五)无限性命题

所谓无限性命题,即命题结论所表达的对象有无穷多个的命题.比如“质数有无限多个”.该类型的命题结论常出现“无穷”“无限”等量词.

(六)较少条件的命题

像平面几何和立体几何等数学分支,在公理体系的起始阶段,一些性质和定理很难直接证明,或有些命题条件较少,或可依据的相关定义、定理、法则很少,从正面考虑困难,此时可考虑从反面解决.

(七)逆命题为真的命题

有时所要证明命题的逆命题成立,此时正面思考困难时,可考虑从命题结论的反面出发来解决,证明中可以充分利用逆命题这一已知的事实,也即利用原命题的逆命题的结论来解决问题.此类命题如“若三角形的两内角平分线相等,则此三角形必为等腰三角形”.

三、初中数学中反证法应用例析

小学阶段对反证法没有明确要求,但作为一种思维方式,在小学教学中也经常可见其身影,比如在教学“三角形两边之和大于第三边”时,在判断“一个三角形中不可能有两个钝角”时,等等.初中阶段在课标中明确提出了“通过实例体会反证法的含义”,[3]但由于初中没有给学生系统地专门介绍有关这方面的知识,只是零散地以例题形式分散在教材的不同地方,不少教师对此并没有清晰的认识,因此很有必要对现行教材中反证法的应用实例进行梳理.此外,还将例谈反证法在中考试题解答中的重要应用.

(一)反证法在教材中的应用例析

分析:毕达格拉斯学派认为“万物皆数”(指有理数),该学派中一个成员却发现“不是有理数”,由此导致无理数的发现.无理数的发现过程被称为数学史上的第一次危机,它促使人们从靠直观或经验而转向靠证明.如何证明这一命题呢?这是一个否定性命题,因此可考虑从结论的反面入手.也可看作是证明“是无理数”这一肯定性命题,但不难发现几乎没有什么可利用的条件,因此可考虑利用反证法产生“有效增设”,即假设它不是无理数,则它肯定是有理数,于是就可以得到“(p、q为整数且p、q互质)”这一推证的基础.(具体证明过程略)

[例2 命题]两直线平行,同位角相等

分析:这是平行线的一个性质,直接证明较难,同时我们知道平行线的一个判定:“同位角相等,两直线平行”,此判定和性质是互为逆命题的,因此这是个逆命题为真的命题.假设两同位角不等,则可以做出一个同位角相等的角,于是根据该逆命题,又得到了一条与已知直线平行的直线,这就与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾.(具体证明过程略)

[例3 命题]经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆(见人教版教材“圆”这一章节中的“思考”)

分析:经过同一条直线上的三个点能否作出一个圆?我们无论是徒手画还是借助几何画板都画不出来,然而要确认“经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆”,不能依靠观察、猜想、验证的方法,而必须进行推理论证.命题“经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆”是一个否定性命题,因此我们可以考虑反证法,即假设“经过同一条直线上的三个点能作出一个圆”,根据垂径定理,则可马上得出与定理“在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线相互垂直”相矛盾的事实.(具体证明过程略)

(二)反证法在中考中的应用例析

反证法在全国各地中考中,多数没做考查要求,但掌握了反证法的原理和方法,有利于我们分析和解决各类问题,在拓展解题思路的同时,也提高了解题的有效性.下面举例说明反证法在各省中考数学试题解答中的应用.

1.利用反证法来进行推理与判断

[例4](2018 年福建省中考)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0 有两个相等的实数根,下列判断正确的是( )

A.1 一定不是关于x的方程x2+bx+a=0 的根

B.0 一定不是关于x的方程x2+bx+a=0 的根

C.1 和-1 都是关于x的方程x2+bx+a=0 的根

D.1 和-1 不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

分析:很多考生选错答案,甚至部分教师认为答案D 有误、C 是正确的.D 是一个否定性命题,正面无法判断,可以用反证法从反面推理.假设1 和-1 都是关于x的方程x2+bx+a=0 的根,则有b=a+1 且b=-(a+1),由方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0 有两个相等的实数根,得到b=a+1 或b=-(a+1),这与b=a+1 且b=-(a+1)矛盾.因此,1 和-1 不都是关于x的方程x2+bx+a=0 的根.

[例5](2013 年江苏省扬州市中考)如果10b=n,那么称b为n的劳格数,记为b=d(n),由定义可知:10b=n与b=d(n)所表示的是b、n两个量之间的同一关系.

①略;

②劳格数有如下运算性质:若m、n为正数,则d(mn)=d(m) +d(n),

d=d(m)-d(n).根据运算性质,填空:(略);

③如下表1 中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的,请找出错误的劳格数,说明理由并改正.

表1

分析:③要求找出错误的d(x)并说明理由,可用反证法进行推理与判断.假设d(3) ≠2a-b,则d(9)=2d(3) ≠4a-2b,d(27)=3d(3) ≠6a-3b,这与题设“d(x)有且只有两个是错误的”矛盾.因此,d(2)=2a-b;假设d(5) ≠a+c,则d(2)=1 -d(5) ≠1 -a-c,d(6)=d(3) +d(2) ≠1 +a-b-c,d(8)=3d(2) ≠3 -3a-3c,这也与题设“d(c)有且只有两个是错误的”矛盾,因此,d(5)=a+c.从而d(1.5)和d(12)有误.

2.利用反证法来进行推理与证明

[例6](2010 年辽宁省鞍山市中考)用反证法证明:等腰三角形的底角是锐角.

分析:这是条件较少的命题.假设等腰三角形的底角不是锐角,则底角≥90°,则两底角≥180°,则等腰三角形内角和>180°,这与三角形内角和定理矛盾,故反设不成立.故命题得证.

[例7](2007 年广东省梅州市中考)已知二次函数图象的顶点是(-1,2),且过点

(1)求二次函数的表达式,并在图中画出它的图象;

(2)求证:对任意实数m,点M(m,-m)2都不在这个二次函数的图象上.

分析:由(1)得知二次函数的解析式y=-(x+1)2+2.下面证明(2),这是个“至少”“至多”类命题.假设存在实数m1,使得点M(m1,-m12)在这个二次函数的图象上,因此,-m12=+2,此方程无解(因 为d=-8 <0),这 与(m1,-m12) 方 程y=(x+1)2+2 的解矛盾,故反设不成立.故命题得证.

四、结语

反证法作为一种有效的思维策略和推理方法,在初中数学教学中具有重要的作用.作为数学教师,必须了解反证法的逻辑基础,掌握反证法的适用条件和使用范围,对反证法在初中数学中的应用有一个清晰认识,促进学生形成推理素养,这样才能取得良好的教学效果.

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