林晴岚 黄 勇 陈柳娟

（福建教育学院数学教育研究所，福建 福州 350025）

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》优化了原有高中数学概率与统计主线课程内容，将数据分析素养作为高中数学课程概率与统计主线课程的重点培养目标，对概率单元的课程内容进行整体重构.概率单元课程内容由三个核心内容重新构建：第一个核心是围绕对随机现象认识展开研究学习；第二个核心是通过学习有限样本空间（特别是古典概型），初步理解概率模型；第三个核心是通过学习几个典型随机变量分布（如二项分布、超几何分布、正态分布等），会用概率模型解决简单的实际问题.［1］落实概率单元的整体学习要求思路是通过对生活的具体实例研究，认识概率这一研究复杂随机现象规律的重要数学工具；认识和理解随机事件和概率的意义；理解不确定性思维模式与确定性思维模式之间的差异；学会面对现实生活中各种各样的随机现象，合理利用随机变量刻画随机现象建立概率模型解决实际问题，掌握从不确定性的角度认识客观世界的基本方式方法，落实“使学生学会数学的思考方式”，也是提升学生数学核心素养的关键.

一、概率单元学习内容

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》课程内容设置中概率大单元主要核心内容总体构建如图1 所示.概率大单元总体构建的主要核心内容按照普通高中学业质量标准不同进行划分成两部分，两个不同的学习要求标准：一是以高中数学学业质量标准设置数学必修课程内容，意在通过相关内容如随机事件与其独立性、概率的学习，能正确区别统计思维与确定性思维的差异，领悟统计判断结果的或然性，有能力为相关事件现象进行科学决策；二是以进一步深入高校学习而必须参加全国统一高考选拔性测评应达到的数学学业质量标准，设置数学选择性必修课程内容，重点选择与随机事件相关的主要内容如条件概率、离散型、连续型（正态分布）的学习，从严谨、准确描述生活中随机现象的视角，让学生感悟科学分析随机现象对促进社会发展的价值与重大作用，促进学生理性精神的形成与发展.

图1

概率单元内容新变化说明：

1.增加了有限样本空间内容.让学生在有限样本空间知识的基础上学习古典概型，增强对概率的理解.［1］

2.增加了全概率公式和贝叶斯公式.让学生借助初中已学树状图梳理解决问题的思路，进一步学习利用全概率公式计算概率，感受在现实问题解决中，全概率公式更具有应用的普遍性，能更简洁、更清晰、更有条理描述问题解决的思路；了解贝叶斯公式，是为了加强与信息技术的融合，加深对概率分布的理解，把握概率与统计联系，以及系统的统计推理与决策方法，助力发展学习型人工智能.

3.减少了原有课程内容的几何概型.高中概率单元课程内容的总体设计是要求满足学生在中小学阶段，通过初步学习概率单元课程内容，掌握古典概型、几何概型、二项分布、超几何分布等，并在不断地深入学习概率相关概念、公式、模型的过程中，进一步了解正态分布，理解有限样本空间，提升用统计的眼光观察现实中的随机现象、用概率中的随机思想思考现实问题、用概率公式严谨、准确地描述随机现象的素养，为今后进一步深入学习概率空间奠定基础.［2］

二、概率单元的教学思考

高中数学课程内容概率与统计主线的概率单元学习是由三个问题将概率单元核心内容串联起来：一是对投掷骰子问题研究，认识随机现象、样本点、样本量，理解样本点与随机事件的关系；二是通过古典概型的案例研究与学习，认识有限样本空间，以及古典概型的特征，掌握建立概率模型的一般方法；三是借助二项分布、超几何分布、正态分布等几个典型随机变量分布，学习运用概率模型解决实际问题的基本方法；把握概率与统计主线整体知识框架和脉络，打开研究概率问题的新视角，发展学生的数据分析素养.

（一）概率必修单元的教学思考

围绕必修单元学习主要内容随机事件与概率与随机事件的独立性的教学思考，把握好以下五个方面：一是从概率论的特点来把握整体的逻辑关系；二是在核心概念“随机事件”的教学过程中，让学生体验用数学的抽象语言描述“随机事件”的过程；三是加强概率思想与方法的教学，让学生在概率问题解决过程中学习运用类比、归纳等数学思想，掌握概率的研究路径，领会事件的关系与运算，［3］等等；四是关注统计与概率的联系，理解概率是为统计的发展提供理论基础，概率的模型、公式为统计的科学解释提供重要的依据；五是加强在概率运算中融合信息技术应用，明确从统计的总体中有效选择样本，构建概率模型严格、准确分析样本中的随机变量，借助样本情况科学分析总体情况，信息技术是必备的先进且科学的应用工具.

教学时可通过典型的随机现象（如抛掷硬币、骰子等），从实例出发，让学生经历对随机现象分析与归纳，从中获得研究对象即随机现象特征的认识与理解，加强用数学语言描述随机现象，在解决实际问题中学习构建概率模型的一般方法，［3］领悟随机思想和模型化思想.教学实践时可从以下几方面落实：一是以投掷骰子来提出问题，引导学生围绕投掷骰子这一随机事件的系列问题展开研究，从而学习随机事件的相关概念，领会随机事件发生的含义，理解古典概型；［1］二是让学生思考连续投掷一枚均匀骰子两次，学会如何正确表示该随机事件的样本点和样本空间，经历随机事件的概念从直观描述到数学刻画的精确化过程，［3］学会用不同的语言表达方式表示事件的样本点和样本空间；三是通过学习用语言表达随机事件“第一次投掷骰子得到点数是i，第二次投掷骰子得到点数是j，(i、j∈{1,2,3,4,5,6})”的样本点与样本空间，加深学生对随机现象、两个随机事件独立性、关系与运算法则的理解，能结合实际问题构建概率模型，计算随机事件的概率；［1］四是从求随机事件“两次投掷骰子得到点数之和为6”的概率问题中，让学生体会从特殊到一般、模型思想与随机思想等，正确理解随机事件的发生与否具有随机性，但随机事件的概率是确定的数值，明确现实问题处理过程中是采用随机抽样和用样本推断总体，所以在利用概率作决策时，应选择大概率的方案，但要明白此方案未必是最好的.

（二）概率选择性必修单元的教学思考

概率主题选择性必修内容.教与学中，重点借助具体实例引导学生学习用随机变量刻画随机现象，会严谨、准确地表达随机变量与随机事件的关系.教学可从以下几方面展开：一是在必修课程内容中学习随机事件的基础上，进一步深入学习随机事件的条件概率，掌握利用全概率公式求随机事件的概率解决随机现象问题的方法；二是通过具体的实例，帮助学生在了解离散型随机变量的相关概念、伯努利实验、超几何分布及其均值的基础上，掌握离散型随机变量二项分布的数字特征，并能应用相关模型解决简单的实际问题；［2］三是会根据具问题建立的误差模型，展开对正态分布的随机变量、均值、特征等相关概念的学习.［2］（如图2）

图2

教学时，以必修课程中概率知识技能、思想方法及学习活动经验积累为基础，以发展学生数学核心素养为宗旨，综合典型问题进一步开展学习概率的教学活动.一是对于条件概率的概念学习，可以选择问题“有一家庭有两孩，若知该家庭有一女孩，那么这个家庭两个孩子都是女孩的概率是多大”为研究案例，让学生认识到，以“家庭已有一女孩”为事件A，“这个家庭两个孩子都是女孩”为事件B，即在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率本质就是在缩小的样本空间A 上求积事件AB 的概率P(B│A)=(P(AB))/(P(A)).通过“问题情境—思考探究—抽象概括”的方式，让学生认识条件概率的意义，领会随机事件的独立性与条件概率之间关系，掌握求条件概率的两种方法.学习用全概率公式解决复杂事件概率的基本思路，可以通过“某企业有三台车床加工同一型号零件，第一台车床加工次品率为6%，第二、三台车床加工的次品率均为5%，现有三台车床零件混成一堆，在此堆零件中第一、二、三台车床零件分别占总数的25%、30%、45%.问：从中任取一个零件是次品的概率是多少？”案例分析，使学生体会利用全概率公式解决问题的方法，思路更清晰、简洁，更具有一般性.二是理解随机变量的概念，可以从随机试验“抛掷一枚硬币直到正面朝上为止，变量Y 表示需要抛掷的次数”出发，首先建立随机试验的样本空间，认识每一随机试验作为样本点所具有的随机性，［4］领会到随机变量是对随机试验可能结果的量化，明晰了随机思想与数学确定思维之间的联系，厘清研究离散型随机变量的路径“随机现象（问题情境）—样本空间—离散型随机变量—分布列及其表示—分布列性质”，［2］掌握用随机变量构建概率模型刻画随机现象规律的思想方法，感受到借助信息技术工具来完成连续型随机变量的概率计算对决策体现出的重要作用.

总体要求，学生通过概率大单元课程内容学习，厘清概率相关知识，以及概率的基本概念，清晰了解抽象概率的研究对象，掌握了概率的性质、公式，学会了如何构建研究具体随机现象的思路和方法，积累了比较丰富概率研究路径的经验，会根据实际问题构建合理的概率模型来解决实际问题，［2］掌握了借助信息技术工具来完成有关概率的计算手段，增强数学抽象、直观想象与推理能力.从严谨、准确描述生活中随机现象的视角，让学生感悟科学分析随机现象对促进社会发展的价值与重大作用，促进学生理性精神的形成与发展.

三、概率单元所承载的育人价值

概率大单元的学习意义在于树立“随机思想”，认识客观世界中各种不确定性现象——随机现象，正确认识现实世界出现的各种现象中“随机”特点，对随机现象有能力从中抽象出相关的数学研究对象，把握事物发展的脉络，会用科学的手段有条理、合乎逻辑解释现实中的随机现象，并对随机现象进行科学分辨和提出科学的决策意见.学生通过概率与统计主线学习：一是明确了概率为“统计”的发展提供理论基础，“随机现象”作为概率的研究对象有着丰富的呈现形式（如天气预报、生物制药、种子培育、地质勘探、产品检测、病毒传播等）.认识到对随机现象的正确“分辨力”是基于对总体中有效选取样本、合适的概率模型选择、有效分析随机现象、科学推断随机现象产生的可能性等各环节的有效把握，最终达到透过“随机”现象探索客观事物本质和规律的过程，提升了主动分辨信息、科学定量分析的意识和能力；二是形成通过随机现象认清事物的变化的不确定性的思维品质.能通过随机思想去思考、去洞察事物的本质和发现其内在规律性，寻求问题的解决的科学途径，掌握用统计与概率的思想去分析客观世界的变化和发展的技术手段；三是积累基于“随机”现象分析的活动经验，从活动中感悟随机思想是认知客观世界的基本思想和数学方法，在现实生活中会有意识观察与探索生活中随机现象，能正确认识随机事件中的偶然性与必然规律，掌握用确定的数学模型分析解释随机现象的思维模式和解决问题的方法，拓宽了认识与探索客观世界规律的视野，培育学生用数学的眼光观察看现实生活中的随机现象，用数学的语言描述现实生活中的随机现象，［1］提升对现实世界各种现象正确分辨能力.