鲍芳霞，赵东霞，庞玉婷

(中北大学 理学院， 太原 030051)

0 引言

神经网络在信号处理、模式识别、人工智能和全局优化等领域具有广泛的应用，考虑到其动力学行为是应用的理论基础，因此，国内外专家学者对神经网络及其动力学行为进行了深入的研究，取得了一系列卓有成效的结果[1-6]。文献[7]研究了带有自反馈的多时滞N元环型非线性神经网络系统，假设所有相邻神经元之间的连接权值均为a，通过构造辅助函数等分析技巧，讨论了特征方程的每个一阶因式的零点的实部分布情况，以及系统得到稳定所需满足的条件。文献[8]首先讨论了无自反馈项的三元环型神经网络系统特征方程的根的分布情况，明确了系统平凡解稳定与不稳定的充分条件，其次讨论了带有自反馈的情形，仍得到相似的结论。文献[9]考虑带有自反馈的多时滞三元环型神经网络系统，假设每个神经元之间的连接权值均为a，讨论了当a变动时系统平凡解与不平凡解的稳定性。文献[10-11]建立了带有2个小世界联接的四神经元时滞环形神经网络系统，构造了Lyapunov函数，通过对其进行分析给出了与时滞相关的稳定性准则，并讨论了小世界联接对系统稳定性的影响。文献[12]研究了时滞为τ，连接权值为α、β的双向环形网络系统，采用标准型法和中心流行理论对其进行了线性稳定性和Hopf分岔分析。文献[13]针对具有4个神经元的单向环状神经网络系统，通过对正平衡点的局部稳定性分析，得到了参数的稳定区间，并刻画了当正平衡点失去稳定性时的特点及所发生的Hopf分岔情况。 文献[14]研究了具有双时滞的单摆系统的稳定性，采用特征根方法，讨论了系统参数与稳定性之间的关系，给出了2个时滞参数的临界取值。

受上述文献的启发，研究如下具有3个时滞的四神经元双向环形神经网络模型(如图1所示)：

(1)

图1 具有3个时滞的四神经元环形网络结构示意图

主要贡献是在具有双时滞的双向环状神经网络系统的基础上(见文献[15])，增加考虑了自反馈项的时滞因素，进而研究具有3个时滞(σ,τ1,τ2)的四神经元双向环状神经网络系统与时滞相关及与时滞无关的稳定性，并给出3个时滞参数的临界值。

1 系统(1)的稳定性分析

考虑到tanh(0)=0，tanh′(0)=1，则(0,0,0,0)是系统(1)的平衡点，并且系统(1)在平衡点处线性化可得：

(2)

通过计算可得系统(2)的特征方程为：

(λ+d-ke-λσ-ae-λτ2-be-λτ1)×

(λ+d-ke-λσ+ae-λτ2+be-λτ1)×

(λ+d-ke-λσ+i(ae-λτ2-be-λτ1))×

(λ+d-ke-λσ-i(ae-λτ2-be-λτ1))=0

(3)

式(3)等价于：

(4)

引理1[16]考虑指数型多项式：

P(λ,e-λτ1,…，e-λτm)=

(5)

注1 根据引理1可知，当时滞参数(σ,τ1,τ2)由(0,0,0)一点点开始增大时，稳定性发生切换当且仅当特征方程产生纯虚根。

1.1 τ1=τ2=σ=0的情形

所考虑的特征方程(4)是具有3个时滞τ1、τ2和σ的4阶指数型多项式。当τ1=τ2=0时，特征方程(4)退化为：

(6)

定理1若d>0，则当τ1=τ2=0，且σ=0时，特征方程(3)的所有根均有负实部的充分必要条件为d-k>|a+b|。

证明当τ1=τ2=0，且σ=0时，特征方程(3)的根表示成如下形式：

(7)

化简得：

(8)

容易看出，当d-k>|a+b|时，λ1,2<0，Reλ3,4=-(d-k)<0。所以，τ1=τ2=0且σ=0时，特征方程(3)的所有根均有负实部，定理得证。

1.2 τ1=τ2=0，σ>0的情形

接着进行讨论τ1=τ2=0时，系统(1)稳定时，时滞σ的取值范围。

首先将给出如下的5个条件：

(P1)a+b≥0,k2-[d-(a+b)]2≤0

且k2-d2<0;

(P2)a+b<0,k2-[d+(a+b)]2≤0

且k2-d2<0;

(P3)k2-[d-(a+b)]2>0;

(P4)k2-[d+(a+b)]2>0;

(P5)k2-d2>0。

定理2假设d>0，d-k>|a+b|且τ1=τ2=0，则：

1) 如果系统参数满足条件(P1)或(P2)，则对于任意的σ∈[0,+∞)，特征方程(3)的所有根均具有负实部。

2) 如果系统参数a、b、k、d满足条件(P3)—(P5)中任意一条，则必存在某正数σ0>0，使得对任意的σ∈[0,σ0)，特征方程(3)的所有根均具有负实部。

证明假设λ=iω(ω>0)是特征方程(6)的纯虚根，此时，代入方程(6)中的4个等式，且分离实部和虚部，分别可得：

(9)

对上面4个方程组左右两边平方和再相加得：

(10)

移项整理得关于σ的如下4个方程：

(11)

显然，如果条件(P1)或(P2)成立，则式(11)的4个式子均无正根，即特征方程(3)不会发生有纯虚根的情况。结合引理1可得结论1)成立。

接着进一步分析特征方程(6)产生纯虚根时的时滞值σ的临界情况。

当条件(P3)—(P5)其中之一成立时，方程(11)至少有一个正根。现将所有可能的正根列出，不妨设：

(12)

由式(9)可解出：

(13)

故可设：

h=3,5,v=4,6

(14)

于是，当τ1=τ2=0，且σ≥0时，如果系统参数a、b、k、d满足条件(P3)—(P5)中任意一条，则必存在临界值σ0>0，使得当对σ∈[0,σ0)时，特征方程(3)的所有根都具有负实部，即结论2)得证。

1.3 τ1=0，σ∈[0,σ0)，τ2>0的情形

下面分析当τ1=0，σ∈[0,σ0)时，特征方程(3)产生纯虚根时的时滞值τ2的临界情况。特征方程(4)可变为：

(15)

假设λ=iω(ω>0)是特征方程(15)的纯虚根，则代入方程(15)中，且分离实部和虚部，得：

(16)

对上面4个方程组左右两边平方和再相加得：

(17)

(18)

(19)

(20)

由方程(17)，变形得：

ω2+k2-a2+(d-b)2=

2k(d-b)cos(ωσ)-2kωsin(ωσ)=

(21)

即：

(22)

(23)

同理，由方程(18)和方程(16)的第二个方程组第一个式子可得：

(24)

由方程(19)，变形得：

d2+k2-a2+(ω-b)2=

2kdcos(ωσ)-2k(ω-b)sin(ωσ)=

(25)

即：

(26)

(27)

同理，结合方程(20)和方程(16)第四个方程组第二个式子可得：

(28)

故可设：

(29)

因此，综上分析并结合引理1、定理1和定理2，易得如下结论。

定理3假设d>0，d-k>|a+b|且τ1=τ2=0，则：

2) 如果系统参数满足条件(P1)或(P2)，并且式(17)—(20)均无正根，则对于任意的σ≥0，τ2≥0，特征方程(3)的所有根均有负实部。

4) 如果系统中的4个参数a、b、k、d对于条件(P3)—(P5)中的任意一条满足，并且式(17)—(20)均无正根，则对于任意的τ2≥0，使得当σ∈[0,σ0)时，特征方程(3)的所有根均有负实部。

(30a)

(30b)

(30c)

(30d)

对上面4个方程组左右两边平方和再相加得：

=cos(ω(σ-τ2))

(31)

=cos(ω(σ-τ2))

(32)

=sin(ω(τ2-σ))

(33)

=sin(ω(σ-τ2))

(34)

1≤j≤n

(35)

同理，结合方程(32)和方程(30b)的第一个式子可得：

(36)

1≤j≤n

(37)

同理，结合方程(34)和方程(30d)的第二个式子可得：

(38)

故可设：

1≤j≤n

(39)

因此，结合引理1、定理1、定理2和定理3，得下述定理。

定理4假设d>0，d-k>|a+b|，则：

4) 如果系统参数满足条件(P1)或(P2)，式(17)—(20)均无正根，且式(31)—(34)均无正根，则对于任意的σ≥0，τ1≥0，τ2≥0，特征方程(3)的所有根均有负实部，即系统(1)是一致渐近稳定的。

8) 如果系统中的4个参数a、b、k、d对于条件(P3)—(P5)中的任意一条都满足，式(17)—(20)均无正根，并且式(31)—(34)均无正根，则对于任意的τ1≥0，τ2≥0，当σ∈[0,σ0)时，特征方程(3)的所有根均有负实部，即系统(1)是一致渐近稳定的。

2 数值仿真

本节将利用Matlab工具进行数值模拟，说明系统(1)在平衡点处的动力学性质。

例1 在系统(1)中，取系统参数值：d=1，a=0.5，b=0.25，k=0.15，显然满足d>0，d-k>|a+b|，以及条件(P1)：a+b≥0，k2-d2<0且k2-[d-(a+b)]2≤0。此时，只要取σ≥0即可，不妨取σ=1，则方程(17)变为：

ω2+0.335=0.225cosω-0.3ωsinω

(40)

假设函数f(ω)=ω2+0.335，函数g(ω)=0.225cosω-0.3ωsinω，此时方程f(ω)=g(ω)无正根，如图2所示，这2条曲线没有交点。同理，方程(18)—(20)均无正根。此时，只要取τ2≥0即可，不妨取τ2=1，在此条件下，方程(31)变为：

ω2+1.36=-1.3(ωsinω-cosω)

(41)

假设函数m(ω)=ω2+1.36，函数n(ω)=-1.3(ωsinω-cosω)，此时方程m(ω)=n(ω)无正根，如图3所示，这2条曲线也是没有交点的。同理，方程(32)—(34)均无正根。此时，不妨取τ1=3，由定理4的结论4)可得，系统(1)是渐近稳定的，如图4所示。其中，初始条件分别取如下所示的值：x1(0)=0.1，x2(0)=-0.15，x3(0)=0.3，x4(0)=-0.25。

图2 方程(40)无正根

图3 方程(41)无正根

图4 系统(1)的状态在时间区间(0 s,30 s)上的收敛性

例2在系统(1)中，取系统参数值：d=0.75，a=-1，b=0.06，k=-0.2，显然满足d>0，d-k>|a+b|，以及条件(P4):k2-[d+(a+b)]2>0。此时，σ的临界值σ0=4.953，所以，不妨取σ=1，方程(17)变为：

ω2-0.483 9=-0.276cosω+0.4ωsinω

(42)

ω2+1.598 9=2.4(ωsinω-0.75cosω)

(43)

假设函数m(ω)=ω2+1.598 9，函数n(ω)=2.4(ωsinω-0.75cosω)，此时方程m(ω)=n(ω)无正根，如图6所示，这2条曲线是没有交点的。同理，方程(32)—(34)均无正根。此时，不妨取τ1=0.5，由定理4的结论6)可得，系统(1)是渐近稳定的，如图7所示。其中，初始值为x1(0)=0.2，x2(0)=-0.13，x3(0)=0.28，x4(0)=-0.35。

图5 方程(42)有正根

图6 方程(43)无正根

图7 系统(1)的状态在时间区间(0 s,800 s)上的收敛性

3 结论

建立了多时滞双向四神经元环形神经网络系统的数学模型，将系统作线性化处理后，得到其特征方程，接着对特征方程因式分解，得到对应的4个一阶指数型多项式，利用指数型多项式零点性质和特征根分析方法，分析了满足系统在平衡点处与时滞相关及与时滞无关的稳定性的充分条件。