史嘉

【摘 要】文章基于问题解决和《义务教育数学课程标准（2022年版）》发展“三会”数学核心素养的要求，以问题链的形式设计“综合与实践”主题活动教学。研究者建议教师应挖掘初中数学教材“折纸”内容，开展“纸折正五边形”主题学习活动，并根据教学过程和学生的课后反馈进行思考总结。

【关键词】综合与实践；问题解决；主题活动教学；纸折正五边形

一、引言

2022年4月教育部颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“义教课标”）界定了初中阶段数学核心素养的内涵，主要由三个方面構成：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）［1］。这和《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“高中课标”）所界定的数学核心素养具有整体性和一致性。其中“三会”的表述略有变化，义教课标把高中课标中的“世界”改为“现实世界”，其目的是强调数学是人们认识、理解和表达现实世界的语言［2］。可见义务教育阶段的数学教学更加关注我们的现实生活，强调用数学解决现实问题。义务教育阶段数学课程内容由“数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践”四个领域组成，前三个领域学习数学核心内容和基本思想，而“综合与实践”则不同，它以培养学生综合运用所学知识和方法解决实际问题的能力为目标，通过数学实践活动积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力。因此，落实好“三会”，正是要培养会解决问题的学生，发展学生运用数学知识与方法发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力（简称“四能”）。鉴于以上分析，笔者依托学生社团开展“综合与实践”主题活动教学，以期为教师教学提供参考。

二、主题活动教学设计

“纸折正五边形”活动主题源自人教版八年级下册的“数学活动”，涉及的思想方法分散在八年级上册、八年级下册和九年级上册三本书四个章节中。而本次“综合与实践”主题活动，通过“纸折正五边形”把它们整合起来，基于问题解决设计成“纸折正五边形”活动方案（见表1）。

张紫屏认为，问题解决是在质疑与试错的过程中，通过批评与反思来监控和调整解决问题的过程［3］。何睦认为，问题解决是学习的一种方式与手段，学生通过问题解决自主建构数学知识结构，掌握数学研究的一般方法，获得基本数学活动经验，进而提升数学核心素养［4］。基于问题解决的理念，为尽可能减少学生自主探究的盲目性，提高探究性学习的可行性和有效性，依据义务课标“主题活动的设计可以考虑问题引领的方式”的建议，笔者借鉴透明纸折叠和对打结动作的逆向分析，根据折叠和拆解顺序设计活动方案［5］。除了要求学生动手折叠，笔者还利用几何画板模拟透明纸折叠五边形纸结，画出虚线，标注字母，方便演示和表达。

三、教后思考与实施建议

（一）教后思考

1.从教材中确立“综合与实践”学习主题

义教课标指出，“综合与实践”主要以主题活动教学和项目学习教学的形式进行，其学习的关键是发掘合适的学习主题和项目，确立的主题不仅要关注问题是否是现实的，还要关注问题是否综合，学生是否能够解决等。那么，学习项目的主题如何确立？笔者认为，确立主题要特别注意贴合性，与教材贴合，与学生贴合。比如，教材中“实验与探究”“阅读与思考”“观察与猜想”“数学活动”，包括习题最后的“拓广探索”等栏目都是确立学习主题的素材源。

2.明确探究“纸折正五边形”的数学教育价值

学生折叠、探究对称图形彩色幸运星（正五边形纸结的变形）具有以下教育价值。

（1）欣赏正五边形的对称性，感悟探究的乐趣和数学的优美

正五边形与圆有着密切的关系，既是轴对称图形，又是中心对称图形。用透明塑料纸折叠正五边形能非常清晰地看到五角星。纸结中有美学黄金分割比，隐藏着菱形、特殊的等腰三角形和等腰梯形等图形。学生探索的过程是在不断经历、体验思考的乐趣，欣赏纸折正五边形的奇异美和纸结的对称美。

（2）严谨证明纸结是正五边形，提升数学思维和数学应用意识

折叠五边形纸结突出了“拉紧、压平”，其目的是让学生从生活情境中抽象出数学模型。这个探究过程首先要求学生把纸结平面化，能抽象出五边形、三角形、平行四边形（菱形）等基本图形，然后运用数学基本模型的性质，经过推理论证，最终证明纸结是正五边形。

（3）在数学活动中积累数学活动经验，发展数学核心素养

这节课学生研究的现实世界是五边形纸结。教师通过学习活动单，引导学生用几何直观和数学抽象等数学的眼光观察五边形纸结，用模型思维和推理论证等数学的思维思考五边形纸结，用基本图形和数学符号等数学语言表达、证明正五边形纸结。“三会”数学核心素养蕴含在数学活动中，只要过程做好了，学生真正参与了，获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本经验便能水到渠成。

（二）实施建议

“综合与实践”可以认为是数学建模的起始，具有思维含量的主题问题和台阶问题能够充分调动学生利用所学知识设计问题解决策略，不仅能让学生“知其所以然”，还能激发学生思考“知其若不然”。因此，教师应根据教学内容挖掘教材资源，科学设计，适当拓展。根据教学实践和学生的反馈，笔者提出以下实施建议。

1.基于问题解决设计问题链

选好学习主题后，教师要基于问题解决设计问题链（有序的主干问题序列和数学学习框架），利用主干问题及其关系驱动学生冷静思考、充分表达，体现思维脉络［9］。对于有难度的学习主题，每个问题要设置适切的提示性问题，比如学习活动单中的“活动3：两个四边形”的问题，通过架桥搭台，引导学生拾级而上。

2.活动方案最好提前分阶段布置

提前一周布置“课前活动主题”，让有能力或愿意钻研的学生有充足的时间自主探究。提前两天发任务单，提前一天收任务单。教师批阅、记录、分类，把证法相同或思路类似的学生分成一组，在课堂实施时以小组为单位展示研究成果，这样既提高了课堂效率，又使得学生分享具有多样性和代表性。

3.培养学生学会规范的数学表达

学习是输入，终究还要输出。因此设置“阅读与写作”任务正是为了培养学生规范的数学表达。主题学习不仅要“想清楚”“说明白”，还要“写规范”，才能促使学生深度理解。当然，实施时要循序渐进，从三言两语开始写起，吾手写吾心，写真实的所学、所思、所得。为此，笔者设计了“文章结构提示图”（如图1），要求学生先学习范文，然后根据提示问题仿写。

四、結语

“综合与实践”主题活动教学能引导学生进入真实的现实世界情境，沿着问题链的导引，综合利用观察、猜想、实验、计算、推理、验证、数据分析和直观想象等进行质疑与试错、批判与反思、监控与调整，从而激发学生在问题解决中对所学的知识再认识、再理解，积累数学活动经验，体会数学思想方法的魅力，最终在问题解决中让学生学会解决问题。正如常文武博士所言，如果说学生通过日常做练习题提升解题能力像是小狮子玩耍大狮子抓来的小兔子锻炼捕猎能力，那么，这次探究“纸折正五边形”则是小狮子有计划、有合作地捕获一只羚羊的实战，激发其捕猎欲望，锻炼独立生存的关键能力。因此，以问题解决为导向的“综合与实践”是落实“三会”数学核心素养的抓手，将会成为今后的研究热点。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］史宁中.《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订与核心素养［J］.教师教育学报，2022（3）：92-96.

［3］张紫屏.论问题解决的教学论意义［J］.课程·教材·教法，2017（9）：52-59.

［4］何睦.美国数学教育的发展动向：基于“问题解决”标准的内涵发展［J］.中学数学月刊，2021（4）：7-9.

［5］常文武.“五边形结”的探究课［J］.数学教学，2016（3）：19-20.

［6］姜伯驹.纸条平结与正五边形［J］.数学通报，2021（3）：1.

［7］汪凡力.纸条打个结 结成了一个正五边形［J］.中学数学，2006（7）：36.

［8］波拉索洛夫 B B.中学数学奥林匹克平面几何问题集及其解答［M］.周春荔，张同君，等译.长春：东北师范大学出版社，1988.

［9］唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的理论与实践［M］.上海：华东师范大学出版社，2021.

（责任编辑：陆顺演）