芮金芳

【摘 要】尺规作图是研究几何问题的一种重要方法。尺规作图作为《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域中新增的内容，在小学阶段数学学习中具有重要的育人价值。研究者结合教学实践，从三个维度阐述尺规作图的育人价值，即借尺规作图实现操作与想象的嫁接，借尺规作图实现猜想与推理的融合，借尺规作图实现思想与文化的浸润。

【关键词】尺规作图；想象推理；文化浸润；育人价值

尺规作图是研究几何问题的一种重要方法，它有着悠久的历史，曾对数学学科的发展产生了十分重要的影响。尺规作图不是简单地应用直尺和圆规来画几何图形，而是一种只使用无刻度的直尺和圆规，并且只准使用有限次来解决不同的平面几何作图问题的直观操作方法，又称为初等几何作图或欧几里得作图。

尺规作图作为《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）中的一个全新内容，对教师的教和学生的学来说具有一定的挑战性。部分教师在尺规作图教学上存在一些认知上的误区，比如，对尺规作图的教学目标把握不精准，对尺规作图的教学价值认识不够，对尺规作图教学的展开方式模糊不清。他们往往急于让学生掌握作图的方法，忽略对知识承载的育人价值的领悟和数学思想方法的渗透。因此，明晰新课标中对尺规作图教学的新要求，凸显课程内容丰富的育人价值，对提升学生的数学学科核心素养具有重要意义。

一、借尺规作图实现操作与想象的嫁接

新课标在“图形与几何”领域明确提出从第二学段（3～4年级）开始将尺规作图内容引进课程学习范畴，具体分布情况见表1。

尺规作图是典型的“做中学”“创中学”学习样态。作图过程中的两大作图工具功能各不相同，直尺的主要功能是连接两点之间的线段，或经过两点画直线和射线；圆规的主要功能是画圆或画弧，也可以截取等长的线段。这种由学生实际动手操作的学习过程，将原本数学上抽象、乏味的符号知识转换成直观的、能够让学生具身参与的操作知识，帮助学生更好地理解数学，利用几何直观把复杂的数学问题变得简明、形象，培养学生的空间观念、几何直观及动手操作能力。如在教学用尺规作图画一个三角形时，教师可以提供一组线段（如图1），提出核心问题：“你能不能借助尺规工具，用给定的三条线段画一个三角形？”

学生利用尺规工具在多次试画过程中会发现，当确定任意一条线段为三角形底边时，就确定了三角形的两个顶点，但在画三角形另外两条边时，会出现无法相交的情况（如图2），于是，学生会将思考聚焦到“如何确定三角形的第三个顶点”这一关键问题上来。

学生再次动手实验，从不同角度尝试探究，试图找到确定三角形第三个顶点的作图方法。教师及时展示两种典型方法：一是多次调整两条边的位置，找到它们相交的点，也就是三角形的第三个顶点（如图3）；二是先用圆规量出线段a的长度，以底边线段c的一个端点为顶点画一条弧，用同样的方法量出线段b的长度，以底边线段c的另一个端点为顶点再画一条弧，两条弧相交于一点，再用直尺把这个交点和线段c的两个端点分别相连，就画成了一个三角形（如图4）［2］。

在两种不同作图方法的比较辨析中，学生逐步发现，如果把第一种作图方法中不断调整两条边位置所形成的零散的点连起来，恰好就是第二种作图方法中两条弧形成的轨迹（如图5）。学生在不断尝试、思考、调整、想象、交流中，总结出两种作图方法之间的共同点，由此确定三角形第三个顶点的位置。学生完整经历“不断尝试—实验操作—多次调整—大胆想象—建构方法”的学习过程，逐步体会构造三角形的关键步骤，即通过两弧交点来确定三角形的第三个顶点。在有形的实验操作和无形的思考想象中，学生丰富了對三角形基本特征的认识。同时，在深度思考解决几何问题的过程中，学生感悟到尺规作图的独特价值和意义，发展了直观洞察力和空间想象力。

二、借尺规作图实现猜想与推理的融合

数学是一门培养思维能力的学科。史宁中教授指出，会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（“三会”）是发展学生核心素养，体现数学课程育人价值的最终目标。其中会用数学的思维思考现实世界的实质就是推理。推理意识是小学阶段发展学生核心素养的关键词之一，对发展学生数学核心素养具有重要作用。

在实际教学中，很多教师会把尺规作图的教学目标定位在学生是否理解、掌握作图的方法上，往往忽视作图中几何推理的重要价值，致使学生出现知其作法，而不明其理的情况。在教学过程中，教师应引导学生思考如何用尺规工具作图。首先，要明确作图对象是什么，作图的关键点在哪里，能初步想象出通过尺规工具画的草图；然后，要厘清尺规作图的具体步骤和操作方法；最后，将作图的过程有条理地表达出来，同时思考这样的作图方法是否正确，得出的结论是否合理，抽象概括出的一般化规律是否适用解决一类相关的数学问题。这样的作图学习是一个观察、想象、操作、推理、验证、反思的全过程，符合学生的认知规律，有助于培养学生的推理意识、创新意识和探索性思维。

如在教学用尺规作图探索三角形三边关系时，教师可以突破以往提供小棒等材料，让学生动手操作围一围、量一量、算一算方法的限制，引入尺规工具作为实验探索工具，提供一组结构化的实验材料，根据三角形的图形特征引导学生先提出实验猜想，再借助尺规工具进行实验验证。

问题 下面哪三条线段能围成一个三角形？用尺规工具画一画（如图6）。

教师呈现四组典型的实验资源（如图7），基于“能围成”和“不能围成”两个维度，让学生思考“究竟怎样的三条线段才能围成一个三角形”。学生作图并交流。

学生依据实验资源，在完整的作图实验过程中，从初步感知“两条线段的长度和小于或等于第三条线段时，不能围成三角形”到发现“延长两条短边，使它们的弧能产生交点，就能围成三角形”，充分经历了想象、作图、思考、验证、说理的学习过程。通过“眼见为实”的具象实验操作，到无限延长的直观想象，再到有根有据的推理思考，学生对三角形三边关系的认识更加全面、清晰、深刻。在尺规作图的图像语言、符号语言、数学语言的三重转换下，学生根据几何直观、几何解释深入理解了几何推理的过程。这种先直观、后推理的方式，让学生以作图作为认知载体，从“法”与“理”两个维度展开思辨，真正达到通过数学学会思考的目的，培养学生的数学理性思维和推理意识，使学生形成数学思考与迁移的能力。

三、借尺规作图实现思想与文化的浸润

新课标指出，数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。尺规作图由于其鲜明的历史背景，决定了背后蕴藏着丰富的文化要素。重申尺规作图的文化价值，显得尤为重要。

1.逻辑探源：从数学高观点视角分析

尺规作图与图形运动有着密切的关联。从逻辑上看，尺规作图作为图形变换的一种手段是成立的。以“作一条与给定线段长度相等的线段”为例，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中要求学生学习时先用刻度尺测量给定线段的长度，再根据长度用刻度尺画出等长的线段。很显然，这样的作图方法严格意义上是“两条线段的长度近似相等”，与数学的严谨性和准确性不吻合。新课标中提出用尺规画一条线段（A′B′），使它的长度和已知线段（AB）相等。具体作图过程可以归纳如下。

第一步：画点A′，用无刻度尺画一条以A′为端点的射线。

第二步：把圆规张开，使得两脚之间量出的长度等于线段AB。

第三步：以射线的端点A′为圆心，以已截取的线段AB长为半径画弧，交射线于一点，标出点B′。这样，与线段AB等长的线段A′B′就完成了（如图8）。

这个作图过程体现了线段的两种“运动”，其中，第二步用圆规在射线上截取与线段AB等长的线段，可以看作是平移；第三步用圆规在射线上画弧的过程，其实质是旋转变换。这些作图方法为学生进入初中后，深入学习几何图形的性质、定理及运用提供了重要的思想基础。这也体现了新课标中课程内容的一致性和结构性。

2.文化探源：从数学审美视角分析

数学的发现和发明既是审美的过程，也是塑造美的過程。在小学阶段新增尺规作图内容，不仅体现课程内容的整体性、结构性和连贯性，凸显其内在精美的数学思维，即思维的变通性、直觉性和概括性，还能引领学生感受尺规作图中数学思想方法的统一美、作图形式的结构美、严密推理的严谨美、作图痕迹的简洁美、细致操作的精准美、图形转换的和谐美、多样表达的创造美，彰显数学独有的文化魅力，培育学生的数学品格。

小学阶段引入尺规作图对培养学生的几何直观、空间想象、推理意识具有重要的价值。因此，教师在教学中不仅要让学生学会尺规作图的方法，实现从直观认识到抽象推理的蜕变，形成初步的推理思辨能力，而且要让学生感受数学方法的精妙，体会数形结合思想的深远，在浩瀚的数学历史长河中，感受数学先辈的精神智慧，了解数学发展的实践创造，形成良好的数学审美直觉，落实数学学科核心素养，真正发挥小学数学尺规作图教学的育人功能。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022．

［2］孙晓天，张丹.义务教育课程标准（2022年版）课例式解读小学数学［M］.北京：教育科学出版社，2022.

（责任编辑：罗小荧）