数学文化试题的内涵、溯源及运用

2022-05-30张浩

中小学课堂教学研究 2022年11期

张浩

【摘要】随着课程标准及高考评价体系的颁布，数学文化试题在高考数学中受到广泛关注。文章从知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐和多元文化五个维度对两道与圆有关的高考数学试题的内涵进行分析，追溯其背景，并以这两道题为例对数学文化试题的赏析和运用进行阐述。

【关键词】数学文化；数学文化试题；高考数学；割圆术；会圆术

数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出数学文化包括数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动［1］，并在命题原则中指出融入数学文化。在中国高考评价体系中，数学文化与理性思维、数学应用、数学探索一同作为高考数学学科的四大学科素养。近年来，高考数学试题在渗透数学文化方面做出了示范，关于数学文化试题的研究也受到广泛关注。

数学文化的内涵丰富多彩，汪晓勤教授和余庆纯博士基于数学史将数学文化内涵分为五个维度——知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐和多元文化。知识源流指的是在某个知识点的历史演进过程中，涉及的人物与事件、概念与术语、问题与求解、命题与证明等；学科联系指的是数学与其他学科之间的密切联系；社会角色指的是数学在人类生活、科学技术、社会发展中的价值、贡献与意义；审美娱乐指的是数学美（包括对称美、奇异美、简洁美、统一美等）与趣味数学，展现出人类对美学标准、智力好奇、趣味娱乐的追求；多元文化指的是不同时期、不同文明、不同地域的数学家在同一数学课题上的贡献，以及与数学相关的人文活动。［2-4］

圆是能展现数学之美、体现数学文化的一个代表。在古代文明中，都可以找到对圆所蕴含的数学知识的探索，如圆（或圆弧、扇形等）的周长、面积或圆周率等。与圆、圆周率有关的试题在高考数学试卷中曾多次出现，如2010年湖北卷理科第7题、2017年浙江卷理科第11题、2020年北京卷第10题的命题背景与“割圆术”有关，2012年湖北卷理科第10题、2014年湖北卷理科第8题、2016年全国Ⅱ卷理科第10题与圆周率的近似值有关，2022年全国甲卷理科第8题的命题背景是“会圆术”。这些素材弘扬了我国优秀传统文化，有助于提高学生的数学素养。

本文借鉴上述分类框架对其中两道与圆有关的数学文化高考试题的内涵进行分析，并对其中涉及的数学内容进行溯源，最后对数学文化试题的赏析和运用进行简要阐述。

一、两道与圆有关的数学文化试题的内涵

例1 （2020年北京卷第10题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（[π] Day）。历史上，求圆周率[π]的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似。数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2[π]的近似值。按照阿尔·卡西的方法，[π]的近似值的表达式是（）

A. 3n[sin30°n+tan30°n]

B. 6n[sin30°n+tan30°n]

C. 3n[sin60°n+tan60°n]

D. 6n[sin60°n+tan60°n]

该题的数学文化内涵丰富，以全球首个国际数学日为背景，结合中国优秀传统数学文化中的“割圆术”及数学家阿尔·卡西计算圆周率的方法，引导学生感悟数学“近似计算”之美，将美育教育融入数学教育。

从知识源流方面来说，自古以来，圆周率及其计算就是数学家们研究和探索的关注点。该题以数学史作为试题背景，介绍了中外历史上求圆周率近似值的两种不同方式，提及了中国古代数学中的“割圆术”，其源頭在刘徽注《九章算术》中，而阿尔·卡西的算法源自其著作《论圆周》，这两部著作在数学史上都具有重大意义。许多著作对“割圆术”进行了详细的介绍［5-9］。

从社会角色方面来说，该题介绍了国际数学日。2011年3月14日，国际数学协会宣布将每年的3月14日设为国际数学节。2019年11月26日，联合国教科文组织在第四十届大会上正式宣布将每年的3月14日定为国际数学日。该项目由国际数学联盟（IMU）发起，每年确定一个主题，并号召全球在3月14日围绕主题组织各项活动来庆祝数学带来的乐趣。2020年3月14日是首个国际数学日，其主题是“数学无处不在”，2021年国际数学日的主题是“数学让世界更美好”，2022年国际数学日的主题是“万物皆数”。

从审美娱乐方面来说，圆本身就极具美感，内接正多边形和外切正多边形具有对称之美，在计算过程中还有相似之美，而刘徽的“割圆术”——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”展现了极限之美，阿尔·卡西用高超的运算能力构造新的迭代算法，展现了计算之美。

从多元文化方面来说，该题指出了中国传统数学由公元3世纪刘徽创立的“割圆术”与数学家阿尔·卡西计算圆周率的方法，既弘扬了中国传统文化，又引导学生关注世界，学习世界灿烂的数学文化。阿尔·卡西的方法是用多边形的周长来逼近圆的周长从而计算圆周率的近似值，阿基米德也利用类似“割圆术”的方法借助多边形的周长来求圆周率的近似值，而刘徽创立的“割圆术”是用圆的内接正多边形面积来逼近圆的面积从而计算圆周率的近似值，这也反映出在中国古代的几何学中，重视考虑图形的面积是一个突出的特点。数学史专家卡尔·博耶认为阿尔·卡西在求[π]的过程中使用的求解高次方程的方法可能源于中国。此外，从圆周率近似值的计算精度来看，阿尔·卡西在约1000年之后首次打破了由祖冲之计算出[π]为3.1415926的记录。可惜的是，公元5世纪祖冲之所用的求法已经散佚，李俨、钱宝琮等数学史学家认为可能采用与刘徽“割圆术”相仿的办法。［10］阿尔·卡西得到[π]的近似值首先是用六十进制分数表示的，后来将其转化为十进制小数。十进制小数是中国的传统，六十进制分数则代表了巴比伦—希腊传统［11］，这也反映了不同文化之间的联系。

例2 （2022年全国甲卷理科第8题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图1，[AB]是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在[AB]上，CD⊥AB。“会圆术”给出[AB]的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+[CD2OA]。当OA=2，∠AOB=60[°]时，s=（）

该题以中华优秀传统文化为试题情境，具有积极的价值导向，考查了学生对数学基础知识的理解与应用能力，让学生领略中华民族的智慧和数学研究成果，对数学应用形成更深刻的认知，并能进一步帮助学生树立民族自信心和自豪感［12］。

从知识源流方面来说，该题介绍了北宋时期科学家沈括在其晚年撰写的科学巨著《梦溪笔谈》中的一个数学贡献——“会圆术”，并给出了“会圆术”的现代表述。“会圆术”是从计算田亩出发，考虑了圆弧、弦、矢的关系，提出了我国数学史上第一个由弦和矢求弧长的简单实用的近似公式。

从学科联系方面来说，“会圆术”源于实际土地测量，有较大实用价值，且在天文计算中得到了应用，是王恂、郭守敬进一步探索圆、弧分割，开辟通往球面三角学的起点。元代郭守敬在《授时历》中使用的“弧矢割圆术”就用到了“会圆术”。

从社会角色方面来说，沈括所著的《梦溪笔谈》被誉为中国科学技术史上的坐标，内容丰富，包括天文、历法、数学、音乐、物理、化学、生物、地理、地质、气象、建筑、水利、医学、军事、科技发明等。在数学方面，他从实际出发，创立了“隙积术”“会圆术”，并且这两个数学发现出现在同一个笔记中。沈括影响了宋元数学的普及和提高，他创立的“隙积术”是杨辉、朱世杰发展高阶等差数列求和的高次招差法的开端。

二、两道与圆有关的数学文化试题的溯源

1. 重访阿尔·卡西的算法

2020年北京卷第10题介绍了阿尔·卡西计算圆周率的方法，那么他到底是怎样计算圆周率的？阿尔·卡西在计算圆周率时是否使用了三角函数？他把圆周率计算到多少位有效数字？在回答这些问题之前，我们首先简单了解一下这位数学家。阿尔·卡西是15世纪初伟大的数学家，对数学和天文学都做出了重要的贡献。值得提及的是，他于1427年撰写的著作《算术之钥》中也出现了大家熟知的“贾宪—杨辉三角”，并且在历史上首次给出了余弦定理的现代表述。

阿尔·卡西在其1424年完成的著作《论圆周》中，使用单位圆中互为相似的圆内接正3[×]228边形和外切正3[×]228邊形的周长的算术平均值作为单位圆周长的近似值，这个值是[2π]的近似值，其计算过程依赖于一个迭代公式和开方算法，并非直接使用正弦函数和正切函数。在该书的第8节，阿尔·卡西给出了[2π]的近似值（6.2831853071795865）除以2得到圆周率[π=]3.1415926535897932，精确到小数点后16位。他给出的这个近似值比之前的数学家给出的更为精确，他还使用六十进制和十进制的形式给出了[2π]的近似值。

在西方，阿基米德就使用圆内接多边形和圆外切多边形的周长逼近圆周的方法来计算圆周率的近似值。与阿基米德不同的是，阿尔·卡西用几何方式得到一种新的迭代算法，用现代符号表述如下。

如图2，已知圆的直径为AB，O为圆心，G0为半圆[AB]上一点，G1是弧[G0B]的中点，记半径为r，则有AG12=r（2r+AG0）。

如图3，若G2是弧[G1B]的中点，G3是弧[G2B]的中点，G4是弧[G3B]的中点，…，如此可以一直继续下去使得Gn无限逼近点B，且弦AG1，AG2，AG3，…依次求出。在阿尔·卡西的著作《论圆周》中，迭代运算是从圆内接正6边形开始的。首先设弦AG0是圆内接正6边形的一条边，在半径为r的圆中，AG0=r，由此可用上面的方法依次迭代求出AG1，AG2，AG3，…的长度。如图4，BG0，BG1，BG2，…恰好是圆内接正三角形、圆内接正六边形、圆内接正十二边形…的边长，这可以通过勾股定理得出，将其乘以边数就得出圆内接正多边形的周长。当Gn无限逼近B时，相应的内接正多边形的周长越接近圆的周长。

根据阿尔·卡西的著作，他预设了所要求的圆周率的精度要求，即若有一个直径为地球直径600000倍的假想圆，使得通过此直径所求得的圆周长与真实值之间的误差小于一根马鬃的粗细。通过推算，阿尔·卡西得到如果用半径为1的单位圆计算出满足上述要求的圆周率必须精确到六十进制分数值的第9位，即60-9（相当于10-16），在计算单位圆的内接正3[×2n]边形的边长[22-2+…+2+32]时，阿尔·卡西指出得到每次开方都需要精确到60-18，随后连续进行28次开方运算，相当于利用正3[×228]边形来逼近圆周［13］。

我们可以追随阿尔·卡西的算法思想，借助现代计算工具计算[π]的近似值，体验数学再发现的乐趣。通过Python3进行编程，在十进制下，因为lg60-18=-18lg60[≈]-32.006，所以每次开方需要的精确度为小数点后33位。当n=28时，程序给出的运算结果为3.141592653589793221349237925199738，

小数点后前16位均正确，与阿尔·卡西给出的结果[π][≈]3.1415926535897932一致。

尽管用这种方法求圆周率近似值的效率比不上使用收敛级数算法的效率，但从历史上看，圆周率的级数表达在16世纪末才由韦达首次提出，而阿尔·卡西的算法是利用经典几何与精巧开方算法进行计算的集大成者。这里依据史料用现代数学语言对算法的原理进行了“再创造”，借助信息技术重现了迭代算法。在教学中，教师可以带领学生对类似问题进行探究，让学生体验数学再发现的乐趣，积累基本活动经验，引导学生初步感受数值逼近这一数学思想，感悟学科魅力。

2.重访沈括的“会圆术”

我国古代对圆的研究有辉煌的成就，沈括的“会圆术”给出了求弧长的近似公式，为我国古代数学增添了新的光彩。“会圆术”给出的近似公式是如何得到的呢？我们先看以下内容。［14］

……履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术。凡圆田既能拆之，须使会之复圆。古法惟以中破圆法拆之，其失有及三倍者。予别为拆会之术：置圆田，径半之以为弦；又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为句；倍之，为割田之直径。以所割之数自乘，倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。再割亦如之，减去已割之弧，则再割之弧也。假令有圆田，径十步，欲割二步，以半径为弦，五步自乘得二十五，又以半径减去所割二步，余三步为股，自乘得九，用减弦外，有十六，开平方，除得四步为句，倍之，为所割直径，以所割之数二步自乘为四，倍之得为八，退上一位为四尺，以圆径除。今圆径十，已足盈数，无可除，只用四尺加入直径，为所割之孤，凡得圆弧八步四尺也。再割亦依此法。如圆径二十步，求弧数，则当折半，乃所谓以圆径除之也。

此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。

上述文字可分三节：第一节是介绍“会圆术”的研究背景，第二节是叙述“会圆术”，第三节是给出“会圆术”的一个例子。

如图6，所割数（弓形的高，即“矢”）为h=CD，圆径（圆的直径）为d，割田之直径（弓形的底，即常说的“弦”）为b=AB，割田之弧为s=[AB]，则“会圆术”得到的两个公式为b=[2d22-d2-h2]，[s≈]b+[2h2d]。沈括在书中没有给出这两个公式究竟是如何得到的，但我们可以推测他的想法如下［15］。

第一个公式b=[2d22-d2-h2]就是勾股定理，在《九章算术》中出现过已知弓形的底（“弦”b）和弓形的高（“矢”h）求圆的直径d的公式d=[b22h]+h，这里考虑的是其“反问题”：已知圆的直径d和弓形的高（“矢”h），求弓形的底（“弦”b）。

第二个公式[s≈]b+[2h2d]的主要思想是以直代曲，考虑弓形ADB，古代这种形状的田地也被称为“弧田”，《九章算术》第一章就记载了计算弧田面积的“弧田术”：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一，即S弓形ADB[≈][12bh+h2]。这个公式是经验近似公式，刘徽给出了这个公式的解释，即用圆内接正十二边形的面积代替圆的面积进行近似计算，假设直径为d的圆的外接正方形的面积为S外，其内接正十二边形的面积为S内，因为S内[∶]S外=3[∶]4（可通过出入相补原理来得到，刘徽在注《九章算术》中提到的“析理以辞，解体用图”正是数形结合方法的思想精髓，图7只给出一种方式），而S外=[d2]，所以S内=[34d2]。

因此，半个内接正十二边形的面积为[12][×][34d2]，这又可以写成[12d×d2+d22]，将弧田近似看作是半圆时，把d当作b，[d2]当作h，就得到了弧田面积的近似公式S弓形ADB[≈][12bh+h2]。当然，刘徽知道这种算法误差较大，他又创造了新的算法，用类似“割圆术”中的极限思想来求弧田的面積。

我们将原文的表述用现代数学语言进行重述，在追溯背后的想法时，不难看出中国古代数学的一脉相承，尤其是可以看到古人对圆的不同角度的认识和应用。此外，我们还能感受到沈括的创新思维：既然知道能从圆割出弓形，由弓形的弦和矢可以计算出圆的直径，那么就可以反过来从圆的直径和弓形的矢求出弓形的弦。他从反面考虑“拆”与“会”的关系，通过逆向思考发现了“会圆术”，对后续的中国古代天文学发展起到了重要作用。

三、数学文化试题的欣赏与运用

1. 欣赏数学文化试题的三阶段

好的数学文化试题如夜空中的星光，倘若投射在“题海”中，会愈发显得明亮而耀眼。犹如康德的认识三阶段，欣赏这些试题也有不同层次的意趣。第一层是感性：直观了解、感受其中的数学文化事实，对所涉及的背景有初步认识，是认识下一层次的基础；第二层是知性：运用数学思维对材料进行推理分析，对其中的数学原理或背景有较深入的认识，能解决题目中的问题，这一层也是此类试题的考查重点；第三层是理性：这是更高一级的认识，与以有限的和有条件的事物为对象的知性所不同，理性以无限的和无条件的事物为对象，它具有穷根究底的本性，这一层次意味着要主动探究文化背景中深层次的内涵，在探究时可以向各方向延伸，能发现和提出新的问题，并能通过质疑、反思，运用批判性思维、创造性思维等分析问题和解决问题，从而对相关的数学文化形成更全面的认识，感悟其科学价值、美学价值、人文价值，这也是数学教育的一项重要任务。而这正是数学文化最主要的内涵［16］——一种理性思维方式在实践过程中的不断探索，形成的数学史、数学精神及其应用。

一些赏析数学文化试题的论文大多偏向于对试题特征的分类统计，对试题的评析多与解题相关，提及的背景比较简略，对涉及的数学文化内涵的认识还有待加深，多处于感性和知性阶段。部分师生会误认为数学文化试题中的数学文化仅是“穿靴戴帽”“贴标签”，去掉它们也不影响解题，进而轻视题目背后的深刻用意。希望前文对这两道与圆有关的数学文化试题的内涵阐述和溯源能启发大家将欣赏数学文化试题的感性和知性上升为对其丰富内涵的理性思考。

2.对运用数学文化试题的思考

数学文化要从多个方面融入课堂教学和评价等环节。课堂教学中运用数学文化试题，在认识上要避免“狭隘化”，不能“重解题、轻素养”；在教学设计时避免“点缀化”，不要把数学文化当成识记的知识或仅有图片、故事的“点缀”；在设计活动时避免“孤立化”，类似的问题可以整合在一起呈现，课堂上未解决的问题也可以延伸至课后。

教师应精选、研究可供课堂使用的数学文化试题，关注知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐和多元文化五个维度，从感性、知性、理性三个层次鉴赏问题，在阅读文献的过程中积累素材，将背景相似或有联系的内容整合在一起形成专题或单元，整体规划进行主题式学习和探究。在课堂教学时，基于问题创设情境，丰富和拓展数学文化试题的内容，结合教材，将学科知识和技能融入其中，关注其中的数学思想，创新设计“启发式”“开放式”的学习探究问题、活动、任务、项目，供学生经历和体验。此外，还应突破课堂的时空限制，鼓励学生基于试题进行主题化、项目式的学科融合的小组合作学习，通过查阅资料，从各个角度对其中蕴含的数学文化、数学思想和方法进行深入探索。例如，基于阿尔·卡西计算圆周率的题目，教师可以让学生了解阿尔·卡西算法中蕴含的数学思想，用现代数学语言、现代计算工具在短时间内重新经历数学再发现的过程，让学生亲自体验做数学的乐趣，激发学生学习和研究数学的热情，还可以向学生展示中国传统数学和西方数学在计算[π]的过程中经历的演变过程，从而认识到这并非是某个人灵感闪现的结果，了解中外不同地区、不同时期的多元数学文化。在学习弧长公式时，教师可以介绍沈括的“会圆术”，由此可以引出刘徽的“割圆术”等，让学生直观感受我国古代数学家探究问题和解决问题的过程，了解数学发展的进程，帮助学生了解和领悟中华民族独特的数学智慧，体会一代代数学家的追求精神，从而激发学生的学习兴趣，培养学生的创新精神。

四、结语

在题目的探究过程中挖掘数学文化，在知识的学习过程中渗透数学文化，可以让学生消除“数学概念、定理等数学发现都是数学家、数学大师的深邃智慧，普通人無法轻易掌握”的误解。对新颖的数学文化试题进行溯源时，教师应与学生共同研究、互相启发，体验做数学的快乐。希望更多教师关注数学文化试题，充分发挥其育人功能，引导学生欣赏和探索数学，在文化气息中品悟数学味道，提高数学审美，丰富数学想象力，激发数学创造力，提升数学素养。

参考文献：

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