彭 灏，温卫平，张 培，孔璟常

（1.石家庄学院，河北石家庄 050035；2.哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001；3.烟台大学土木工程学院，山东烟台 264005）

引言

近年来，设计地震反应谱研究的热点多集中于对传统意义反应谱表达形式进行优化，不同类型场地中的反应谱的计算以及对传统振型分解反应谱法进行计算精度方面的改进等。Rita等［1］发展了一种基于损伤的非线性谱，考虑了结构损伤以及刚度退化等因素。Alexander 等［2］对反应谱中的震源因素的不确定性进行了研究。曾永平等［3］进行了近断层地震反应谱特性分析研究。韩昕等［4］给出了一种新的设计反应谱表达方式，并提出新的场地相关反应谱的标定方法。李建波等［5］发展了基于包络圆的改进振型反应谱法，并指出该方法用于钢混结构偏心受力构件中，与传统的振型分解反应谱法相比可节省一定的配筋率。肖诗颖等［6］讨论了指数阻尼体系地震反应的振型分解反应谱方法，推导了指数阻尼系统以反应谱表示的地震作用计算公式。

但目前的设计反应谱仅能反映结构峰值反应，无法体现结构反应随时间的变化。文中提出一种线性单自由度体系弹性能量半径演化谱，其峰值与结构的峰值位移反应近似相等，且能体现结构反应随地震持时的变化。在此基础上文中发展了一种计算多自由度线性体系地震反应的方法，与振型组合法及时程分析法的结果对比表明，对振型密集结构，该方法计算简便且较传统的振型组合CQC法更精确，适合抗震设计使用。

1 弹性能量半径演化谱的概念

一个固有频率为ω0，质量为m的线性单自由度体系，其在地震作用下的运动方程为：

将上述方程两边乘以速度，并且对时间进行积分，可得：

式中：c，k分别为结构的阻尼和刚度；˙，u分别为结构的相对加速度，相对速度和相对位移为地面加速度；Ek为结构动能；Eξ为阻尼耗能；Ep为弹性势能；Ei为地震输入总能量，

将此单自由度体系的反应用相位图的形式来表示（也即以位移和速度与固有频率的比值分别为横纵坐标轴），在这样的表示方法下，轨迹上任何一点与原点连线的长度提供了一个弹性结构能量Ee的量度（也就是动能Ek与势能Ep之和），即：

则式（5）可以进一步写成：

整个轨迹中的最大半径r就对应了结构所对应的最大弹性能量级。r由Valles［7］首次定义，并被命名为弹性能量半径。其还指出r与结构能量相关，并具有长度的单位，此外，r的最大值近似等于结构的峰值位移。如图1所示为周期0.5 s，阻尼比5%的单自由度体系在El Centro 波作用下的实际地震反应相位图，弹性能量半径最大值与峰值位移均为0.467 m。

图1 自振周期0.5 s，阻尼比5%的单自由度体系实际地震反应弹性能量半径的变化（图中箭头所示为最大半径）Fig.1 Change of elastic energy radius in SDOF with period 0.5 s and damping ratio 5%（the arrow stands for the maximum radius）

但是，在Valles 的研究中，仅关注了弹性能量半径的最大值，不能反映结构弹性能量随时间的变化。在此基础上，文中提出了弹性能量半径演化谱，可以反映线性单自由度体系弹性能量半径随时间的变化。下面给出利用地震动演化功率谱得到弹性能量半径演化谱的方法。

2 弹性能量半径演化谱的生成

Kameda［8］指出一个单自由度的线性振子受到地震地面加速度随机过程X(t)的激励时，运动过程可表示成式（8）的形式：

采用振子的总能量Q(t)，定义如下的随机过程：

式中：k是振子的刚度，对于阻尼比β0＜＜1的情况，R(t)是一个平滑的时间函数，代表Y(t)的包络过程。

假定地震动演化功率谱密度函数G(t,ω0)与单位脉响函数的衰减段相比是缓慢变化的（Kameda 认为阻尼比在0.05～0.2 范围内，均满足这一假定），因此振子的瞬态响应将被忽略，此时Y(t)的均方值可以写成以下形式：

根据式（10），当单自由度体系满足阻尼比0.05～0.2 的假定条件时，任一时刻结构的地震反应均可以用平稳反应来近似。上文已经提到，R(t)可以看做Y(t)的包络过程，需要注意的是，此包络过程R(t)即是结构在任一时刻的弹性能量半径值。因此，只需计算R(t)的平均值E[R(t)]，就可以得到弹性能量半径演化谱。

对于平稳反应来说，已经证明其包络过程服从rayleigh分布，其均值由式（11）给出：

式中，eR为包络过程的均值。可见，如果已知G(t,ω0)，则可由式（10）计算任意时刻的方差σ2Y(t)，然后代入式（11）即可得到包络过程的均值E[R(t)]，按下式计算：

文中采用了Sugito［9］根据基岩场地地震动记录计算并统计得到的表达式，该表达式可以在给出震级和震源距的情况下估计地震动演化功率谱密度，如式（13）所示：

其中αm(f)，ts(f)，tp(f)是根据震级和震源距拟合出来的参数。由式（12）、式（13）可知，对于一个自然频率为f的单自由度结构，其弹性能量半径在ts(f) +tp(f)时刻达到峰值。

图2给出了周期0.1～10 s单自由度线性体系（阻尼比均为5%）在震源距R=60 km，震级M=7.0级，场地类型为基岩场地的情况下的弹性能量半径演化谱。可以看出，该谱既能反映平均意义上的地震作用下弹性能量半径（结构位移）的峰值，又能体现结构弹性能量随时间参数的变化。

图2 M=7.0，R=60 km，自振周期0.1～10 s，阻尼比5%线性单自由度体系弹性能量半径演化谱Fig.2 Elastic energy radius evolutionary spectra in single degree of freedom system（M=7.0，R=60 km period 0.1～10 s，damping ratio 5%）

图3～图5 分别给出了不同条件下的线性单自由度体系的弹性能量半径演化谱。此时，该谱由三维形式退化为二维形式，仅包含持时和弹性能量半径两个坐标轴。

图3 M=7.0，R=60 km 自振周期0.5，1，2 s，阻尼比5%线性单自由度体系弹性能量半径演化谱Fig.3 Elastic energy radius evolutionary spectra in single degree of freedom system（M=7.0，R=60 km period 0.5，1，2 s，damping ratio 5%）

图4 M=7.0，R=50，60，70 km，自振周期1 s，阻尼比5%线性单自由度体系的弹性能量半径演化谱Fig.4 Elastic energy radius evolutionary spectra of SDOF（M=7.0，R=50，60，70 km，period 1 s，damping ratio 5%）

图5 R=60 km，M=6.0，7.0，8.0，自振周期1 s，阻尼比5%线性单自由度体系的弹性能量半径演化谱Fig.5 Elastic energy radius evolutionary spectra in single degree of freedom system（M=6.0，7.0，8.0，R=60 km，period 1 s，damping ratio 5%）

3 多自由度结构地震位移反应计算

虽然文中弹性能量半径演化谱的推导基于单自由度结构，但是结论可以推广至多自由度体系。根据结构动力学相关知识，某一受地震作用的多自由度体系，其地震位移反应u(t)可以按照振型分解为：

式中，γj、{φj} 、Dj(t)分别为第j阶振型的振型组合系数，振型向量和等效单自由度体系的位移。

目前，我国现行抗震规范［10］中多自由度地震峰值位移反应的计算方法，主要有振型分解反应谱和时程分析法2 种。其中振型分解反应谱法按照振型组合方式又可以分为SRSS 法和CQC 法，其中SRSS 法主要适用于不同振型周期相差较大的情况，对于不同振型周期接近或者存在平动-扭转耦联的情况，则推荐采用CQC法。

若假设所有振型的最大值发生在相同时刻，通过绝对值相加对振型进行组合，这种组合方法过于保守［11］。而弹性能量半径恰好反映了不同振型能量峰值沿时间轴的分布。

根据随机振动理论［12］，由于振型等效单自由度线性体系在地震激励下的反应频率成分比较单一，其结构自振频率ωj组分占绝对优势，因此整个反应历程Dj(t)可看做窄带平稳反应，可根据其包络Rj(t)以及相位θ(t)写成如下形式［12］：

相位θ(t)又可以进一步写成：

式中αj(t)称为相位差，跟Dj(t)相比是慢变的，在整个反应历程当中可看做不变量。因此式（16）可以进一步写成：

上文已经提到，Dj(t)的最大值与Rj(t)的最大值近似相等，假设当t=tm时Dj(t)取得最大值，根据（15）可知此时Rj(t)也必然近似取得最大值，也即简谐运动项的值近似为1，此时令：

从而可以得到：

因此，

式中tm可取为弹性能量半径演化谱峰值时刻，即tm=ts+tp。

将式（20）代入式（14）即可得利用弹性能量演化谱计算多自由度体系的地震位移反应的方法式（21），根据式（21）即可求得峰值位移反应，

4 计算示例

（1）某位于基岩场地的3层框架结构，质量和刚度分布均匀，各振型周期、振型参与系数见表1，试确定其在震级M=7.0，震源距R=50，60，70 km的平均地震作用下顶点的峰值位移反应（假设各振型阻尼比均为5%）。

表1 3层框架结构振型数据Table 1 Modes data of 3-floor frame structure

按照现行抗震规范，此类结构采用SRSS 法或弹性能量演化谱法（以下简称演化谱法）进行计算时，将前3 阶振型进行组合，所采用的演化谱如图2 所示，并按照各振型等效单自由度体系位移峰值与弹性能量半径峰值相等计算。2种方法计算结果同列于表2。

表2 3层框架结构计算结果汇总Table 2 Calculation results summary of 3-floor frame structure

结果显示，3种工况下演化谱法的计算结果均与SRSS接近，误差均在±5%以内，这也间接证明了演化谱法的正确性。

（2）某位于基岩场地的7层质量刚度分布不均匀的框架结构，各振型周期十分接近，各振型周期、振型参与系数见表3，试确定其在震级M等于7.0、8.0，震源距R分别等于50，60，70 km 共6 种工况下的顶点峰值位移反应（假设各振型阻尼比均为5%）。

表3 7层框架结构振型数据Table 3 Modes data and of 7-floor frame structure

本算例采用CQC 法，演化谱法以及时程分析法进行计算结果对比。按照现行抗震规范，采用CQC 法或演化谱法计算时将前14阶振型组合，所采用的演化谱如图2所示，并按照各振型等效单自由度体系位移峰值与弹性能量半径峰值相等计算。CQC法相关系数的计算参照规范相关规定。

时程分析法同时选取3 条人工地震波和4 条实际地震波进行计算。实际地震波选用El Centro（1940），San Fernando Pocoima Dam（1971），Mexico city（1985），Northridge（1994），并根据基岩场地条件下震级、震源距和峰值地面加速度的对应关系，将峰值地面加速度进行统一调整［13］。根据参考文献［9］中给出的方法，以各种工况下的基岩场地地震动演化功率谱作为目标功率谱，并利用其生成人工地震波。

所选用地震波的峰值地面加速度（PGA）如表4所示。计算结果同列于表5。结果显示：

表5 7层框架结构计算结果汇总Table 5 Calculation results summary of 7-floor frame structure

（1）各工况下演化谱法计算结果均明显大于CQC法，且结果误差较稳定。

（2）演化谱法计算结果较CQC 法更接近于时程分析法，对M=7.0 的3 种工况，演化谱法计算结果与时程分析法十分接近，但对M=8.0的3种工况，演化谱法计算结果较时程分析法，尚有一定误差。这主要是由于，M=8.0 所对应的3 种工况，人工地震动的峰值地面加速度明显小于实际地震动的峰值地面加速度（见表4）。由于所采用的地震动演化功率谱的模型误差，此3种工况下，人工地震动取得与实际地震动相当的峰值地面加速度十分困难。实际地震动所取的峰值地面加速度较大，直接造成了此3 种工况的时程分析法位移计算均值也偏大，从而造成了较大的计算误差。

表4 计算用地震波峰值加速度Table 4 Peak ground acceleration of seismic wave for calculation

（3）总体而言，演化谱法计算精度远高于CQC法。

5 结论

（1）提出了弹性能量半径演化谱，用于描述地震过程中结构弹性能量随时间的变化，该谱可反映平均意义上线性多自由度体系各振型能量达到峰值的时间差异。

（2）利用演化谱发展了多自由度体系地震位移反应计算方法，对于质量刚度分布均匀结构（振型稀疏结构），该方法计算结果与振型SRSS 组合法相同；但对于质量刚度分布不均匀结构（振型密集结构）而言，与传统振型组合CQC法相比，该方法计算结果与时程分析法更为接近，准确性明显提高。

（3）文中的弹性能量半径演化谱是利用基岩场地的地震动演化功率谱得到的。同理，若已知其它场地类型的地震动演化功率谱，则同样可通过文中提供的方法，得到该场地类型下的弹性能量半径演化谱.由此可见，采用准确合理的地震动演化功率谱模型是利用本方法获得较好计算结果的关键。