周卫东

摘要：好的课堂教学应表现为材简而意赅，在“留白”的意境中通透知识、建立联结、感受应用。比如，《倍的认识》一课用一幅情境图贯穿，《圆的面积》一课用一张图形纸串联，《比萨的故事》一课用一个生活故事引领。这样的课堂，具有“走向兒童”“朝向审美”的特点。

关键词：教学素材;留白;核心素养;倍的认识;圆的面积

相传，宋徽宗设立国画博士院后，常以考画取士。一次，他出了一道“竹锁桥边卖酒家”的考题，不少考生竭精伫思，画的是密密麻麻的一座座酒肆，纤毫毕现，但结果都落选了。唯李唐一人，不在描绘酒店上下功夫，只在桥边竹林中画一竿酒旗，迎风招展，结果却金榜题名。这是因为李唐的画作采用了“留白”的手法，收到了“于无画处皆是画，卷有尽而意无穷”的艺术效果。

类比李唐的画作，在我看来，好的课堂教学应表现为材简而意赅，在“留白”的意境中通透知识、建立联结、感受应用。

一幅图一节课

最近，我执教了一节《倍的认识》公开课，引起了全国同行的好评与热议。

《倍的认识》是各版本小学数学教材都有的一节种子课。教材中使用的素材可谓琳琅满目：“蓝花、黄花与红花”“红带子与绿带子”“白球与彩球”“圆形、三角形与正方形”“男女生跳绳”……形式在不断地变化。如果不加甄选与加工，学生的思维就只能在同一层面打转，没有多少增值，因而学习的收获甚微。在这样的对比与思考下，我尝试利用苏教版教材（三年级上册）中的一幅情境图（见图1）贯穿整节课，设计了新的教学途径。

第一层次：围绕“蓝花有2朵，黄花有6朵”展开，引导学生通过画一画、算一算等方法明晰“倍”的基本含义。

第二层次：围绕“蓝花有2朵，红花有8朵”展开，进一步深化学生对“倍”的理解;同时进行变式练习，拓展到4倍多1、5倍、5倍多1、6倍……使学生的理解得到进一步深化。

第三层次：围绕“黄花有6朵，红花有8朵”展开，引导学生思考“黄花的朵数和红花的朵数为什么没有倍的关系”，继而解决“怎样才能使黄花的朵数和红花的朵数具有倍数关系”。这是本课教学最精华的部分。

学习数学，知道“是什么”并不难，证明“为什么”很重要，自创“还可以是什么”则尤为可贵。当教材情境图中的“6朵”和“8朵”呈现在学生面前时，学生的思维出现了“波澜”：8比6大，所以8也应该是6的倍数;但是，8里面没有正好几个6，而有余数，所以8和6没有倍数关系。这一困惑化解之后，“追问”的驱动更让学生的思维向四面八方打开：有的增加或减少黄花，有的增加或减少红花……

然后，我动态选取了学生的作品，引导学生围绕“画法不一样，为什么红花都是黄花的2倍？”“黄花的朵数没有变化呀，为什么红花的朵数一会儿是黄花的2倍，一会儿又是3倍、4倍呢？”等问题进行对比分析，使他们对“倍”的理解达到一个新的高度。

课堂上，一只小手遮挡研究单的“微镜头”（见图2）成了“妙手偶得”的绝佳素材。挡住的红花可能有多少朵？看不见、数不出，怎么办？这引发了学生的进一步探索，他们脱离具体、直观的圈画，开始放飞自由的想象：可能是6朵，红花是黄花的1倍;可能是12朵，红花是黄花的2倍;可能是18朵，红花是黄花的3倍……学生在各种想象中慢慢地建构，“每份量”“份数”与“总量”之间的关系悄然而生。

蒙田在《论想象的力量》中写道：“强劲的想象产生事实。”对红花的想象就是为了产生“关系”的事实。此时，学生已然自由地奔跑在数量关系的跑道上，数学的抽象展现得淋漓尽致。教师大胆地放手则给予了学生充分改造、加工学习素材的空间和可能。而这些都需要教师具备灼灼之眼、拳拳之心，相信学生在多次尝试和调整的过程中，一定能找到平衡的状态、对应的关系以及豁然的酣畅。如此这般长期坚持，学生数学思维的生长必将是强韧有力的，而支撑学生走向长远发展的理性精神必将是坚不可摧的。

一张纸一节课

曾经听过一节《圆的面积》课。这节课最大的亮点就是，借助一张图形纸（如图3所示，每生一张），使数学本质的理解达到通透，知识之间的联结有效建立。

活动一：大胆猜想，提出问题。教师请学生观察纸上的正方形与圆，思考它们的周长、面积之间存在怎样的关系。在学生思考得出“正方形中最大的圆的直径等于它的边长，所以圆的周长是正方形的π/4”后，教师又进一步引导学生作出猜想：圆的面积是否也是正方形的π/4？此时，教师隐而不发，让学生带着这样的猜想进入具体的探究、验证中。

活动二：引导操作，推导公式。教师让学生将纸上的圆剪下来，并且思考怎么剪比较方便、快捷。学生操作后，介绍了不同的剪法（如图4所示）。此时，教师再次引导学生思考：三种剪法有什么不同？观察这三种剪法，有什么发现？学生的思维被充分打开，对问题的探究渐次逼近本质：“三种剪法的不同点是，分别将正方形纸对折了2次、3次、4次。”“将剪下来的图形展开，能发现折痕分别将圆平均分成了4个、8个、16个小扇形。”“对折2次，圆被平均分成了4份;对折3次，圆被平均分成了8份;对折4次，圆被平均分成了16份。”“把分成的小扇形拼成一个已经学过的图形，平均分的份数越多，小扇形拼成的图形越接近长方形。”……有此铺垫，圆的面积计算公式的推导可谓水到渠成。

活动三：回应猜想，得出结论。教师让学生对照图形回应猜想：现在想想，圆的面积和正方形的面积是什么关系？从而得出：圆的面积确实是正方形的π/4;正方形中最大的圆的周长与面积都是正方形的π/4。

简单的一张图，却让学生明晰了“正方形中最大的圆的周长和面积都是正方形的π4”的关系;在“将纸上的圆剪下来，并且思考怎么剪比较方便、快捷”的过程中，体会到“折叠的次数越多，把圆剪下来就越简单”的感觉，从而领悟到“等分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形”的道理。

一个故事一节课

前几天，我有幸听了著名特级教师华应龙老师执教的《比萨的故事》一课。这是一节关于图形面积的复习课，取材简洁，就一个故事引出一道题，大意是这样的：顾客买了一个直径12寸的比萨，一会儿，店主过来打招呼，称直径12寸的断货了，换两个作为补偿，一个直径是8寸，另一个直径是4寸。这道题本身的数学原理并不复杂，大多数学生都接触过。可就是这样一道常见的数学题，却掀起了一场思维风暴，围绕原理的理解，课堂中有多处思维的激荡：有计算结果与视频呈现结果为什么不同的分析，有典型解题错误的解剖，还有图解过程的优化……让人流连忘返。而更让人意犹未尽的是，在知识的拓展阶段，华老师引导学生大胆想象：如果比萨做成长方形、正方形或正三角形的，可以一个换两个吗？如果一个比萨的厚度与两个比萨的不一样，又该怎样换呢？有人喜欢吃比萨脆脆的边缘，因此，如果中间的不算，一个换两个又该怎样换呢？……

听过华老师很多类似的数学课：《孙子定理》《我不是笨小孩》《阅兵的故事》《台湾长什么样》《莫比乌斯圈》……或一道题，或一个场景，或一个故事……这样的课，素简但不失厚重，材少却意蕴深刻，确是课中精品。这样的课，打开了教学的边界，不仅是数学课，还是思维训练课、口语交际课、哲理思辨课……

思考延伸

尽管課改已经进入深水区，但是课堂教学中的“功利主义”色彩以及“技术主义”路径依然让许多同行欲罢不能、乐此不疲。一个数学概念2分钟不到就教完了，剩下的是由各种习题素材堆积的过关检测、拓展练习和“ABCD卷”操练。课堂盲目追求大量的材料占有和反复的习题训练，为的就是让学生考个好分数。

在一节《圆的认识》公开课上，教师先播放了一则时长6分钟的微课，内容包括生活中人们怎样画圆，体育老师怎样画圆，数学课上怎样用圆规画圆。然而，播放后，到了具体的教学环节，教师又一遍遍地示范如何用圆规画圆。

一位教师教学《相遇问题》一课，为了让学生理解什么是“相向而行”，先让两位学生到前面表演，再用两只黑板擦在黑板上模拟，最后又通过精美的多媒体课件演示，折腾了近10分钟后，才回到相遇问题的数量关系上来。

……

而一幅图一节课、一张纸一节课、一个故事一节课……这样的课，焕发出的是生机勃勃的成长力量，呈现出的是令人神往的教学美好——

走向儿童。选择怎样的教学素材开展教学活动最为重要？澳大利亚教育心理学家J.Sweller提出的“认知负荷理论”认为，在学习过程中，“外界信息只有进入工作记忆，才能加工和认识，但是，工作记忆只能同时加工7个左右的信息组块，而且，工作记忆因为负责加工、组织、比较等任务，只能同时记住2—3个信息组块;如果记忆容量超载，信息加工活动就会受阻或根本无从开展。”史宁中教授说过这样一句话：“小学的那点数学知识即使不学，到初中一年也就补回来了，小学关键是要教孩子们想问题，让孩子们学完以后对数学有感觉。”如果说前文所述课例让学生有“感觉”了，那么可以说，这种“感觉”就是由简朴的素材带来的。素材少一些、精一些，才能让学生有更多的空间和时间反思质疑、个性创造。这样，才能让数学研究深入下去，唤醒数学思考，从而让数学学科赋予学生更独特的“精神之钙”。

朝向审美。M.克莱因说过，数学风格以简洁和形式的完美作为其目标。简洁的美表现在“结构”上。结构是构成事物的各种元素的有机组合，这种组合不是各种元素的简单叠加或拼接，而是在井然有序、错落有致中构架出整体，体现出多样统一的对称均衡、比例协调、节律和谐等。结构是多个元素的组合，而元素越多，越需要结构化;越是结构化，越有整体感。有位哲人说过，简约到极致就是美。课堂上，外在的文字之简、图形之简、色彩之简、版式之简，带来了内在的留白多、结构清，可以更加艺术地突出主题，更加有效地传递信息。

实际上，因“简”（“抓住核心”“带得走”）而“活”（“建立联系”“能运用”），也是培养学生核心素养这一课程目标带给我们的教学启示。