摘  要：大多数被试对数学公式表征具有不良的超高敏感度，不良性在于高敏感度表征源自机械操练，表现为机械记忆，导致被试的公式表征质量低劣且表征形式单一，从而无法嵌入数学能力和数学思维之中，亦没有与解题策略共生，启示教师在教学中应加强对学生进行“有目的练习”.

关键词：公式表征;敏感度;有目的练习

一、问题提出

公式表征是公式在头脑中的存储方式. 文献[1]的实验证实，在高强度变式练习下，学生对头脑中数学材料的提取形成自动化，模糊了不同表征方式之间的界限，由理解性记忆产生的优质表征与由机械记忆产生的机械表征之间存在“认知鸿沟”，机械表征对学生的伤害不仅表现在当下，也表现为对学生的未来学习产生不利影响. 另外，经验告诉我们，公式记忆得越牢固解题能力越强，客观事实却是大部分学生虽熟记公式，却仍然无法顺利解答高考压轴题. 因此，有必要弄清文献[1]中的实验结论、教学经验和客观事实三个方面所产生的矛盾的根源.

我们用“公式表征敏感度”刻画公式记忆熟练程度. 公式表征敏感度定义为：在解题过程中正确提取公式的被试人数与被试总人数的比值. 显然，该比值大小与敏感度成正比，比值越大敏感度越高.

我们的问题是：公式表征的高敏感度是否一定能转化为解高考压轴题的优势？如果不能正向转化，那么逆向转化的结果是什么？它如何阻碍解题？为探求该问题的底蕴，本文设计一个解题实验，探求学生对公式表征敏感度与解答高考压轴题之间的关系. 读者将会看到，该实验所获得的关于公式表征敏感度对解题影响的结论令人十分忧心.

二、解题实验

1. 目的

以新进入高三的数学优等生为被试，探寻数学公式超高敏感导致解答高考压轴题失分的原因，以及复习对策.

2. 材料

选用2012年高考数学广东卷理科第20题作为解题实验测试题. 当年共有21道试题，此题是一道标准的解析几何压轴题. 试题解答中出现了解析几何的基本公式，同时体现了解答高考解析几何压轴题的基本解题思路，满足实验要求.

测试题去掉第（1）小题后，抄录如下.

3. 实验结果

被试来自广东省肇庆市重点中学高二升高三学生，学生数学基础较好. 由于新冠肺炎疫情，解析几何为线上学习，因而训练没有线下充分，但整个学习过程依然充分操练. 测试时间为40分钟，共收回38份答卷，剔除4份无效答卷，有效答卷共34份.

通过每个节点的被试人数如下表所示.

第一列是节点（解题步骤），第二列是正确通过节点的被试人数，第三列是通过节点的被试人数与被试总人数的比值，即敏感度.

表中数据表明，数据集中趋势在上述四个区块上，因此我们用区块的平均敏感度来描述更为简洁.

根据上表，参数讨论区块敏感度是0，根与系数的关系区块的平均敏感度为0.69，化简区块敏感度为0.24，基本不等式区块的平均敏感度为0.09.

三、实验结果讨论

需要指出的是，化简区块（[△7]）表面看起来是公式，实质上它并非各种公式的代入，而是一系列符号运算结果. 参数讨论区块亦非公式构成，它涉及直线方程系数讨论或直线的几何形态. 另外，由于仅3名被试达到基本不等式区块，不具备讨论的价值，故略去.

1. 公式表征没有嵌入运算能力中

由此可以推断，被试所处的教学环境中，重公式记忆轻能力培養，被试牺牲提升能力的教学资源用于训练表征公式，这种牺牲仅仅换来被试围绕解题思路熟练提取所需公式的能力，该项能力只是解压轴题的第一步，在运算中灵活运用这些被提取的公式才是解题的关键.

2. 公式表征质量不高

读者或许已经注意到实验结果中有一个十分奇特的数据，参数讨论区块（[△2]）的敏感度是0，即全体被试都没对直线方程[mx+ny=1]进行分类讨论，形成鲜明对比的是，学生对直线方程有较高的表征敏感度（[△1=0.68]），有68%的被试正确求出了点到直线的距离. 一个合理的解释是，被试关于直线方程表征不精确，因为在解题过程中有两个机会引发被式进行参数讨论：从代数角度，解题需要从直线方程中解出[y]，则势必考虑[n]是否为0;从几何角度，则需要考虑直线的位置关系. 无论从哪一个角度考虑，都需要对变量[y]的系数字母[n]进行讨论. 究其原因，学生在解题训练中，将精力投放到对公式的提取速度，忽略了公式的条件、适用情境，以及与之相关知识的构成. 这项实验结果表明，高敏感度且低质量的公式表征对被试在解高考压轴题时起到破坏作用. 因为当被试迅速提取公式并不假思索地应用于解题时，极易跳过落笔有据的内部思考这一环节，显然不利于发展数学思维的缜密性.

3. 公式表征游离于解题策略之外

实验结果中，根与系数的关系区块中的根与系数的关系节点（[△3]）的敏感度处于最高位，76%的被式遇到直线与圆锥曲线交点问题时，根与系数的关系被迅速激活. 在回收的34份答题卷中，仅有3名被试采用几何法，1名采用三角法，且都失败了，余下的30位被试全部采用解析法. 可以合理推断，到高考时，对根与系数的关系的敏感度将更高.

这一结果产生了尴尬和矛盾. 尴尬是因为当年广东的考试大纲中并未把根与系数的关系作为考点，此题标准答案首推几何法，命题人也是根据几何法来确定试题难度的;矛盾在于求解此题虽然几何法明显优于解析法，但被试的头脑中仿佛有一条非常明确的根与系数的关系解题路线图，且认定此路线图是求解这类问题的必经（或唯一）之路.

实际上，运用几何法求解相当简洁. 现把几何法求解过程的前半段抄录如下，后半段与解析法相同，区别在于利用勾股定理求三角形的底边[AB].

以下略去.

几何法自然地避开了该题的最大失分点——参数讨论，但是被试几乎全都选择根与系数的关系这一群体性的自动化解题行为，显示公式表征出现畸形：在机械套路里死记硬背公式，而公式表征则游离于解题策略之外，使得被试在答题时缺乏合情推理，导致解题策略单一.

四、实验结论对高考复习的启示

目前，高考应试训练中比较流行的做法是将训练学生对数学公式的敏感度作为提升高考成绩的突破口，这种做法至少对解压轴题来说不尽正确.

该实验证实，公式表征的高敏感度极易由机械记忆产生，尤其是当其与解题套路结合，本文将此情形简称为“不良敏感”. 它从三个方面阻碍学生解答高考压轴题：第一，“不良敏感”导致公式表征质量不高，即对头脑中所存储的公式编码不准确;第二，“不良敏感”具有强烈的排他性，它与合情推理相悖，超敏感性将解题思路的选取固化为对敏感公式的提取;第三，“不良敏感”是只对单个公式的敏感，并没有形成认知结构，因而阻碍能力提升. 这三个实验结论对高考复习教学有如下启示.

1. 以科学记忆方式消除“不良敏感”

文献[1]中的实验结论有助于消除“不良敏感”对公式表征的不良影响. 首先，当前机械记忆的主要表现形式为大运动量训练记忆公式，实验证实这种表征方式回忆质量最差;其次，具有高度概括性的表征方式（如口诀表征方式“奇变偶不变，符号看象限”）回忆质量较佳，概括性是指新知識与原有知识融合成一个新知识结构，以及简化公式提取程序;最后，数学基础比较好或数学能力比较强的学生更倾向于采用有联系的表征方式，如用函数赋值的方式记忆诱导公式等. 可见，高质量数学公式表征皆从大运动量练习套路中跳出来，嵌入数学能力提升和发展数学思维的过程中.

2. 以多重表征消除“不良敏感”

公式表征的“不良敏感”的一个显著特征是公式表征的低质量且高敏感度，这是因为学生不清楚公式的来龙去脉致使该公式与其他知识之间的纽带断裂，在具体解题活动中表现为忽视公式的限制条件和适用范围，以及化简运算目标不明确等. 例如，该实验中，学生在对目标函数[fm，n=S△OAB]进行化简的运算过程中，没有从求最值这一运算目标联想到基本不等式，导致运算过程的无序性和无目的性. 我们在被试的草稿纸上观察到，被试试图用多种方法对目标函数进行化简，如换元法、三角法、求导等. 虽然被试对各种公式信手拈来，但是演算过程中所提取的有些公式和组织公式的方法与运算目的无关，因而达不到化简的最终目的.

认知数学对象比较好的方式是从几何和代数两个角度来观察和思考，要将知识合理地安放在头脑的认知结构中，应该尽可能地以几何和代数这两种知识形态进行双重编码（编码意为知识在头脑中的合理组织），这样将极大提升表征质量. 如果再加上对公式的高敏感度，问题解决的能力就无疑会提升. 数学家这一实践经验已被心理学家佩维奥所证实，他认为表征信息依靠语言和视觉对当前材料进行编码，而不是抽象的表征命题. 佩维奥的研究告诉我们，应该将公式以多种形式存储于头脑中，而非仅限于几何和代数这两种形式.

3. 以“有目的学习”消除“不良敏感”

令人不安的是，被试对根与系数的关系的超级敏感近乎八股化. 张奠宙先生在文献[3]中痛斥：“……现在居然连每个题目的次序和位置都要稳定，否则就要影响学生的得分率，中国参加高考的学生连题目的次序更改都不能适应，令人可悲.”显然，张先生的忧虑被该实验所证实.

在几何方法更优、且被命题人“钦定”为首选方法的情形下，仍然有高达92%的被试选择根与系数的关系. 合理推断，被试对根与系数的关系的高度敏感源自解题套路. 一个问题的解决者在解题过程中抛弃简单方法而寻求复杂方法，这极可能与机械训练有关. 从实验数据的过度集中趋势来看，课堂教学的指导思想是导致这一现象的关键.

在文献[4]的“教育随笔”中，张奠宙先生引用杨振林、陈省身和华罗庚三位大师关于熟与巧的论述，指出中国古训“熟能生巧”的关键在于一个“巧”字. 若将该古训与机械训练或题海战术结合起来，则无巧可言，导致学生在学习过程中形成“烂熟”而非“巧熟”，将练习与理解结合起来，方为中西数学教育互补之道.

如要变“烂熟”为“巧熟”，可从心理学家埃里克森的一项研究中得到启发，其根据十多年对各行各业专家的调查访问及理论研究指出，所有的练习（训练）都应该是有“目的”的，并给出“有目的练习”的定义如下：学习者不是机械地操作，他们有学习的动力;他们得到关于自身操作的反馈;他们仔细观察自己的操作并与正确的操作相比，哪些做对了，哪些有差距，并集中注意力消除差距.

“有目的练习”包括三个教学诊断步骤：发现学生错误，理解学生错误，帮助学生改正错误. 无需讨论可知，“有目的练习”是破除“不良敏感”将学生窒碍于解题套路的良方.

参考文献：

[1]郭志勇，吴跃忠. 数学公式表征质量实验研究[J]. 中国数学教育（高中版），2018（11）：19-22.

[2]约翰·安德森. 认知心理学及其启示（第7版）[M]. 秦裕林，程瑶，周海燕，等译. 北京：人民邮电出版社，2012.

[3]张奠宙，赵小平. 解析几何题在高考试卷中的位置需要稳定：应试教育的超级八股一例[J]. 数学教学，2011（10）：封四.

[4]张奠宙. 教育随笔[J]. 数学教学，2013（6）：38.

[5]吴跃忠.“无目的练习”形成数学学习中的“烂熟”[J]. 数学教学，2014（6）：11-13.