摘  要：从对“样本点、样本空间和随机事件的表达”内容本质的分析入手，讨论相关内容的育人价值，提出一些教学建议.

关键词：随机现象;有限样本空间;随机事件;数学抽象

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）首次引入样本点和有限样本空间的概念，为用数学语言描述随机现象和随机事件提供了工具. 而“有限样本空间与随机事件”是必修概率第一单元的第一个课时，是本单元学习的基础.《标准》指出，本单元的学习可以帮助学生结合具体实例，理解样本点、有限样本空间、随机事件等概念;通过计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解;通过解决一些简单的实际问题，发展数学抽象、逻辑推理、数据分析和数学运算素养.

作为概率的起始课，涉及很多概念和术语，主要教学任务是结合具体实例，抽象随机现象的特征，理解样本点、有限样本空间、随机事件. 重点是抽象有限样本空间和随机事件的概念，落实数学抽象素养.

一、课例教学设计及课堂展示评价

通过教学设计和课堂展示，反映出执教教师对内容本质及教材设计意图理解深刻，教学目标与目标解析准确、具体，具有“导学、导教、导测评”的功能. 在具体教学过程中，突出了“随机现象数学化”的主题，以“不同语言的相互转化”为手段，逐步抽象样本点、样本空间、随机事件概念的过程. 在一系列恰当问题的引导下，采用学生独立思考、自主探究、合作交流的方式展开教学. 完成了预定的教学目标，对提升学生数学抽象素养有帮助.

在引入问题情境的设计方面，选择篮球投篮、到校所需时间、随机摸球等问题情境，合理利用信息技术，归纳、抽象随机现象的特征：一次观测结果具有随机性，大量重复观测呈现出规律性. 并让学生列举随机现象的例子，概括随机试验的特征.

建立试验的样本空间，用样本空间的子集表示随机事件，难点是如何描述“样本点”. 在这一环节，通过设置具体的随机试验，让学生尝试列举所有可能结果，引导学生用自然语言表述，进一步用字母或数字表示，追求简洁并兼顾实际意义. 结合练习让学生对“样本点”是试验的基本结果进行辨析，有效突破了教学难点.

对于随机事件的概念，在初中是采用描述的方式定义的，从语言描述到用样本空间的子集表示，思维跳跃大，抽象度高，既是重点也是难点. 在教学设计中，提供简单的随机试验，围绕“事件发生的意义及表示”提问题，很好地完成了随机事件从直观描述到用样本空间的子集表示这一数学抽象过程，并通过例题的教学加以巩固.

二、核心内容的理解与教学思考

1. 随机现象与随机试验

概率的研究对象是随机现象.《标准》没有对随机现象和随机试验的概念做要求，但它们是概率内容中反复提到的术语，有必要给出适当的描述与刻画. 在教材的章前言中，结合一些具体实例，给出了随机现象的描述. 由于本单元只研究有限个可能结果的随机现象，这些现象是指在一定条件下不能事先预知结果，一次观测结果的发生具有随机性，但大量重复观测下各个结果发生的频率都具有稳定性的现象.

研究随机现象要先观察其所有可能结果，我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验. 满足：可重复进行;所有可能结果明确可知;每个结果出现的随机性.

了解随机现象和随机试验的概念，有助于学生认识研究对象的特征，建立完整的概念研究路径. 对随机现象的认识是在整个概率学习中逐渐加深的，在本课时的教学中，可以提供实例、问题引导、学生思考，以教师的归纳概括为主.

2. 样本点和有限样本空间

样本点的描述与表示是构建样本空间、刻画随机事件的基础. 样本点的概念是描述性的，它是随机试验的每个可能的基本结果，样本空间是全体样本点的集合. 在具体的随机试验中，如何确定样本点呢？一般遵循的原则是：样本点不能再细分;对古典概型问题，则要保证各样本点是等可能发生的，以便于确定事件的概率.

從包含2个红球、3个白球、4个黄球的袋子中，随机摸出一球. 应该看成有9个样本点，样本空间为[Ω=][r1，r2，w1，w2，w3，y1，y2，y3，y4]. 如果看成只有3个样本点，显然不满足所有样本点的等可能性.

抛掷2枚骰子，应该看成有[6×6=36]个样本点，每个样本点用有序数对来表示，建立样本空间[Ω=][m，nm=1，2，…，6，n=1，2，…，6]. 在这个样本空间中，所有事件的概率都可以确定. 如果要求“两个点数之和为5”的概率，就可以把“点数之和为[k k=2，3，…，12]”看成样本点，样本空间为[Ω=][1，2，…，12]，这对确定事件的概率没有任何作用.

对于随机试验，用适当的符号表示试验的样本点、列举样本空间，既是重点也是难点. 不同的随机试验，样本空间的复杂性有很大的差别. 在教学中应从最简单的试验开始，经历用语言描述试验的基本结果，并用符号表示，进而思考更简洁的表示，同时要考虑等可能性.

例如，列举“抛掷2枚硬币”试验的样本空间.

语言描述：两个正面朝上，两个反面朝上，一个正面朝上一个反面朝上，但这3个结果不是等可能的. 借助树状图，容易看出只有看成4个样本点时，才是等可能的.

字母表示：用[h]表示正面朝上，用[t]表示反面朝上，样本空间包含4个等可能的样本点：[tt]，[th]，[ht]，[hh].

数对（串）表示：用[1]表示正面朝上，用[0]表示反面朝上，样本空间[Ω]包含4个数对或数字串为[Ω=][00，01，10，11].

把简单问题分析透彻了，对于较复杂的试验，按模型归类，即可轻松解决问题.

例如，抛掷[1]枚硬币、观察新生儿性别、射击命中与否、产品抽样检验是正品还是次品等，这些试验的样本空间具有相同的结构;抛掷[3]枚硬币、抛掷[3]次骰子、观察[3]个元件构成的电路是不是通路等，都是3次重复试验的问题. 类似地，可以得出[n]次重复试验的模型.

这里还可以引导学生进一步思考：对于有[2]个可能结果的试验（伯努利试验），为什么选择用“0”和“1”表示？原则上，选择任意[2]个不同的字母或数字都可以描述试验的结果，但采用“0”和“1”表示试验的结果不仅仅是追求简洁，而是有其实际意义的，会给后续研究带来极大的方便.

3. 随机事件概念的抽象

初中的概率中将随机事件描述为“在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事情”. 有了样本空间的概念后，随机事件可以用样本空间的子集表示. 从语言描述到样本空间的子集表示，思维跳跃很大，抽象度高. 如何使学生理解“随机事件”的数学描述？关键是结合简单的随机试验，理解事件发生的含义是什么. 例如，掷1枚骰子，事件“掷出的点数为奇数”发生的意义是什么？彩票摇奖，事件“摇出的球的号码是[3]的倍数”发生的意义是什么？使学生认识到事件的发生当且仅当满足某种条件的样本点出现. 由特殊到一般，归纳“事件[A]是样本空间的子集，事件[A]发生当且仅当事件[A]中的某个样本点出现”. 这对理解空集是不可能事件，样本空间本身是必然事件，理解事件的关系和运算的意义至关重要. 在概念抽象的过程中，要特别重视训练学生自然语言与符号语言的相互转换能力.

三、几点教学建议

1. 通过典型、丰富的具体实例，引导学生认识随机现象

在学生的数学学习经历中，以往接触的问题主要是确定性现象，很少有意识地思考随机现象的特点. 又由于概率内容自身的特點（例如，概率概念比较抽象;对随机性的不同理解会导致不同的结果;利用概率进行一次决策，合理的决策未必一定得到好的结果等），所以对大多数学生而言，“随机性”是一个难以把握的概念.

对于抽象内容的理解，必须得到具体例子的支持. 因此，概率的教学自始至终都要注意结合实例来展开. 教学中应通过丰富、典型的随机现象实例，引导学生分析、归纳随机现象的特征，同时鼓励学生提出有价值的概率问题. 在具体教学中，可以引导学生分类列举随机现象. 例如，游戏中的随机现象（抛掷硬币、掷骰子、抽取扑克牌等），生活中的随机现象（彩票、出生月份、摸球抽签等），实际应用中的随机现象（随机抽样、保险问题、投资理财等）.

要注意避免人为虚构、脱离概率本质的情境，情境也不宜过于复杂，更不能将生活常识、数学定理、成语俗语等当成事件.

问题情境的选择要渗透模型思想. 例如，抛掷[1]枚硬币→观察新生儿性别、射击命中与否、产品抽样检验是正品还是次品等;抛掷[2]枚硬币→抛掷[3]枚硬币、掷[3]次骰子、观察[3]个元件构成的电路是不是通路、[n]次重复试验;有放回摸球→观察[6]名学生的出生月份;等等. 重复抛掷硬币、掷骰子、生日问题、放球入盒问题、[2]人比赛问题等都可以化为有放回摸球问题;抽签问题、随机抽样问题等都可以化为不放回摸球问题. 注意相同结构的样本空间要关注样本点是否是等可能的.

2. 重视核心概念“随机事件”的数学抽象

“随机事件”是概率论的核心概念之一，如果理解不深刻，将影响整个概率知识的学习. 而引入样本点、有限样本空间概念，再用样本空间的子集表示随机事件，这是随机现象数学化的关键一步，教学中必须给予重视.

教学中，要注意利用典型例子，以“随机现象数学化”为导向，以“不同语言的相互转化”为手段，针对随机现象的特征、样本点、样本空间、随机事件及其关系等提出问题，并要让学生自己提出问题. 这样的训练是基础性的，对于认识和理解随机现象有重要意义，不能一带而过.

加强用数学语言描述随机现象的教学，对于促进学生理解样本点和样本空间的含义、随机事件和样本点的关系、随机事件的发生、随机事件的关系和运算等都是非常有必要的. 事实上，用符号（字母、数字或数对）表示试验结果，抽象出样本点、样本空间，由事件发生的意义抽象出“随机事件”是样本空间的子集，都是培养学生数学抽象素养的契机.

3. 落实“四基”“四能”

注重过程与结果的融合，要给学生有挑战性的思考任务，注重学生的思维参与度. 在小结中可以提出下面的问题，让学生思考. 例如，对于只有[2]个可能结果的试验，为什么用[0]和[1]表示这两个结果？对于抛掷[2]枚硬币、[2]次射击、[2]名学生独立各猜一道谜语等，这些随机试验的样本空间有哪些相同点和不同点？目的是让学生认识到，除了样本空间的结构和样本点个数外，样本点的等可能性是重要的特征. 为什么要引入样本空间？对于这个问题，尽管学生体会不深，当前不可能给出完整的答案，但是这是需要在概率学习过程中不断思考、不断体会的问题.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃，程海奎. 高中必修课程中概率的教材设计和教学思考：兼谈“数学核心素养如何落地”[J]. 课程·教材·教法，2017，37（5）：27-33.