陈超

[摘           要]  逆向思维在学术研究中是被经常运用的重要思维，它为学术研究提供了多角度研究突破的可能性。而在高等数学的教学中许多的知识点都可以被逆向思维验证。整体结构是先分析逆向思维在高等数学教学中的应用意义，而后研究其应用方法，并结合具体的例题解析来求证逆向思维在高等数学中的实际意义。主要目的是帮助大学生在高等数学的学习中能够使用逆向思维来进行思考，为他们学习高等数学提供一些学习方法的参考及高等数学例解中逆向思维应用的理论依据。

[关    键   詞]  逆向思维;高等数学;例题解析

[中图分类号]  G712                   [文献标志码]  A                      [文章编号]  2096-0603（2021）19-0188-02

逆向思维的应用不是刻意从反方向来思考问题，这是很多学生经常会走入的思想误区，只有在从正向思考上无法有所收获的时候，逆向思维才会成为此时的最优解。逆向思维在学术研究中有不可撼动的地位，其经常帮助许多自然科学家发现存在于自然现象中的真理，如法拉第就从奥斯特“电生磁”现象中逆向思维发现了电磁感应定律。同理可得，将逆向思维与高等数学教学相互融合，培养学生的逆向思维，让他们习惯应用逆向思维去思考问题，必然能取得不错的效果。

一、逆向思维在高等数学中的应用意义

逆向思维的价值不仅仅体现在它能够给纷繁复杂的学术研究提供简单、有效的解决思路，更重要的是其克服了人类的固定思维，改变了思维惯性。大学教学中的高等数学与初等数学在应用方面和研究方向上区别就体现在其并不纠结于必须得出运算的具体结果，如具体的数值或者是关系式，其研究的重点在于分析，中学数学研究的范围极广，如代数学、几何学、初等的分析学、统计学等，主要突出的是全面，是基础性的数学内容。而大学教学中的高等数学则以连续函数为主要研究对象，无论是欧式空间还是初等函数，都是连续函数的研究内容。因此，对于高等数学的教学来说，逆向思维能够让学生更好地理解错综复杂的各种知识点和数学难题。逆向思维从教学层面来看具有工具性和内在性两种特性，想要让逆向思维发挥出最大作用，就要在高等数学教学中充分体现出这两种特性。

二、逆向思维在高等数学中的应用方法及具体案例分析

（一）待定系数法

逆向思维在待定系数法上体现在通过将原项与多个多项式之间的转换，进而利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。简单的说就是在已知答案形式或结构的前提下，设定一定的待定系数，转化成由单个方程组或者是多个方程组来求解的思维模式。高等数学在微分方程、级数等部分会经常运用到待定系数法。例如求y″+py′+qy=f（x）的通解，以待定系数法进行解答的话，就要设定f（x）为某种形式下，根据微分方程进行方程组转化，从而得出答案。再例如g（y）dy=f（x）dx，也同样可以得出∫g（y）dy=∫（x）dx。待定系数法之所以能够使原有问题化繁为简，其关键就是转换了思考角度，不执着于题目的原定形式，以未知系数和已知条设定数学表达式，利用待定系数法促进方程求解。待定系数法的运用也相当于是学生在数学学习生涯中的一次转变，从具体的数学问题进阶到概念性的数学问题，待定系数法可以让学生习惯高等数学中的认知形式，转换数学思维。而在这个转换的过程中，就需要逆向思维的加持让他们能够顺利过渡到这个阶段。另外，需要注意的是虽然在初等数学中也经常用到待定系数法，如韦达定理二次函数求解、因式分解、复数等内容，但是在初等数学中经常会与具体的数值或者是固定的关系式相互结合使用，这就会让学生在高等数学的学习过程中走入思想误区，会习惯性地去寻找，教师要及时纠正，免得他们钻牛角尖，影响学习进度。

（二）反证法

反证法可以算是在形式上最能体现逆向思维的数学证明方法，在初等数学中经常会在几何证明和命题证明中用到这一方法，而在高等数学中也同样有重要的地位。反证法是间接证明常用的方法，以相反的数学视角去设定已知问题的相反状态，能得出与原题目相反的绝对结果之后，从而证明原定命题的正确性。例如，证明tan90°的数值不存在实际意义。以反证法进行证明的话，就要先设定一个意义相反的命题：tan90°是有实际意义的，而后就是要朝相反命题的方向去求得结果，如正切值的定义是某一锐角边与另一侧直角边的比值，而tan90°就是要求一个直角的正切值，不存在另一侧的直角边，因命题设定与一般定义存在矛盾，所以可得tan90°的数值存在实际意义这一命题不成立，也就是说tan90°的数值不存在实际意义这一命题是相对成立的，从而得出结果。从这个应用过程中就能归总出反证法在解决分析问题中最关键的一步就是寻找出原命题与假设命题之间存在的根本矛盾，然后进行逻辑推理，进而得出结论。而在高等数学中最常用到反证法的教学内容便是证明极限的存在，通过对定义域和值域的间接证明，得出了所存在极品的唯一性质，进而得出结果。反证法应用的局限性在于间接二字，只有在问题难以顺利证明或者是直接证明的情况下，反证法才能够体现出其价值，不过在与其他方式的结合运用上，反证法又能得到新的生命，如分析法、综合法等，只要通过有机结合，并且在合适的时机进行运用，反证法总能够在高等数学当中占据一席之地。

（三）逆推法

逆推法是根据前后变量的动态变化进行逆向推理，推导出原有的已知条件，重视数学逻辑的应用方法。逆向思维在逆推法中的体现是在推理方向上，例如小学数学在学习四则运算的时候，都会要求学生进行验算，这就是根据已知的运算结果，而后推理出其运算结构，进行再次证明运算结果的正确性。除此之外，还有已知圆的面积求周长、已知圆柱的体积求表面积等，都是逆推法在数学问题解答时的经典运用方式。而在高等数学中，逆推法表达形式变成要根据已知原理，设定条件进行深入分析，从而求出问题答案。例如，在用数列极限的定义证明极限的存在问题中，可以用逆推法给定一个任意的正数ε，然后通过分析推导，得出定义中所提到的正整数N确实存在，最后求证出问题的答案。例如这样一道高等数学题：y=2x2+1，证明其是否为偶函数。以逆推法进行证明的话，就要先从定义着手，首先是奇偶函数的定义：对于任何x，恒有f（x）=-f（x）成立，则称f（x）为奇函数，若任何x恒有f（x）=f（x），则称其为偶函数。根据定义可知问题答案的基本形式，便从偶函数的形式代入原式当中，若是符合定义，则证明为偶函数;若不符合，则不是。通过验证可得：f（-x）=2（-x）2+1=2x2+1，符合偶函数的基本定义，因此y=2x2+1是偶函数。逆推法能够帮助学生从例题中梳理高等数学的基本定义，也能够让学生掌握高等数学定义的多角度证明方式。除此之外，逆推法的应用还能够提高学生的数学逻辑思维能力。