马珏

【摘   要】数学概念是小学生学习数学知识的基础，当数学概念的抽象概括特征“碰上”小学生的具体形象思维，就需要找准概念的“体验点”，让学生经历完整学习概念的过程，即从“它是什么（概念理解）”到“怎么得到它（方法层面）”再到“它有什么用（问题解决）”，从而进行意义的自主建构，真正“明白”概念。

【关键词】方程教学;体验点

数学概念是小学生学习数学知识的基础。数学概念具有抽象概括的特征，而小学生又处于具体形象思维的阶段，因此在概念教学中要让学生真正明白，不能仅靠知识传授，需要找准体验点，即学生学习时的困惑之处，让他们不断地去感悟和理解，从而实现意义的自主建构。人教版教材五年级上册安排了“方程的意义”教学单元，这是概念教学的重要内容，体现在：一方面，小学阶段学生大多运用算术方法解决问题，这是学生第一次接触代数思想;另一方面，方程在中学会进一步展开学习，这是为中小学数学教学的衔接做好准备。

在方程教学中可以抓住三个概念理解的体验点，促进学生真正明白。

一、承接“用字母表示数”的认识，明白方程的意义

方程的意义是什么？一些教学只停留在对方程外在形式的认知上，反复强调让学生找到“=”，找到“字母”，这样的式子就是方程。而找的目的在于判断一个式子是不是方程，这是一种显性知识的教学。方程的意义的本质在于让学生经历方程的形成过程，明白为什么式子中会出现字母，这个字母有什么用，式子表示的是一种怎样的关系，这种关系最终要解决什么问题。也就是说，要更加重视隐性知识的教学。学生在前期“用字母表示数”的学习中，已经知道不确定的数用字母表示，可以用含有字母的式子表示数量之间的关系。方程的意义的教学要承接“用字母表示数”的学习经验，顺势而学，让学生真正明白。体验过程可以通过两组材料的呈现进行设计。

（一）出示第一组材料，初步感悟

教师出示第一组材料（如图1）并引导：找一找这组材料的规律，用式子把三个数之间的关系表示出来。

生：10+9=19;8+15=23;a+12=15。

师：第三个式子为什么用到了字母？

生：因为有个数不知道，可以用字母来表示。

师：“a+12”表示什么？

生：a与12相加。

师：这三个式子都表示了一种什么关系？

生：上面两个数相加的和与下面的数相等。

师：这里的“=”表示左边的结果等于右边，是一种相等关系。

（二）出示第二组材料，再次感悟

教师出示第二组材料（如图2）并引导：继续找一找这组材料的规律，用式子把三个数之间的关系表示出来。

生：4×9=36;7×8=56;b×5=45。

师：这三个式子都表示了一种什么关系？

生：上面两个数相乘的积与下面的数相等。

师：也表示了一种相等关系，可以用“=”联结。

（三）两组材料的对比与讨论

师：像这些表示相等关系的式子，我们称为“等式”。10+9=19，8+15=23，a+12=15，4×9=36，7×8=56，b×5=45都是等式。在等式中有一些数量不知道时，可以用“字母”来表示，含有“未知数”的等式叫作方程，这里的“a+12=15”“b×5=45”都是方程。

师：方程中为什么要用字母表示未知数？

生：这样能表示出数量之间的关系。

师：是一种什么关系？

生：相等的关系。

师：你能根据相等关系知道未知数是多少吗？

生：能！ a是3，b是9。

师：方程用字母表示未知数，表示已知数和未知数之间的相等关系，这样就能求出未知数。列方程是为了解决问题。

在上述教学过程中，通过两组材料的对比，学生主动用字母表示未知数，并列出字母式，表示已知数和未知数之间的关系。学生由此明白方程和等式的关系，方程都是等式，只是其中有一些数量不知道;进一步明白方程的意义是表示已知数和未知数之间的相等关系，从而求出未知数解决问题。

二、基于方程的意义，明白列方程的关键点

怎么列方程？在以往的教学中发现：学生在设未知数时往往是求什么设什么，不思考为什么要这么设;对于找等量关系普遍感到困难，列不出方程;出现了套“模式”的现象。教学时，教师不必拘泥于列方程解决问题的若干类型，应该基于方程的意义，加深学生对列方程的两个关键点的体验，即“用字母表示未知数”“找到未知数和已知数之间的相等关系”，以有效突破难点。体验过程可以通过三组材料的呈现，设计如下。

（一）出示第一组材料，明确两个关键点

师：什么是方程？

生：方程表示未知数和已知数之间的相等关系。

生：用字母表示未知数，可以求出方程中的未知数解决问题。

师：下面图（如图3）中的未知数表示什么？你能找到等量关系吗？请你尝试着列出方程。

生：左邊这个图中小猫的质量不知道，用x表示。“小猫的质量+球的质量=盒子的质量”，方程是“x+0.5=2.5”。

生：右边这个图中球的质量不知道，用x表示。“两个球的质量=砝码的质量”，方程是“2x=50”。

（二）出示第二组材料，分析等量关系

师：没有了天平，你还能找到未知数和已知数之间的等量关系，列出方程吗？

教师出示图4，请学生回答。

生：从左边这个图中，可以看出“原价-优惠=现价”，方程是“x-45=128”。

生：右边这个图的等量关系是“总质量÷数量=每杯质量”，方程是“x÷4=75”。

师：我们要分析已知数和未知数之间的关系，找到等量关系才能列出方程。

（三）出示第三组材料，感悟设未知数

教师出示图5，请学生回答。

师：想一想，这里设什么量为“x”呢？

生：设2个热水瓶装水的质量为x  g。

生：其实只要设1个热水瓶的装水量为x  g，2个热水瓶一样，就可以用2x  g表示。

生：如果设2个热水瓶的装水量为x  g，求出x后除以2，也能知道1个热水瓶的装水量。

师：你们的意思是，如果要知道1个热水瓶的装水量，可以直接设它为x，用2x就可以表示2个热水瓶的装水量;当然，也可以间接设2个热水瓶装水的质量为x  g，然后将求出来的“x除以2”也能知道1个热水瓶的装水量。那么，为什么不设杯子的装水量为x呢？

生：因为杯子的装水量知道啊！应该设未知数为x。

师：我们设“1个热水瓶装水的质量为x  g”，等量关系是什么呢？请你列出方程。

生：等量关系是“2个热水瓶的装水量+杯子的装水量=一壶水的装水量”，方程是 “2x+75=2000”。

在上述教学过程中，通过第一组材料，学生借助天平，初步感悟列方程的兩个关键点是“设未知数”和“找到等量关系”;第二组材料去掉了天平的直观图式，学生需要自己分析未知数和已知数的等量关系，加深对等量关系的认识;第三组材料中没有标出未知数，学生通过讨论发现，根据需要，可以直接设要求的量为x，也可以先间接设相关的量为x，再求出要求的量，但是设的都是未知量，以此加深对设未知数的认识。

三、凸显列方程的关键点，明白列方程解决问题的优越性

在教学中，学生往往会有这样的疑惑：“这个问题我以前就会列算式解决，为什么还要学习用方程解决呢？”如果告诉学生，因为初中要学习这个内容，所以小学要先学习一下，学生一定不乐意，初中的内容可以初中学，列方程解决问题太麻烦啦！所以，必须要让学生对列方程解决问题的优越性有所体验。教师可以呈现以下两个材料，组织学生展开讨论。

（一）出示第一个材料，感悟顺向思维

足球上黑色皮是五边形，白色皮是六边形。白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块，共有多少块黑色皮？

师：你会列方程解决问题吗？

生尝试解答：设黑色皮有x块，等量关系是“黑色皮的块数×2-4=白色皮的块数”，方程是“2x-4=20”，求得x=12。

师：如果用以前列算式的方法解决，该怎么列式呢？

生：（20+4）÷2=12（块）。

师：为什么信息中是“少4块”，算式中反而是“+4”呢？

生（讨论）：因为白皮是黑皮的“2倍少4块”，所以需要反过来想，白皮要加上4块才是黑皮的2倍，所以20要先加上4，再除以2，才是黑皮的数量。

师：列方程解决问题时需要这样反过来想吗？

生（讨论）：不需要，因为根据白皮是黑皮的“2倍少4块”，可以直接列出等量关系“黑色皮的块数×2-4=白色皮的块数”，得到方程“2x-4=20”。

师：列方程解决这个问题和列算式解决这个问题，有什么不一样？

生（讨论）：列方程解决问题是顺着思考的，用算式解决问题需要反过来想。

师：列算式解决这样的问题时，因为要反过来思考，所以老是有同学出错;列方程解决问题就可以避免这样的错误，你们感受到了吗？

（生一致认同）

（二）出示第二个材料，感悟未知数可以作为条件使用

笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？

师：这是我们熟悉的鸡兔同笼问题，以前是怎么解决的？

生：用假设法解决。

师：学习了列方程解决问题，你能再试试看吗？

学生尝试用方程解决：设兔子有x只，鸡有（8-x）只;等量关系是“鸡的脚数+兔的脚数=一共的脚数”;方程是“4x+2（8-x）=26”，求得x=5，鸡为8-x=3。

师：为什么我们以前要用假设法解决鸡兔同笼问题？

生（讨论）：因为鸡的只数和兔的只数都不知道，所以只能先假设，再调整。

师：列方程解决时，为什么可以列出等式？

生（讨论）：因为将兔子设为x只，鸡就可以表示为（8-x）只，所以就能表示出兔子的脚数和鸡的脚数，列出等式啦！

师：用字母表示未知量，可以当作条件进行使用，所以列方程能解决比较复杂的问题，将问题变得简单，以后你们会有更多的体会。

在上述教学过程中，通过第一个材料，学生尝试列方程解决易错的问题，在两种方法的对比中发现，根据等量关系列出方程，是一种顺向思维，有时候比列算式更容易理解题意;在第二个材料的讨论中，学生尝试列方程解决较复杂的问题，在老题新做的对比中发现，列方程解决问题时未知数也可以作为条件使用，可以将问题简单化。

上述方程教学时的三个体验点，体现了种子课教学的理念，一个完整的概念学习需要包含三个部分，即让学生明白“它是什么（概念理解）”“怎么得到它（方法层面）”“它有什么用（问题解决）”。除此之外，还有一些体验点也是需要在教学中关注的。例如：为什么要用等式的性质解方程，而不用四则运算的关系来解方程？同样的等量关系可以列出不同的方程来解决，但形如“x=”这样的方程为什么没有意义，等等。这些都是学生不断深入学习后产生的更为细化的问题，需要在后继学习中逐步解决。

（浙江省杭州市求是教育集团   310012）