白灵

【摘   要】对学生使用中美教材自学乘法分配律的结果分析可知，自学加州版教材（美）后会解释规律的学生人数更多，而自学北师大版教材（中）后会正向应用规律进行简便计算的效果更好。通过比较，对教材的编写提出建议：用面积模型作为引入，适当调整例题题型。

【关键词】乘法分配律;教材;自学效果

数学教材作为数学课程最为重要的资源，直接影响教师的教与学生的学。[1]不同版本的教材都有自己的特点，本研究试图从实证的角度，分析学生在自学中美教材有关“乘法分配律”的内容后对这一知识的掌握情况，并得到教材编写的启示。

一、研究对象与方法

（一）研究对象

考虑到比较对象的典型性和代表性，本文选用的是2013年教育部审定的北京师范大学出版社出版的小学数学教材（以下简称“北师大版教材”）以及由McGraw-Hill公司于2008年出版的California Mathematics（以下简称“加州版教材”）。两个版本教材中“乘法分配律”的教學内容如下。

【北师大版教材】

（1）呈现厨房贴瓷砖情境图（如图1）。

（2）呈现问题及计算方法。

问题：“贴了多少块瓷砖？说说你是怎么算的。”

第一组方法：3×10+5×10  （3+5）×10

第二组方法：4×8+6×8      （4+6）×8

（3）引导：“观察上面两组算式，你有什么发现？”

（4）引导：“用a、b、c代表三个数，你能写出上面发现的规律吗？想一想，认一认。”给出字母表示“（a+b）×c=a×c+b×c”，并用泡泡图的方式，请“智慧老人”说“这是乘法分配律”。

（5）引导说明运算律成立（如图2）。

（6）练习。

【加州版教材】

（注：加州版教材中的文字部分已经做了翻译）

（1）教材左侧用标签的形式呈现“学习目标：学会在方程和等式里使用分配律”，并提示“5年级标准：在有变量的方程和等式中了解并使用分配律”。

（2）正文第一部分为“小型实验室”。

先给出问题“任选下面的一种方法，求出两个矩形面积之和”，然后给出不同的计算方法（如图3）。

提示语：“你发现4×（6+3）=36，你也发现（4×6）+（4×3）=36，所以4×（6+3）=（4×6）+（4×3）。”

操作提醒：“①画一个模型图表示2×（4+6）=（2×4）+（2×6）。②写出一个与2×（5+7）相等的式子，解释你这样写的原因。”

（3）正文第二部分给出关键概念。

先介绍“分配律包含加法和乘法”，然后分别用文字和符号（包括数字和字母）给出乘法分配律的形式。文字表示大致为：“一个数乘以和，就是每个加数分别和括号外的数相乘。”数字与字母的表示为。

（4）正文第三部分是使用分配律的例子，包含计算中的例子和生活中的例子。

计算中的例子是“4×58=4×（50+8）”，并在计算过程中提醒每一步计算的依据。大致如图4所示。

生活中的例子是“有超过一千万人在旧金山的渔人码头参观过蜡像。蜡像博物馆的门票是每个学生5美元，公共汽车票是每个学生3美元，30个学生一共应付多少美元？”教材同样呈现了两种方法，同时在使用分配律计算的时候给出每一步的计算依据（如图5）。

（二）研究方法

选取由同一位教师任教的两个平行班进行等组对比实验，A班学生使用北师大版教材自学“乘法分配律”内容，B班学生使用加州版教材自学“乘法分配律”内容，时间为30分钟，无引导和讨论，在自学前后进行检测。两次检测收回有效问卷为A班（51/50）、B班（49/47）。对学生的回答按统一标准分类、统计数据后进行分析比较。

二、研究结果与分析

乘法分配律是客观存在的运算规律，两个版本教材的呈现均重点着力于规律的表示、解释和应用三个方面。因此，本研究聚焦以下四个主要问题。

（一）两个班级会表示规律的人数是否有差异

会表示规律指学生能用自己喜欢的方式正确表示乘法分配律，可以是文字描述、符号表达等方式。A班在自学前、后能正确表示规律的人数分别为6人、28人，B班分别为4人、31人。

对比两组数据发现，两个班级在自学前会表示规律的人数差异不显著[c2（1，N=100）=0.360，p>0.05]，表示两个班具有可比性，在自学后差异也不显著[c2（1，N=97）=1.008，p>0.05]。

以上分析说明，这两个版本的教材对学生自学后是否会表示乘法分配律无显著影响，可能是因为学生在学习交换律和结合律时，积累了大量表示规律的经验，所以对这一内容较易迁移掌握;虽然在“表示规律”的呈现上，加州版教材多了文字描述这一内容，但分析学生的回答后发现，即使是用加州版教材自学的学生，也只有个别愿意选择用文字描述规律，且很难描述清楚。由此看来，用文字描述规律对小学生来说的确太过困难，所以北师大版教材对这一内容并没有要求[4]。

（二）两个班级会解释规律的人数是否有差异

会解释规律指学生对乘法分配律的等式能做出正确的意义解释。A班在自学前、后能做出正确解释的人数分别为3人、20人，B班分别为3人、30人。

对比两组数据发现，两个班级在自学前会表示规律的人数差异不显著[c2（1，N=100）=0.003，p>0.05]，表示兩个班具有可比性，在自学后B班会解释规律的人数显著高于A班[c2（1，N=97）=5.508，p<0.05]。

也就是说，自学加州版教材后，能正确解释规律的人数更多。

（三）两个班级的学生解释规律的方法是否有差异

在解释规律方面，两个班级有显著差异，那么在方法上是否也有差异呢？由于两个版本教材在“规律解释的方法”呈现上有不同侧重，学生共出现了以下五种解释方法：计算结果、点子图、乘法意义、面积模型、生活实例（如图6），其中后四种为正确的意义解释方法。

通过以上对比分析可以发现，在解释规律时，使用加州版教材自学的学生正确人数多但方法单一，使用北师大版教材自学的学生正确人数少但方法多元，这和教材的呈现内容不无关系。加州版教材先由面积模型引入，紧接着设置两个小问题启发学生模仿使用面积模型解释规律，集中的练习使学生对这一方法掌握牢固。而北师大版教材对规律的引入和解释相互独立，学生可能对内容之间的联系似懂非懂，所以虽然有用点子图和乘法意义解释规律的学生，但数量却不多。从乘法意义的角度理解规律，北师大版教材在二、三年级已有铺垫，但学生自学后掌握的情况依旧不乐观，可能是铺垫时并没有出现“乘法分配律”这个名称，让学生在自学时难以对旧知实现自动链接。

（四）两个班级的学生会应用规律的人数是否有差异

在规律的应用方面，本研究主要考查两个方面：第一，应用乘法分配律进行简便计算，包括规律的正向和逆向应用。对于a×（b+c）=a×b+a×c，将等式左边转化为右边的形式进行计算称为正向应用，逆向应用则刚好相反;第二，结合规律解决实际问题。对给出的诸如服装购买的问题，学生能否给出两种解法并做出正确的意义解释。

1.应用规律简算的人数是否有差异

两个班级在自学前、后会应用规律进行简便计算的人数如表2所示。

两个版本教材均有一道正向应用规律的计算例题，而学生运用北师大版教材自学时正向应用规律简算方面的效果更好，这或许与数据选择有关。北师大版教材的例题在使用乘法分配律时明显降低了计算的难度，使得学生在自学时对规律的简算用途更加明确，当题中出现特殊的“配对数字”时，学生马上就能提取规律加以应用。而加州版教材的例题，即使不用乘法分配律也能口算得出答案，所以学生反而忽略了规律的应用。在逆向应用方面，加州版教材虽然没有相关例题，但两个班级差异不显著，可能学生用不完全归纳法表示规律时，已有了观察算式“形”的经验，对算式中出现相同乘数时已能自主逆向应用规律进行简算。

2.应用规律解决实际问题的人数是否有差异

A班在自学前、后能正确解决实际问题的人数分别为5人、8人，B班为6人、11人。

对比两组数据发现，两个班级在自学前会应用规律解决实际问题的人数差异不显著[c2（1，N=100）=0.152，p>0.05]，表示两个班具有可比性，在自学后差异也不显著[c2（1，N=97）=0.843，p>0.05]。

以上分析说明，不同版本的教材对学生自学后是否会正确解决实际问题并无显著影响。分析学生的回答发现，大部分学生只会使用一种方法且难以与乘法分配律相联系，可能教材呈现的大多是规律的符号性应用，而从实际意义的角度理解规律并加以应用的内容，对学生来讲自学难度比较大，需要教师在教学时加以点拨启发后学生才能掌握。

三、启示

通过上述分析，得到对我国“乘法分配律”教材编写的两点启示。

（一）可用面积模型作为引入

通过对比发现，相较于北师大版教材铺瓷砖的生活情境，加州版教材以面积模型引入，直观简洁，学生自学效果更好，且在解释规律时，B班学生对面积模型的运用也更灵活。因此，我国教材可以生活情境为背景，配合出示面积模型作为引入，既能降低自学难度，也对规律解释的方法做了补充。如先呈现面积模型，在学生充分理解的基础上，再向乘法意义、生活原型等方法发散，促进方法间的融会贯通，加深对规律的多元理解。

（二）适当调整例题题型

在应用规律解决实际问题方面，两个版本的教材，学生自学效果均不理想，即使加州版教材还有一道类似的例题，也并没有表现出明显优势，说明学生在这类问题的自学上存在较大困难，并且对于逆向应用规律进行简便计算，学生似乎能“无师自通”。而北师大版教材仅出示两道计算例题，将解决生活实际问题全部放在习题中，无疑增加了这类问题的理解难度。因此，建议前移实际问题，以此作为例题，将逆向应用规律放在习题中，提高例题的“效率”，让教学重点更加突出。

参考文献：

[1] 胡典顺，薛亚乔，王明巧.中国和美国小学数学教材中问题提出的比较研究[J].数学教育学报，2016，25（4）：37-41.

[2]刘坚，孔企平，张丹.义务教育教科书数学（四年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[3]Macmillan McGraw–Hill Education. California Mathematics（Grade 5）[M]. NewYork：MacmillanMcGraw–Hill Education，2008.

[4] 刘坚，孔企平，张丹.义务教育教科书教师教学用书数学四年级上册[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

（广东省深圳市宝安区安乐小学   518101）