“深度学习”和“深度教学”应当说是教育领域当前最大的热点之一，更在一线教师中产生了广泛的影响，对此从任何一本教育类刊物就可清楚看出。正因为此，我们就应切实加强这一方面的引导工作，包括围绕这一主题对一线教师如何更好地实现自己的专业成长做出进一步的分析。以下主要针对数学教师特别是小学数学教师提出若干看法和建议。

笔者首先强调这样一点：作为一线教师，我们应当十分重视新的理论思想的学习，从而获得有益的启示以改进教学，包括努力提高自己的专业水准。但与简单的“引经据典”相比，我们又应更加重视自己的独立思考，特别是应切实立足自己的专业很好地去弄清相关理论的主要含义，这究竟又为我们改进教学提供了哪些新的重要启示。

正因为此，普通的教研文章就没有必要对“深度学习”的“来龙去脉”做出全面概括，如“20世纪50年代中期，瑞典学者费尔伦斯·马顿第一次提出‘深度学习……国内首次介绍‘深度学习的是上海师范大学教育系的何玲、黎加厚……”[1]因为，即使我们完全不去考虑相关的介绍是否正确、全面，就广大一线教师而言，历史的追溯应当说也不具有特别的重要性，而应当更加重视对概念本身的分析与理解。事实上，这或许就可被看成先前曾一度流行的这样一种“套话”的现代翻版，即任一教研文章都必须从教育的整体形势谈起，而如果不这样做，好像就显示不出作者的理论高度。

当然，对概念的具体分析，我们又不应局限于简单地去列举各种相关的论述，而应通过综合分析与深入思考做出自己的理解或解读。特别是，如果相关概念并非源自自己的专业，而是一般的教育概念，我们就更必须从专业的角度对此做出进一步的分析。显然，本文所论及的“深度学习”和“深度教学”都属于这样一个范围，这就是我们为什么又要提出“数学深度学习”与“数学深度教学”这样两个专门概念的主要原因。

就这方面的具体工作而言，笔者提出这样几条具体建议：

第一，無论就一般的“深度学习”和“深度教学”或是更专门的“数学深度学习”和“数学深度教学”而言，为了很好地弄清它们的具体含义，我们都应特别重视比较的工作，也即应当将相关概念与其他一些密切相关的概念特别是直接对立面联系起来加以考察。

例如，面对以下论述我们或许就应首先思考这样一个问题，即究竟什么是“深度学习”的直接对立面。“所谓深度学习，就是指在教师的引导下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心地积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。”在笔者看来，这或许也就是相关作者做出以下解释的主要原因：“首先，这句话强调的是，深度学习是教学活动而不是一般学习者的自学活动……其次，这句话强调学生有意义的学习过程……我们所说的有意义的学习……更强调有意义的学习的教育性、发展性、目的性——无论是教学目标、教学内容、教学方法，还是师生间的互动，都应该是有教育意义的，是积极健康的培养人的过程。”[2] 32-33

但这难道不正是全部教育教学工作最基本的一条准则吗，即任何教学活动“都应该是有教育意义的”。那么，现在提倡“深度学习”究竟又为我们带来了哪些新的启示？或者说“深度教学”究竟“深”在哪里？

那么，以下的论述显然也过于空泛，从而就很难引起人们的共鸣，更不用说有认真学习的意愿。“深度学习‘深在哪里？首先‘深在人的心灵里，‘深在人的精神境界上，还‘深在系统结构中，‘深在教学规律中。”[2] 36-37另外，我们显然也可从同一角度对这样一个工作模式做出自己的评价，即认为所说的“专业化”可以统一归结为“一般性理论+本学科的教学实例”;恰恰相反，我们还是应当更加重视真正的专业分析，也即很好地去弄清究竟什么是“数学深度学习（教学）”的主要含义。

第二，相对于“数学深度学习”，我们又应更加重视“（数学）深度教学”这一概念。因为，如果教师未能做好“深度教学”，我们的学生显然就不可能真正做到“深度学习”。当然，这两者又不应被看成互不相关的，特别是我们在对“（数学）深度教学”做出具体界定时，必须坚持这样一个准则：“一切教学工作都是为了促进学生的发展。”

也正是基于上述认识，与各种刊物上经常可以看到的各种“理论性”论述相比较，笔者就更加欣赏这样一段来自一名普通教师的言论，尽管她的文章并不是专门针对“数学深度学习”立言的，而且，她所直接论及的也是“深度学习”，而非“深度教学”。“数学是一门发展思维的学科，而深度学习指向的正是学生思维的深入发展。”[3]当然，我们还应依据数学思维的特性对此做出进一步的分析和解读：所谓“数学深度教学”，就是指教师应当通过自己的教学促使学生深入地进行思考，并能逐步提升思维的清晰性、全面性、合理性和深刻性等。[4]

第三，相对于“理论指导下的自觉实践”这一传统的定位，作为一线教师，我们应当更加重视理论与教学实践之间的辩证关系，特别是应努力做好“理论的实践性解读”与“教学实践的理论性反思”。[5]

因此，这也正是笔者引用以下各个实例的主要原因，尽管相关文章未必集中于“数学深度教学”，其中所提出的建议也未必十分正确、完整，但我们仍可从中获得关于如何做好“数学深度教学”的重要启示。

【例1】

相对于一般性的数学作业，“探究性作业”显然更加有益于学生积极、主动地进行学习。以下就是浙江省特级教师刘善娜针对“交换律”的学习设计的两个“探究性作业”[6]。

作业1：你有办法不写“交换律”，却让别人看到“交换律”吗？你能用几种方式表示出“交换律”？可以画一画、写一写哦！

作业2：我们经历“举例—发现—验证”的过程，得到了加法交换律，又通过“大胆猜想—举例验证”否定了减法交换律和除法交换律，得到了乘法交换律。经历了这些学习过程，再看下面的几组算式，算一算，你发现了什么？想到了什么？你会举例验证吗？请把你所有的想法写下来。

（2+50）+20=        2+（50+20）=

（8+5）+5=                 8+（5+5）=

（18+4）+6=        18+（4+6）=

还应指出的是，按照通常的理解，“探究题”的教学当然应当特别重视放手让学生进行探究，但刘善娜老师在此又突出地强调了这样几点：（1）问题驱动的探究性作业设计;（2）突出思考和表达的探究性作业设计;（3）多样态的探究性作业设计。她为此提供了如下理由：“一方面，思维的过程只有被看见，教师才能有针对性地启发、训练学生的思维，最终发展学生的思维品质;另一方面，学生在完成探究性作业的过程中，也可以进行自我的思维训练和优化。无论学生的描述是否正确，当他要呈现自己的想法时，总要在脑海中进行一番梳理。这一番梳理，本质上就是反復的自我解读、自我审视与自我调整，也就是自我思维训练，实现的是思维能力的提升。”“多走走长路，让学生多表达表达，目标的指向并不是结果，而是这个过程中思维的训练，表达思维过程的能力的提升。”[7]

显然，这也清楚地表明了相关努力与“数学深度教学”之间的重要联系。

【例2】

尽管以下实例集中于“数学解题教学”[8]，但相关的教学设计仍可被看成很好地体现了“努力促进学生深入进行思考”这样一个思想。因为，这一设计的主要目标并不是帮助学生正确解答“同步作业本”上与《商的变化规律》教学配套的各个习题，而是集中于引导学生积极地去从事“商的变化规律”的研究。而且，后者主要也不是指引领学生按照事先设计好的路径去发现教师希望他们发现的“商不变”这样一个规律，也即“将‘商不变作为一种特定的发现来对待”，而是将教学重点转移到“被除数和除数的变化会对商产生什么样的影响”这一具有更大普遍性的问题，从而涉及“变”与“不变”的各种情况，也即达到了一定的认识深度。

师：我们这段时间在学除法，我写几道题大家算一算。

教师先板书“16÷8=”，请学生口答并板书答案。继续板书“160÷8=”。

师：现在等于几呢？

学生基于现在的水平，马上一起回答：等于“20”。教师写出答案后继续板书“320÷8=”，询问答案，板书“40”。继续完成“640÷8=”的计算。此时形成一组板书（如图1）。

师：请大家看一看这些算式，有没有特殊的地方？

生：除数都是8……

师：除了“除数都是8”，你还有什么发现吗？

生：我发现被除数都是乘2，商也一样……

师：这个发现不简单……谁再来把这个发现讲一遍？……

学生讲的时候，教师配合板书进行标识（如图2）。

师：谁还有新的发现？（见学生没有反应，教师提醒）想问题有时候需要倒过来想。

反应快的学生马上举手了。

生：这些算式倒过来看就是除数不变，被除数除以几，商也除以几……

师：现在谁能把这个发现合起来说一说？

学生独立思考后各抒己见，之后统一说法……

师：学到这里，你们心里产生什么问题了？

生：乘或除的这个数能是0吗？

这是意料之外的，不过都是那么真实。师生一起讨论，发现不能是0。教师板书：0除外。

……

师：谁还有不一样的问题？

生：如果被除数不变，除数乘几，商会怎么变化呢？

……

师：学到现在，你们心里有没有新的问题产生呢？

生：刚才都是一个数在变，如果两个数都变，会怎么样？

（略）

显然，上述设计还有这样一个优点，即特别重视学生提出问题能力的培养，笔者以为，这事实上也应被看成“数学深度教学”的又一重要含义。

【例3】

正如人们普遍认识的，“问题引领”是我们实施“深度教学”十分重要的一环。也正是基于这样的认识，以下的教研实践[9]就值得我们引起高度重视。因为，这不仅具有超出相关论题（“平行四边形的面积”的教学）的普遍意义，也直接关系到了这样一个更重要的问题：什么样的问题才能“引领学生深入进行思考”？以下就依据相关的评论性文章[10]对此做出简要分析。

第一，应当聚焦于学生的“真问题”。就“平行四边形的面积”的学习而言，“多数学生受长方形面积公式负迁移的影响，最容易产生的想法是‘邻边相乘”，因此，我们就应将此作为教学的直接切入点。因为，只有聚焦于学生的“真问题”，才能激发他们积极进行思考。“学生的学习经验，我们不仅要敢于暴露，而且要尽早暴露，因为暴露得越早，就会越快引发学生的关注，激起学生的探究欲望，学生的时间、空间也会越充分，教学的针对性就更强。”

第二，为了促进学生进行深入思考，“首先（应）有足够的时间让学生独立思考，形成自己的想法;其次让学生充分表达自己的想法，教师不做裁判，以引发学生间的争议;再次引导学生进行质疑，对猜想所得的结论进行验证;最后让学生‘回头看走过的路，对探索过程进行反思”。

第三，在很好地落实学生主体地位的同时，教师也应发挥重要的引领作用。例如，就目前的论题而言，我们就应引导学生认真地思考这样一个问题：“是否所有的平行四边形特别是那些‘斜而长的平行四边形，都能够通过转化成长方形求得面积？”这不仅有助于学生更好地掌握相关的结论，也有益于他们深入认识“割补法”的本质，从而由单纯的“解题论题”上升到“解题论法”，也即达到一定的认识深度。

综上可见，与简单地套用各种理论相比，我们应当更加重视密切联系自己的教学实践积极地去开展研究，包括通过认真的总结和反思，很好地实现理论与教学实践的积极互动。

最后，作为全文的结束，让我们再转向这样一个问题：如果说诸多教学实践都可被看成“数学深度教学”的具体体现，那么，我们又有什么必要再去提倡“数学深度教学”，或者说，后一工作究竟有什么样的意义？

上述关于理论研究与教学实践积极互动的思想事实上已为此提供了具体解答：这不仅有益于我们由这一方面的不自觉状态转向更自觉的状态，也为我们更好地实现自身的专业成长，包括进一步改进教学指明了努力方向。

也正是基于这样的认识，笔者愿意再次重申自己关于“数学深度教学”的以下主张，希望能引起广大一线教师的重视：数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，我们应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人。[11]

当然，上述主张不能被看成已为“数学深度教学”提供了最终解释，从一线教师的角度看，我们又应更加强调这样一条真理“教育贵在坚持”，这也就是指，我们应当通过自己的独立分析认准努力的方向，而且，一旦认准了方向，就应持之以恒地去进行工作，包括通过认真的总结与反思不断深化自己的认识，从而将自己的教学工作做得更好！

附录：一个值得研究的问题

就小学数学教师的专业成长而言，江苏省南通地区的张兴华老师及其众多弟子的成长显然是很好的范例，相关经验更值得大家认真学习。与此相对照，笔者在此则要特别提及这样一个现象：浙江省近年来涌现出一大批年轻优秀的小学数学教师，包括上面已提到的刘善娜、何月丰、顾志能、袁晓萍等。这也应当引起我们足够的重视：这一现象是如何形成的？我们可由此获得关于教师专业成长的哪些重要启示？希望大家都能结合自身的工作总结反思，在这方面做出认真的研究，从而促进更多年轻教师获得成长。

参考文献：

[1]楊国华.数学经验课堂背景下深度复习之管见[J].小学教学设计（数学），2021（5）：34-36.

[2]刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养（理论普及读本）[M].北京：教育科学出版社，2018.

[3]江芝芬.溯本求源，让深度学习真正发生：以特级教师吴正宪《小数的意义》一课为例 [J].小学教学设计（数学），2021（4）：64-67.

[4]郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践[J].数学教育学报，2019，28（5）：24-32.

[5]郑毓信.小学数学教师专业成长的“中国道路”[J].数学教育学报，2018，27（6）：1-6.

[6]刘善娜.基于认知加工层级，设计数学探究性作业：以《交换律》一课的作业为例[J]. 教育视界，2021（4）：37-41.

[7]刘善娜.数学探究性作业：我的探索与研究[J].教育视界，2021（4）：33-36.

[8]何月丰.分析学生解题 助推教学改进[J].小学教学设计（数学），2021（5）：20-23.

[9]斯苗儿，朱国荣，顾志能，等.教学，当直面学生学习的疑惑：关于“平行四边形的面积”一课所思所行[J].小学数学教育，2015（1/2）：110-113.

[10]柏德华.我们需要什么样的教学研究：以斯苗儿等《教学，当直面学生学习的疑惑》一文为例[J].教学月刊·小学版（数学），2020（7/8）：99-101.

[11]郑毓信.数学深度教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

（南京大学哲学系   210093）