蒋礼林，陈 政，孙全亮，高友君，陈 勤

(1. 贺州学院 科研处, 广西 贺州 542899;2. 贺州学院 材料与化学工程学院, 广西 贺州 542899; 3. 贺州学院 人工智能学院, 广西 贺州 542899;4. 贺州学院 教育与音乐学院, 广西 贺州 542899)

“电路分析”是一门融合物理学和高等数学于一体，适用于电子信息、通信工程和物联网等本科生必修的基础理论课程，主要阐述电路的基本理论、概念和分析方法，也是信息类学生进一步学习专业课程的先驱[1-7]。近年来，基于“电路分析”的微课程设计和“金课”建设的教学改革和人才培养课题提出了一些新的观点[5-6,8]。二阶动态电路时域分析作为“电路分析”的重要教学内容，它涉及抽象的物理知识和严谨的数学推导，特别是对初学者十分难于理解[5,7,9-12]。也就是说，如何理解二阶微分方程两个特征根的特点，就决定了能否正确理解和掌握二阶电路响应中自由分量的变化规律[7,10,13-14]。MATLAB (Matrix Laboratory) 作为一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，具有实用性、科学性、简洁性、有效性和先进性；它的另一个特点是语言结构简单、易于学习和操作，是执行教学、科学研究、仿真、工程设计和数值计算等工作非常有效的计算机语言工具[15]。由此可见，“电路分析”具有理论性强、实践性高、内容抽象、电路繁多、学生难于理解和教师难于施教的共同特点[7,9,15]。然而，这些特点对“电路分析”专业基础课的教、学、研和人才培养产生了一定负面影响。因此，为提高“电路分析”教学和人才培养质量，开展了以二阶动态电路经典解法和MATLAB科学计算方法相结合的研究，通过选用综合性的数值计算实例来深入阐述求解二阶电路的方法和课程设计，培养学生全面理解、掌握和运用相关知识来解决实际二阶动态电路的能力，进而激发学生的动手、灵活思维和创新能力，同时为深入学习电子信息领域相关专业课程和分析方法奠定坚实的基础。

1 二阶动态电路实例

二阶动态电路是指含有两个动态性能不同的储能元件或者动态性相同的相互独立的储能元件组成的电路，且能用二阶常微分方程描述该电路的特性。如，图1所示是一个在t=0时刻S开关闭合的经典RLC串联电路。假设电容电压的初始值uC(0-) =10 V，电感电流的初始值iL(0-) =0 A，L=1 H，C=0.25 F，分别求解R=5 Ω、R=4 Ω、R=1 Ω和R=0时，电路中电容两端电压uC(t)和电感电流iL(t)的演化规律[7]。

图1 RLC串联电路示意图

根据KCL和KVL定律可得

(1)

(2)

(3)

(4)

(4) 式就是图1所示的RLC电路的自由振荡方程，其特解为零(即，电路没有强制响应)。因此，该RLC电路的自由响应为其电路的全响应。

(5)

对于没有强迫振荡RLC电路的二阶常系数齐次线性微分方程 (4) 的特征根的不同形式，其自由响应解的表达式不同，即所隐含的物理意义也不同。表1展现了RLC电路的自由响应解与其特征根的对应关系，其中所有自由响应表达式的经典求解可参考文献[7,9]。电路系统表现出振荡状态应归因于二阶常系数齐次线性微分方程 (4) 的特征根 (5) 式出现了两个共轭复根(虚根)，即RLC回路中电容器储存的电场能与电感线圈储存的磁能相互转换而产生的现象。

表1 RLC电路的自由响应解与其特征根的对应关系

(6)

由图2可见，这时电路的特征根是两个不相等的负实根。很明显，uC(t)≥0 (即为图1所示的参考方向) 且其振幅随时间t一直衰减到0，这说明在整个过程中电路处于过阻尼非振荡的单一E指数衰减和电容一直处于放电状态。然而，iL(t)≤0表示其实际方向与所选定的参考方面相反；并且当t≈0.5 s时，iL(t)达到负最大值约1.6 A。之后，iL(t)随时间t以多E指数衰减到0。在整个过程中，电容储存的电能转化为电阻R消耗的能量和电感L储存的能量。

图2 R=5 Ω时uC(t)随时间t的演化过程 (a)和iL(t)和R=5 Ω时iL(t)随时间t的演化过程(b)

同理可得第2种情况：当R=4 Ω时，uC(t)和iL(t)的表达式分别为

(7)

这表示电路的特征根是两个相等的负实根和电路处于临界阻尼非振荡衰减状态，即为过阻尼与欠阻尼的分界线。由图3可见，R=4 Ω(图3)与R=5 Ω(图2)的两种情况所对应的变化规律和能量转化基本类似。然而，当t≥0.5 s时考虑uC(t)和iL(t)的E指数衰减速率，R=4 Ω 明显快于R=5 Ω。

图3 R=4Ω时uC(t)随时间t的演化过程(a)和R=4Ω时iL(t)随时间t的演化过程(b)

第3种情况，当R=1 Ω时，uC(t)和iL(t)的表达式分别为

值得注意的事是，在这项研究中所有角度均采用弧度制。该方程的特征根是一对共轭复根，这表明：由于电阻不断消耗能量，所以电容的电场能与电感的磁场能相互交换，并且总能量越来越少，最终电路系统的总能量变为0。如，图4所示为R=1 Ω时uC(t)和iL(t)随时间的变化规律。可见，电容两端的电压uC(t)和流过电感的电流iL(t)的振幅在两条对称的E指数之间随着时间t演化做振荡衰减，并且最终衰减少为0。这可归因于初始的电场能在电容与电感之间相互转化，且最终所有能量被电阻R所消耗(即转化热能或其他形式的能量)。这种情形称为RLC电路的欠阻尼振荡衰减。

图4 R=1 Ω时uC(t)随时间t的演化过程(a)和R=1Ω时iL(t)随时间t的演化过程(b )

第4种情况：当R=0 Ω时，uC(t)和iL(t)的表达式分别为：

(8)

这表示电路的特征根是一对共轭虚根，即由于电路不存在电阻，并且电容与电感都不消耗能量，所以电路以初始时刻储存的能量在电容与电感之间周而复始地交换。如，图5所示为当R=0 Ω时uC(t)和iL(t)的变化规律，即uC(t)以正弦和iL(t)以余弦随时间t无衰减振荡变化。这归因于电阻不消耗能量 (R=0 Ω，初始电场能可在电容与电感之间完全相互转化。

图5 R=0 Ω时uC(t)随时间t的演化过程(a)和R=0 Ω时iL(t)随时间t的演化过程(b)

以上通过对RLC二阶动态电路4种情况的详细分析与讲解，能让学生对枯燥和抽象的二阶动态电路的教与学非常直观地理解，能激发学生用创造性思维去分析问题，从而有利于提高教学质量并输出高质量的人才。

2 MATLAB科学计算主程序

为了把二阶动态电路时域分析涉及的数学公式复杂性和物理内容抽象性直观地呈现给学生，所以基于MATLAB科学计算列出典型欠阻尼振荡衰减(第3种情况)的主程序。另外，其他3种情况的MATLAB程序只要在此基础上稍加修改就能实现运算。同时，学生亲自使用MATLAB编程并运用相关实例更有利于激发学生的动手能力和创新意识。以下为R=1 Ω时，uC(t)和iL(t)随时间t演化的MATLAB程序，本程序仅为相关的教学研究提供参考。

MATLAB源程序：

clc; clear; close all;

uc0=10; iL=0; L=1; C=0.25; %RLC电路的相关常数

R=[5 4 1 0];

alfa=R/(2*L); %电路的衰减系数

w0=sqrt(1/(L*C)); %无阻尼振荡角频率

wd=sqrt(1/(L*C)-(R/2*L).^2); %有阻尼衰减振荡角频率

t=0:0.01:10; %时间变量

k1=10.33; %积分常数k

fai0=pi*75.5/180; %积分常数初始相位角，并用弧度制表示角度

uc3=k1*exp(-alfa(3)*t).*sin(wd(3)*t+fai0); %电容器两端的电压uC(t)

iL33=-C*k1*w0*exp(-alfa(3)*t).*sin(wd(3)*t); %流过电感的电流iL(t)

plot(t, uc3, '-m', t, iL33, '-b', 'linewidth',2); %绘制二维数据图及参数设置

axis([-0 10 -12 12]);

xlabel('t/s'); ylabel('

Evolution of amplitude'

);

legend('

R=0, uc(t) Oscillation','

〗R=0, iL(t) Oscillation');

grid on

result=[t', uc3', iL33'];

save -ASCII -DOUBLE result.dat result; %保存计算数据，以便数据处理

3 课程设计

教学是教师与学生之间互动的传授知识与接受知识的重要过程。教师对课堂知识的有效设计与讲解十分有利于学生对知识的接受。基于对二阶动态电路经典解的分析和MATLAB程序的实现，设计二阶动态电路时域分析的课程，示意图见图6。该示意图由6个模块组成，即：实际电路、电路模型、构建元件电路图、求解方程、理论结果与数值结果。很明显，模块与模块之间是可逆的，即模块之间的关系为相互印证。从“构建元件电路图”到“求解方程”的讲授都能提高学生对物理、数学及工程问题的分析与理解。将复杂和抽象的“理论结果”转化为简单和具体的“数值结果”，更能加深学生对数学公式和物理内含的理解。这一环节的重要性体现在能培养学生全面理解、掌握和运用数学和物理知识解决实际RLC二阶动态电路问题的能力，进而激发学生的动手编程、整体思维和运用MATLAB创新解决问题的能力，同时为学生进一步深入学习电子信息领域相关专业课程和分析方法奠定坚实的基础。

图6 二阶动态电路时域分析的课程设计示意图

4 结论

通过使用MATLAB程序包对“电路分析”RLC二阶动态电路经典解的时域情况进行数值计算和物理内含分析，结果表明：相对于单调、复杂和乏味的纯数学公式，RLC二阶动态电路经典解的MATLAB科学计算更能有效地让学生理解和掌握数学与物理之间的内存联系，以及RLC二阶动态电路不同经典解所表达的物理意义。针对RLC二阶动态电路时域变化规律教与学的课程设计有利于学生理解经典解的求解方法和各元件之间能量的转化。因此，基于MATLAB科学计算对二阶动态电路的研究能很好地培养学生全面理解、掌握和运用相关知识解决实际二阶动态电路的能力，激发学生的动手、灵活思维和创新能力，同时为深入学习电子信息领域相关专业课程和分析方法奠定坚实的基础；同时，也可以为从事电子信息工程类的教学与研究人员提供交流与参考。