臧楠楠

摘要：参考SOLO分类理论对学生在学习中认知结构水平的划分，小学生在探索规律的过程中，通常需要经历三个认知阶段：直觉认知→关联认知→抽象认知。将这三个阶段视为学生发展和教学进程的“三级”，引领学生拾级而上地探索规律。《钉子板上的多边形》一课，具体的教学路径为：提供直观且精准的素材，以让学生更直接、更充分地暴露已有经验;设置串联的探索活动，带领学生一步步展开探究，自主发现联系并加以关联，形成有关规律的初步结论;引导学生利用数学符号得出一般规律并解释所得结论的一般性，从而建立规律模型。

关键词：探索规律;SOLO分类理论;直觉;关联;抽象

SOLO（Structure of Observed Learning Outcomes）分类理论是教育心理学家彼格斯及其团队在整合了布鲁姆的认知目标分类理论和皮亚杰的认知发展阶段理论基础上提出的评价方法，即利用前结构、单点结构、多点结构、关联结构和拓展抽象结构等五种不同的基本结构元素来描述、评价思维所处的层次。“探索规律”是小学数学课程的重要教学内容。参考SOLO分类理论对学生在学习中认知结构水平的划分，笔者以为，小学生在探索规律的过程中，通常需要经历三个认知阶段：直觉认知→关联认知→抽象认知。我们可以将这三个阶段视为学生发展和教学进程的“三级”，引领学生拾级而上地探索规律。下面结合苏教版小学数学五年级上册《钉子板上的多边形》一课教学，分享一些思考与实践。

一、直觉认知阶段：提供直观且精准的素材

直觉认知阶段展现的是学生对教学素材的直观感受，反映的是学生的已有认知经验。此时，提供给学生直观且精准的素材是非常必要的。学生能通过对直观素材的感知更直接地呈现已有经验。同时，精准的素材能够促使学生由易到难地在“最近发展区”内展开探究，使经验暴露得更加充分。

《钉子板上的多边形》一课，教师没有直接呈现教材中给定的图形和表格，而是让学生自己去观察图形、计算面积，思考多边形的面积可能和什么有关。具体教学过程如下：

师同学们，今天我们学习什么呀？

生钉子板上的多边形。

师是的。今天我们就用点子图来代替钉子板。点子图每行、每列相邻的2个点之间的距离是1 cm，那这样的1小格的面积就是1 cm2。奥地利有一个数学家叫皮克，有一天他在钉子板上围出了一些多边形，（出示图1）它们的面积你会算吗？

（学生尝试计算。）

师看着这些图形，皮克突发奇想：既然多边形是围在钉子板上的，那么多边形的面积会不会和钉子数有什么关系呢？同学们，你们觉得呢？

生应该有关系，钉子数越多，面积越大。

生没关系。图①和图③都是6枚钉子，但面积不一样。

生我觉得你说的不对。图①和图③虽然边上的钉子数一样，但内部的钉子数不一样。所以，面积和钉子数有关系，而且和边上的钉子数、内部的钉子数都有关系。

有教师在教学这节课时，直接向学生提出“内部钉子”与“外部（边上）钉子”的概念，即明确了面积与钉子数是存在关系的前提。不可否认，在多个变量中发现规律对五年级的学生来说存在难度，但学生是有自主探索的数学基础的——他们会算面积、会数钉子、会对比，并且还有旺盛的好奇心和求知欲。因而，我们应该牢牢地抓住学生的数学现实和直觉认知，在充分理解教材的基础上，有选择性地改编教材，提供给学生直观且精准的探索素材。这样的素材有助于学生将注意力集中在钉子上，也有利于后面教学环节中将多边形分类。通过对图1中①②两个图形的观察，学生不难发现，边上的钉子越多，面积越大;再对比①③两个图形，学生可以发现，边上都是6枚钉子，内部钉子不同，面积也不同，从而产生多边形面积与边上、内部钉子数都有关系的初步直觉。

二、关联认知阶段：设置串联的探索活动

关联认知阶段，学生需要从已有信息中提取有效信息，并整合所掌握的信息，为后续抽象认知做铺垫。这一阶段的认知重点在于对“联系”的发现。对此，教师应设置串联的探索活動，带领学生一步步展开探究，自主发现联系并加以关联，形成有关规律的初步结论。

《钉子板上的多边形》一课，在学生有了多边形面积与边上、内部钉子数都有关系的初步直觉后，教师引导学生分类别探究规律。具体教学过程如下：

师（出示下页图2、表1）观察这些图形，结合表中的数据，想一想：如何根据边上的钉子数算出面积？

生面积=边上的钉子数÷2-1。

师到此为止，我们是不是可以下结论：面积=边上的钉子数÷2-1？

生不能，我们还要研究内部钉子数是1、2……的情况。

师（出示图3）还是这些图形，我们把它们都往下拉1格，内部钉子数都变成了1。它们的面积和边上的钉子数你会填表吗？

（学生填表、汇报，得到表2。）

生面积=边上的钉子数÷2。

师到底对不对呢？同学们自己围一个内部钉子数是1的多边形验证一下。

（学生验证。）

师我们两次研究，经过验证，发现规律都是对的，那么两次研究得出的规律有什么相同的地方？

生都有“边上的钉子数÷2”。

为了帮助学生在探索规律的过程中更好地进行关联，教师在教材编排的基础上做了积极的尝试：其一，从内部钉子数为0的多边形开始研究（教材是先研究内部钉子数为1、2的多边形，再研究内部钉子数为0的多边形），串联所有情境;其二，统一所有的表格，去掉“内部钉子数”这一列，作用是便于对比联系，发现规律;其三，研究内部钉子数为1的图形，是在最原始的图形（内部钉子数为0）上拉动得到新图形的，可以帮助学生深刻体会形与形、数与形之间的联系。

三、抽象认知阶段：引导符号表达，建立规律模型

抽象认知阶段是指，学生不仅能够有效提取和利用所给信息，并且能对所学知识进行拓展、迁移和应用。这一阶段，要重点引导学生使用符号表达来建立规律的认知模型。

《钉子板上的多边形》一课，教师引导学生利用数学符号得出一般规律并解释所得结论的一般性，从而建立规律模型。具体教学过程如下：

师如果多边形内部的钉子数是2，你能猜一猜规律是什么吗？

生内部钉子数是1时，S=n÷2×1，下一个就应该是S=n÷2×2。

生内部钉子数是0时，S=n÷2-1 ，内部钉子数是1时，S=n÷2，所以我觉得应该是S=n÷2+1。

师公式应该是一般化的结论，请同学们验证一下我们的猜想。

（学生验证猜想。）

生我发现应该是S=n÷2+1，我围了内部钉子数是2的图形并计算了它的面积。

生我也觉得S=n÷2×2不对，这里“÷2”和“×2”抵消了，就是S=n，验证后显然不对。

师那么，内部钉子数还可能是3、4……你能猜一猜规律又是什么吗？

生老师，我已经发现规律了，就是S=n÷2+内部钉子数-1。

师这是他的发现，到底对不对呢？我们不妨分小组去验证一下。

（学生分小组验证，汇报得到表3。）

师如果用a表示内部钉子数，我们发现S=n÷2+（a-1）。为什么表中第2行发现的规律却没有后面的小尾巴？

生当a=1时，a-1=0，抵消了，所以没有小尾巴，和我们发现的规律不矛盾。

生一种是特殊情况，一种是一般情况。所以S=n÷2+（a-1）是正确的。

师（出示图4）这是南京紫金山的地图，你能尝试用今天发现的规律计算紫金山的实际面积吗？

（学生计算。）

在建立一般化数学模型的过程中，并不限制学生初步发现的表达形式，文字和字母表达都可以。通过特例发现规律时，学生用符号表示出猜想，并尝试验证，在尝试和调节中确定结论。最后，在测算紫金山面积的应用中，进一步发展符号表达能力和抽象能力。

参考文献：

[1] 刘秀凤.小学数学深度学习评价实证研究——基于SOLO分类理论[J].教育研究与评论（小学教育教学），2021（9）.

[2] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第二版）[M].北京：北京师范大学出版社，2006.