(广东工业大学 广东 广州 510080)

引言

目前，193 nm浸没光刻技术[3]一种常见的光刻技术。然而，随着临界尺寸(CD)的不断缩小，在工艺节点上浸没光刻已经很难满足当前半导体电路密度的增长的需求[4]。因此，运用分辨率增强技术(RETS)进一步提高光刻系统的图像精确度一直是该领域研究有效手段。适应矩估计方法(Adam Algorithm，Adam)结合了AdaGrad方法和RMSPro方法的优点，能够很好地适应梯度变化，能够自适应调整每次迭代的步长以优化迭代过程。它的主要思想是使用目标函数和约束条件定义或推导出代价函数，然后通过计算代价函数的梯度和选择合适的更新步长来确定最优化下降方向和大小。

一、矢量模型

光刻投影成像系统主要分为两个部分：投影光学效果和抗蚀效果。由阿贝成像原理[5]，基于部分相干光照明系统的投影光刻模型在光刻胶中的投影物像强度为[6]

(1)

其中，J(αs,βs)是位于点(αs,βs)处光源的强度，且JSS=∑(αs,βs)J(αs,βs)是所有对成像做出贡献的点光源强度之和。光刻胶抗蚀作用同样使用sigmoid激活函数来描述：

(2)

其中，a描述了激活函数的陡峭程度，tr表示激活的阈值。

二、Adam Algorithm算法

文中使用的的自适应矩估计方法Adam Algorithm结合了AdaGrad方法和RMSPro方法的优点，能够很好地适应梯度变化，自然地对步长进行自适应调整以加速优化过程。

算法流程：

1.计算代价函数(目标函数f(θ))并判断是否大于λ，若大于λ则进入下一步，反之则退出算法迭代；

2.更新变量:

k=k+1;

gt=θft(θt);(获得目标函数在t时刻对目标变量的导数)

mt=β1·mt-1+(1-β1)·gt;(更新一阶矩阵估计)

通过简化上述过程并定义优化变量为φ,对应的在t+1时刻的更新方式可以描述为：

(4)

其中，能量项ε=10-8有两个作用，一是避免由分母等于0导致的优化无法进行，二是保证优化的顺滑性和赋予优化跳出局部最小值的能力。

当我们考虑变量φ的绝对值时，有如下表达式：

(5)

另一种情况下，我们假设算法迭代经过一段时间后，一阶矩阵估计累积到了相当大的数值，且变量陷入了局部最小值。此时有t=t1,gt1≈0以及mt,vt≫gt，从而可以用下式表示t2时刻的梯度值:

(6)

三、实验结果分析

本组实验的正向模型采用基于分层媒介的矢量模型，主要研究的内容是:在相同的照明系统和初始化掩膜下分别使用SGD算法和Adam算法，比较两种算法的优劣。

我们给出了基于分层模型的SGD和Adam逆优化结果。其中，从左到右分别是照明光源、掩膜和投影物像，从上到下的三组实验是未优化实验结果、使用SGD优化的结果和Adam使用优化的结果。在相同条件下观察两组实验我们可以发现使用Adam算法的优化结果更好。

我们给出了SGD和Adam逆优化的代价函数。其中，横轴代表着算法迭代次数，纵轴代表代价函数的值，红色曲线和蓝色曲线分别代表使用SGD算法和Adam算法的代价函数变化。从结果中可以发现，Adam算法的优化曲线更加顺滑，因为它对梯度进行了很好的约束。

四、结论

实验结果表明，在同等条件下，Adam算法无论是从实验过程还是优化结果来讲均优于SGD算法，这是因为Adam算法能够很好地适应梯度变化，自然地对步长进行自适应调整以加速优化过程。克服了SGD由于步长小优化速度慢，步长大容易发散的缺点，然而Adam算法更新步长也是在较小范围内进行搜索，想要进一步提高计算效率就要从提高整体步长入手。