丁爱平

摘要：学生的头脑中藏着“沉默的问题”，这些问题是学生最真实、最隐秘的数学思考，是值得关注的教学资源。教师应沉潜到儿童思维的深处，直面“沉默的问题”，暴露学生的真实思考;回顾“沉默的问题”，提升学生的思维品质;激扬“沉默的问题”，促进学生的自主发展。

关键词：沉默的问题真实思考思维品质自主发展

在统计学中，有一种数据叫“沉默的数据”，也叫“看不见的数据”，是指那些缺失的样本、不容易被人们发现的数据。在很多情况下，“沉默的数据”恰恰是最为重要的参考依据。与之相类似，在小学数学教学中，有一种“沉默的问题”。

在教学实践中，经常存在一些不容易被教师发现的学生的问题，因为得不到关注，或者来不及思考，有的学生就将其放在自己的学习“暗箱”中。这类问题，我们称之为“沉默的问题”。它具有以下几个特点：一是儿童化，带着鲜明的儿童特质;二是个性化，提出问题的角度与众不同;三是潜在性，不易察觉、隐而未发;四是非结构化，是随机生成的，呈散点状分布。打开学生数学学习的“暗箱”，关注“沉默的问题”，有利于教师洞见学生思维的最深处，發现新的学习素材和学习方式。

一、直面“沉默的问题”，暴露学生的真实思考

（一）甄别问题速抉择，突出“快”和“准”

在课堂教学中，学生的问题被“沉默”，很多时候是因为教师面对即将席卷而来的思维风暴选择了避让。表面上看，似乎获得了安全感，实则错失了让学生经历思维激烈交锋的珍贵的学习体验。学生的问题只在一瞬间闪现，教师要快速抉择：是否锁定问题、引发思辨？

例如，教学苏教版小学数学五年级下册《认识方程》一课，教材例2（见图1）的右边一幅图，天平下面写着“150”。

显然，编者的意图是学生通过观察天平左边的物体，写出x+50=150，然后在若干式子的分类中揭示方程的含义（见图2）。

试教时，我只出示了天平图，让学生自由写式子。绝大多数学生写的是x+50=150。小L等几个学生写的是x=100，他们觉得x+50=150更有道理，也就没有举手提问。不提问，不代表没有问题。

“x=100”这个式子到底是不是方程，其实是有争议的：一种观点认为它不是方程，因为它并没有让未知数x与已知数建立加减乘除等的运算关系;另一种观点认为它是一种特殊的方程，相当于x×1=100，确实在未知数和已知数之间建立了等量关系。曾有专家把形如x=100的式子称为“不好的方程”。

面对这一问题不能避让，因为在后续的“列方程解决实际问题”的学习中，还会出现x=12+24这样的“方程”。

当然，并非所有学生的问题都要在全班交流。如果与本节课的学习内容关联不大，或者一时半会儿根本解释不清，容易引起负面强化，则不宜在课堂上浓墨重彩，可以私下跟学生交流。关注“沉默的问题”，要突出“快”和“准”，捕捉宝贵的生成性学习资源。

（二）分析问题说真话，突出“容”和“赏”

当有价值的问题被推上风口浪尖后，思维的暴风雨顷刻而至。接下来，教师应抱着包容、欣赏的眼光组织学生开展思辨。

还是《认识方程》这节课。当我呈现“x=100”后，有学生质疑：x=100这个式子是错的，天平的两端明明有50克的砝码，但是这个式子没有写进去。小L认为，天平两端都有50克的砝码，索性抵消掉，x=100可以表示两边物体质量的大小关系。那么，x=100是不是方程？经过辩论，很多学生赞同它是方程，只是这个方程“太瘦了”，是从方程x+50=150“减肥”来的，叫它“瘦子方程”。

相比于专家所说的“不好的方程”，我更喜欢学生命名的“瘦子方程”，因为它更加直观、形象。方程就是在复杂的数量关系中寻找未知数与已知数之间的等量关系，有一些原始方程的结构很丰富，利用等式的性质通过一次次化简，最终能求得方程的解。在总结这场辩论时，我充分肯定了学生的思考，并且指出：今天是第一次学习方程，方程的含义可不仅仅是“含有未知数的等式”这个形式上的意思，它强调一种等量、平衡的关系，顺向思考，大家以后会在解决实际问题的过程中慢慢体会。

如果教师选择屏蔽“沉默的问题”，课会上得非常顺畅，但学生的头脑中会藏着疑惑：“我怎么跟别人不一样？错了吗？”如果问题一次次地被忽视，学生丧失的将是探索的勇气、学习的兴趣、自我的发现，他们的头脑也终将变成他人思想的“跑马场”。每一个学生都渴望被关注、被宽容、被赏识，学生“沉默的问题”需要被激发、被盘活、被点燃。

二、回顾“沉默的问题”，提升学生的思维品质

当下有很多学生会提前学习，却根本没有时间停下来深入反思曾经遇到的问题。很多问题尚未被深刻反思，就被下一轮接受性学习挤占。这样的学习只能叫“在学习”，而不是“会学习”。这样的学习下，学生很难拥有持久的学习力。回顾“沉默的问题”，不是为了复习该问题的答案，而是引导学生站在学习的时间轴上寻找前后知识间的联系，学会反省、学会总结、学会学习。

（一）专题回放，开展焦点式访谈

在小学数学教学中，有的“沉默的问题”虽然出自个别学生，但是具有挑战性，单靠学生的独立探究很难解决。这就需要教师设计专题回放，焦点式访谈，尝试打开思维的结。

例如，某次家庭作业中有一道题：“李叔叔的养鸡场今天一共收了260千克鸡蛋，每15千克鸡蛋装一箱，可以装多少箱？还剩多少千克鸡蛋？”多数学生列式260÷15=17（箱）……5（千克），有几个学生列式260÷15=260÷5÷3=52÷3=17（箱）……1（千克）。

学生都知道260÷15=17（箱）……5（千克）一定是正确的，也在前一阶段的学习中初步建立了模型：当除数是两位数的时候，可以转化成连续除以两个一位数，这样计算更简便，如270÷18=270÷9÷2=15。但是，260÷15=260÷5÷3=52÷3=17（箱）……1（千克），余数怎么变小了呢？计算过程没问题，难道之前的规律有限定范围，不能有余数？

我未做讲解，而是布置了一个专题任务研究，让学生用图文解析的形式表达自己对这道题的理解，有一个“回炉”问题的过程。第二天，呈現学生的图文解析（见图3、图4），请三个“小老师”讲解。但是，依然有五个学生百思不得其解——鸡蛋怎么变少了呢？

对新知识的理解是学习者的心智表征发生改变的结果，这种改变是根本性的。曾经有一位专家说过，当学生连续听了三遍后依然不能理解，可以选择暂时放弃。在学习中，学习者往往要经历冲突和干扰阶段，经历思辨、连接、断裂、交替、浮现、稳定、调用等步骤。只有学习者才能炼制出与自身相容的特有意义。换句话说，学习者不是单纯的学习“参与者”，而是他所学知识的“创造者”，别人永远无法替代他去学习或者一厢情愿地加快他学习的进程。因此，我在第三个“小老师”讲完后，选择戛然而止：“不明白没关系，等我们上五年级了再回来‘找鸡蛋。”五个学生的疑惑暂时搁置，归于沉默。

（二）阶段回顾，培养反省性思维

学完“小数除法”之后，全班重启“找鸡蛋”的回忆，发现：260÷15=17.333…，是一个循环小数，260÷15=260÷5÷3=52÷3=17.333…，结果相等;当年的余数并不是最终的计算结果，而是一个过程性的记录，52÷3的余数是1，记录的是之前按照5千克装（260÷5），余下的1箱（5千克）。至此，当初被“沉默”的问题再次展现，很多学生都感受到数学学习是前后呼应的。

再往后，学习了除法、分数和比的联系，还会再次重启“找鸡蛋”的回忆，也许又是一番别样的学习感受。

回顾“沉默的问题”是一种学习策略，旨在引导学生在新一轮的数学思考中打开学习的“暗箱”，敞亮模糊的认知，萃取数学知识的本质，凝练数学思想方法，形成持久的学习力。经常回顾曾经的困惑，有利于培养学生的反省性思维。教师应摆脱工具理性的思维方式，还给学生更多从容不迫地反思、联想、琢磨的机会，培养学生的反省性思维，促进学生的数学学习。

三、激扬“沉默的问题”，促进学生的自主发展

为什么有的学生数学学习的兴趣越来越低迷？一个主要原因就是他们的心里隐藏着很多问题，无法独立解决，又担心自己的问题太肤浅，不好意思问师长。一个个“沉默的问题”逐渐销声匿迹，学生学习的主动性越来越差。教师要让学生大胆地表达“沉默的问题”，焕发自主学习的精气神，在学科智识、情感态度、价值观等方面都有所发展。

（一）转变主体地位，处理好“我回答”与“我问你”的关系

以单元练习设计为例。传统意义上的一份单元练习一般是参照双向细目表，按照7∶2∶1的题目难度分配设计的。结构化的练习题设计是面向全体学生、以教师为主体的单方调控与统一操作，为教学质量做必要的测查与评估，学生所做的是“我回答”。除此之外，还可以尝试一种非结构化的以学生的问题为中心的练习题设计，让学生来说“我问你”，两者互为补充。在学习的任何阶段，都可以开展“我问你”的活动。命题人是自主报名的学生，命题范围是自己一直想不明白的、想要探究的问题，题量自由设定，测试对象是自主报名的学生。评价反馈和奖惩措施都由命题人组织“亲友团”完成。

例如，学完平行四边形、三角形、梯形的面积之后，学生出了一道练习题：方格纸上有一个长是6、宽是4的长方形，它是由一个图形转化来的，那个图形可能是什么样子的？为什么要出这道题？这位学生说：“给出一个平行四边形，画出转化后的长方形，闭着眼睛都会画。我就反过来想，知道了转化后的长方形，是不是只要凑出面积是24平方厘米的图形就可以？有没有不同的形状？如果只是凑凑，那这样的转化还有什么意思呢？”学生的头脑中原来有这么多有价值的问题！

（二）叩问内心独白，处理好“使人聪明”与“教人向善”的关系

我推荐学生阅读数学故事《网开一面》。故事的主要内容是这样的：

古人围猎不会把野兽赶尽杀绝，都会留给野兽逃生的机会。用一根40米的绳子来围猎。假定野兽事先并不知道哪面有网，并且朝四个方向均匀逃散。如果围成正方形（如图5），由于四面都有网，野兽触网被捕获的可能性是四分之四;正方形的面积是（40÷4）2=100平方米，假设此时的捕获量为“1”。如果“网开一面”，“围成”的正方形有三个面有网，野兽触网被捕的可能性是四分之三;（40÷3）2÷4×3=133.3333…，捕获量约为“1.3”。如果“网开三面”，“围成”的正方形只有一个面有网，野兽触网被捕的可能性是四分之一;（40÷1）2÷4×1=400，捕获量为“4”。

小J有一个问题想不通：“故事里说古人留给野兽逃生的机会，不想赶尽杀绝。但是在网开三面的情况下，他们期望的捕获量反而最大，真是欲擒故纵，‘放长线，钓大鱼。这不是很虚伪吗？”

这个问题令人惊讶，故事的本义是想让学生通过数学思维来感受欲擒故纵的策略是多么富有智慧，没想到小J的感受完全相反。想想也是情有可原的。在这个阶段的儿童眼中，数学与生活的关系是很模糊的。数学其实是对生活的高度抽象与概括，二者之间不能画等号。数学课上，我们津津有味地讨论“鸡兔同笼”问题，感悟假设的策略，但生活中并没有人把鸡和兔关在一个笼子里。

《网开一面》的寓言故事蕴含着数学智慧、人文情怀和人生哲学。此时此刻，教师无须一本正经地说教。也许小J在以后的成长过程中，某一天会突然顿悟，给自己一个合理的解释。数学是自由的，数学使人聪明，但它也是有约束的，向善是其不变的初心，是其无须提醒的自觉。

每个学生的数学学习都有一个“暗箱”。这个“暗箱”里装着自己建构的知识，各种波长的思维电波，特别是各种各样“沉默的问题”，这些问题真实地记录着学生的学习轨迹。在“学为中心”的教学理念下，关注学生“沉默的问题”是一个新的视角。在这里，教师直面有价值的问题，拉开真实的学习历程;独具匠心地回顾“沉默的问题”，提升学生的思维品质;最终，让学生超越被动学习，自信地激扬“沉默的问题”，逐渐成长为自由的、智慧的、快乐的学习者。

参考文献：

[1] 余西艳.关于反思性教学的审思[J].文教资料，2015（21）.