陈晶

摘要：走向思维通透的小学数学教学，主张着眼、着力于帮助学生克服数学学习障碍，培养数学学习兴趣，形成深度的数学理解与认识，发展数学思维，达到通达、透彻状态。它的核心要素是儿童数学学习载体、对象、过程、方式等方面的一些辩证关系，有：情境的剥离与还原、理解的操作与程序、理解的图形与符号、认识的特殊与一般、知识的展开与压缩。

关键词：思维通透数与代数情境认知表征特殊与一般

走向思维通透的小学数学教学，主张着眼、着力于帮助学生克服数学学习障碍，培养数学学习兴趣，形成深度的数学理解与认识，发展数学思维，达到通达、透彻状态。它的核心要素是儿童数学学习载体、对象、过程、方式等方面的一些辩证关系。下面以“数与代数”内容的教学为例来说明。

一、情境的剥离与还原

创设情境引入知识，可以让儿童伴随快乐的情绪积极地学习数学，还可以把情感活动与认知活动结合起来，把具体形象思维与抽象逻辑思维结合起来，帮助儿童结合生活经验理解与认识数学知识的来龙去脉，领悟数学思维的特点。但是，如果一味地停留在情境层面，则会存在负面干扰，使得儿童对数学知识的理解与认识出现偏差，不能深入本质。走向思维通透的小学数学教学，一方面，要引导学生剥离情境，形成抽象的理解与认识;另一方面，如果学生遇到困难，要引导学生还原情境，帮助理解与认识抽象的数学知识。

教学简单的计算时，学生通常容易剥离具体的情境，生成算式，然后探索算理与算法。其实，遇到陌生的算式时，学生还可以把算式还原到具体的情境中，帮助理解与认识算理与算法。例如，对于算式300-（100-6），学生可以借助情境（如：妈妈去商场购物，带了300元，一件衣服标价100元，因为促销降价6元，买了这件衣服后，妈妈还剩多少元？）理解与认识计算的过程，还可以借助情境（如果付给营业员100元，则应该找回6元）理解与认识转化成300-100+6的简便计算过程。从剥离情境到还原情境，学生对抽象的计算不再是机械地执行，而有了整体的理解与认识。

二、理解的操作与程序

《心理学大辞典》将“理解”解释为：“思维形式的一种，理解运用已有的知识经验，根据事物的具体表现形式，发现事物的性质、特征，还有事物之间的联系等，直至事物的本质和某种规律性思维。”数学理解可以分为“操作性理解”和“程序性理解”两大类。所谓“操作性理解”，是指借助学具操作，把特定的概念、命题等应有的智力活动对象和方式“外化”为体力活动对象和方式，通过具体形象思维，实现对数学知识的理解。而抽象得到特定的概念、命题后，站在逻辑的角度，发现数学知识之间的关系，再加上对符号意义和替代物结构的认识，形成数学知识网络，并随着学习的进程重建或改组，即依据一定的规则“做”数学，就达到了“程序性理解”。儿童的思维以具体形象为主，随着年龄的增长，逐步向抽象逻辑过渡。走向思维通透的小学数学教学，应该落实循序渐进的原则，组织学生开展具体的实物操作，帮助学生形成对数学知识的操作性理解，再进一步抽象和推理，形成对数学知识的程序性理解。这样，学生就能达到对数学知识的深度理解。

例如，教学“两三位数除以一位数”时，教师从算式33÷3出发，引导学生思考将33根小棒平均分成3份应该怎么分。学生借助已有的学习经验动手操作：先将3捆小棒平均分成3份，每份分得1捆，再将3根小棒平均分成3份，每份分得1根，两部分合起来是11根。然后，教师引导学生用语言做概括描述：将33根小棒平均分成3份，先分几捆，也就是几个十，再分几根，也就是几个一。学生形成操作性理解后，教师引导学生回到算式33÷3，推动学生形成程序性理解：先用33十位上的3除以3，再用33个位上的3除以3。进一步，教师引导学生拓展到对算式333÷3计算过程的理解，帮助学生逐步抽象形成对两、三位数除以一位数计算方法的理解。最后，教师还让学生尝试把这种理解方式延续到除数是多位数的除法。

三、理解的图形与符号

結合布鲁纳提出的动作、图像、符号认知表征方式以及华罗庚先生特别倡导的数形结合数学思想方法，我们认为，数学理解还可以分为图形直观和符号抽象两种方式。走向思维通透的小学数学教学，也应该组织学生进行直观的图形观察及想象，帮助学生形成对数学知识的图形直观理解，再进一步抽象和推理，形成对数学知识的符号抽象理解。

例如，教学“分数除法”时，教师可以引入线段图或平面图，帮助学生理解计算方法。如，计算4÷1/3时，画出4个圆，把每个圆平均分成3份，每一份都是1/3，得到4个圆里一共有12（4×3）份（12个1/3），所以可以列式成4×3。学生形成图形直观理解后，教师引导学生脱离直观图形，用抽象符号解释5÷1/4的计算过程。学生可以想出：1里面有4个1*4，所以5里面有5×4=20个1/4。由此，学生可以逐步抽象得到分数除法的计算方法。

四、认识的特殊与一般

作为一种理论，数学知识是抽象而一般的概念与命题。但是，儿童的学习通常要从具体而特殊的现象与案例开始。走向思维通透的小学数学教学，还应该重视从特殊到一般的跨越，帮助学生在认识特殊现象与案例的基础上，进一步把握一般的本质与规律，实现对数学知识的深度认识。

“数与代数”的教学中，从研究一些特殊的数（量）与算式（关系）到利用字母符号表示一般的数（量）与算式（关系），是学生认知的一个飞跃。对此，教师要做好过渡和衔接。例如，教学“正方形的面积”时，教师让学生思考：一个正方形的边长扩大2倍，面积扩大几倍？学生举出特殊的例子，发现了一般的规律：正方形的边长扩大2倍，面积扩大4倍。学生学会用字母表示数后，教师进一步让学生思考：一个正方形的边长扩大n倍，面积扩大几倍？学生借助一般的推理，得到了二者的关系：设正方形原来的边长为a，则面积为a2，边长扩大n倍后，为na，则面积为a2n2，故扩大n2倍。

五、知识的展开与压缩

华罗庚先生指出，读书的真功夫在于“既能把薄的书读成厚的，又能把厚的书读成薄的”。读“厚”是从少读到多，从粗读到细，是学习、接受、丰富知识的过程;读“薄”则是消化、总结、融合，取其精华的过程。没有读“厚”，就没有丰厚的学养;而没有读“薄”，就没有真正地掌握，没有能力的提升。走向思维通透的小学数学教学，要让学生的数学学习经历先从薄到厚再从厚到薄的过程，在知识的“展开”与“压缩”中，架构立体式的知识网络，培养融会贯通、触类旁通的思维能力。

例如，二年级教学乘法时，学生认识了数量关系“每份数×份数=总数”;后续的教学中，教师则要不断丰富学生对这一数量关系的认识：中年级遇到行程问题时，将这一数量关系表达成“速度×时间=路程”;中年级遇到购物问题时，将这一数量关系表达成“单价×数量=总价”;高年级探究分数乘法的实际问题时，将这一数量关系表达成“单位‘1的量×分率=分率对应的数量”……在此基础上，教师要引导学生对这些“展开”的数量关系做高度的“压缩”，回到最基本的数量关系“每份数×份数=总数”。这样，能够帮助学生打通乘法的应用以及乘法与除法的联系，从而深化知识结构，增进数学理解与认识。

本文系江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“小学数学‘为思维通透而教课堂模式孵化实践研究”（编号：D/2018/02/17）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 顾娟.情境数学和它的通透性[J].小学教学（数学版），2013（4）.

[2] 李吉林.情境教育精要[M].北京：教育科学出版社，2016.

[3] 鄭毓信.学校数学：必要的抽象[J].人民教育，2006（3/4）.

[4] 林崇德，杨治良，黄希庭.心理学大辞典[M].上海：上海教育出版社，2003.

[5] 马复.试论数学理解的两种类型——从R.斯根普的工作谈起[J].数学教育学报，2001（3）.

[6] 邵文川，邵艺光.聚焦数学素养发展的习题设计改进策略——以“数与代数”领域为例[J].小学数学教育，2018（21）.

[7] 吴正宪，张秋爽，李惠玲.和吴正宪老师一起读数学新课标[M].北京：教育科学出版社，2013.

[8] 贺和平.读“薄”，读“厚”，读“活”[J].小学教学研究，2019（2）.