立足数学思想方法，整体架构分数乘法中的算理和算法

2019-11-07朱春雷

小学教学研究·理论版 2019年8期

关键词：分母直觉整数

朱春雷

教学内容：苏教版数学六年级上册第28～29页例1、例2、“练一练”、练习五第1～5题。

教学目标：

第一，使学生体会分数与整数相乘的含义，理解并掌握分数乘整数的计算方法，并能正确计算。

第二，使学生经历探究分数乘整数的意义，探索分数乘整数的计算方法，积累数学学习经验;培养观察、分析、推理和概括等思维能力。

第三，培养学生数学学习的探究方法、探究意识和优化意识，提高学生学好数学的信心，提高学习数学的兴趣。

教学重点：理解并掌握分数乘整数的计算方法。

教学难点：理解分数乘整数的计算方法。

教学过程：

复习导入，激活旧知

师：什么是分数？

生：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。

[评析]“分數”和“乘法”都是学生学习分数乘整数的重要基础，有研究显示，学生从乘法的角度理解分数乘整数的意义并不困难。确实，学生对于乘法意义的理解已经比较透彻。因此，本节课学生学习的认知难点不在于“乘法”，而在于“分数”，从分数的意义出发更能促进学生思考。教师准确把握学生的认知起点，紧扣本节课的关键点，从整体把握教材。

二、探索算理，归纳算法

（一）创设情境，引入新课

出示例1：做一朵绸花要用米绸带。

米

1米

师：米表示什么意义？

生：米是把1米看作单位“1”，平均分成10份，表示其中的3份。

师：的分数单位是什么？它有几个这样的分数单位？

生：的分数单位是，它有3个这样的分数单位。

出示问题：小芳做3朵这样的绸花，一共用绸带几分之几米？

提问：求“一共用绸带几分之几米？”就是求什么？

明确：求“一共用绸带几分之几米？”就是求3个米是多少。

[评析]教师利用教材设计的情境引入新课，将计算教学与解决实际问题的有机结合。这样有利于学生联系现实问题情境，理解分数乘法的意义，体会学习计算是解决实际问题的需要。学生在分析题目时，教师引导学生主动将整数乘法的意义推广到分数中。通过新旧知识的联系，实现学生原有认知结构的改造和新认知结构的建立，促进了数学知识的融会贯通。教师还有意识地唤醒学生的旧知——分数单位，为后面对算理的理解做准备。

（二）探索算理

师：你能在直条图上涂色表示3个米吗？注意先涂第一个米，再涂第二个米，最后涂第三个米。

（学生在书上涂色）

师：看着你画好的图，现在你知道3个米是多少吗？

生：米。

追问：从图中我们可以直接看出结果，那要求“3个米是多少”应该怎样列式呢？

生1：

生2：

师：对，可以用连加计算，我们在学整数乘法时知道，求几个几是多少也可以用乘法计算。分数加法我们很熟悉了，那这个算式是？

生：分数乘整数。

师：这就是今天我们要研究的内容：分数乘整数。

（板书标题：分数乘整数）

师：的結果我们可以从图上看出，那这个算式到底怎样计算呢？

生1：就表示3个的和是多少，即=。

生2：，3和3相乘，分母是10。

师：为什么？

生2：我感觉是这样算的。

师：那我们一起来研究一下这样算有没有道理。

师：和计算结果相等吗？为什么？

生：相等，都是求3个是多少。

师：好，那我们可以用等号将这两个算式连接。

（教师板书：=）

师：算下去，这是同分母分数的加法，怎么算？

生：分母不变，分子相加。

（教师板书：==）

师：分母上的3个3相加可以写成什么？

生：3乘3。

（教师板书：====）

师：如果省去中间的推导过程，确实等于。

小结：我们可以根据同分母分数加法的计算方法推导出分数与整数相乘的计算方法。

[评析]教师安排学生在直条图上涂色表示3个米，并且提示学生一个一个的涂，让学生借助图形直观地感受分数与整数相乘的意义。计算时，有学生根据直觉提出了计算方法，教师没有否定，并和学生一起进行了算法的探索，尊重学生的数学直觉思维。教师利用分数加法计算过程作为推导的依据，重点引导学生根据同分母分数加法的计算过程理解分数与整数相乘的计算方法，使算法的得出水到渠成。

（三）归纳算法

师：请同学观察这道算式说说分数乘整数的计算方法。

算法：分子与整数相乘的积作分子，分母不变。

师：为什么3和分子3相乘，却不和分母10乘？

生：如果和10乘，分母就变了，分数单位没有变，所以不能和10乘。

师：确实，表示3個，它的分数单位是，现在要求3个是多少，就是求3乘“3个”是多少，分数单位始终没变。

引导：我们从图上可以看出，一朵绸花用了1个“3个”，2朵绸花用2个“3个”，3朵绸花用几个“3个”？

生：3个“3个”。

师：对啊，3个“3个”是3×（3个），就是。看来从分数单位的角度也能理解分数乘整数的计算方法。

[评析]五年级时学生已经学习了小数乘整数的计算，部分关注计算形式的学生可能会有疑惑：小数乘整数时，小数的每一个数位上的数都要和整数相乘，为什么分数乘整数中，分母不和整数相乘呢？教师在归纳完算法后，提出了一个巧妙的问题：为什么3和分子3相乘，却不和分母10乘？引发学生深度思考：是把单位“1”平均分成10份，有这样的3份，乘3就是9份，分数单位始终没有变。“求3个是多少，就是求3个“3个”是多少。”看似拗口的一句话，学生却能够在教师的引导下顺利地表述出来。可见，学生的数学思维在语言表达中得到了提升。计算教学的本质无非是在计一计、算一算有几个计数的单位，分数乘整数的計算无非就是在算一算有几个分数单位。这部分的教学是本堂课最精彩的部分，学生从分数的本质上理解了算法，在明晰算理的过程中进一步理解算法，也充分地体会到了算理的严密性和算法的合理性，教师让算理和算法在反思中更通透。

（四）优化算法

出示例2：小华做5朵这样的绸花，一共用绸带几分之几米？

师：求“一共用绸带几分之几米？”就是求什么？

生：求5个米是多少。

师：观察刚才两个例子，思考分数乘整数表示什么含义？

生：表示求几个几分之几是多少。

（板书：表示求几个几分之几是多少）

师：你打算怎样列式？

生：

师：我们一起来计算。

[板书：]

师：我们来观察中，谁是分子？谁是分母？

生：3乘5是分子，10是分母。

师：分子上有两个因数分别是3和5，你发现了什么？

生：分子和分母都有因数5。

师：那根据分数的基本性质，我们可以将分子和分母同时除以5，这样就在计算过程中约分了。

师：你觉得先计算再约分和先约分再计算，哪种更简单？

生：先约分，再计算。

师：所以我们在计算分数乘整数时要注意观察，如果可以先约分的，要先约分再计算，这样计算起来比较简便。

[评析]例2的教学重在优化算法。过程约分和结果约分是计算中出现的两种情况，这两种情况没有对错，都能算出正确答案。但是，在计算过程中先约分，再计算，大大地降低了计算难度。教师通过两种计算情况的对比分析，让学生体会先约分，再计算的优势。在教学中要把握好教师“教”和学生“学”的分寸，学生的学习以有意义的接受学习为主，因此教师适时的引导非常关键。这里不需要刻意让学生去探索发现过程约分的简洁性，教师稍加引导，让数学知识自然生成即可。处理好“教”和“学”的分寸，数学教学就能达到润物无声之效。

练习提升

通过“练一练”、练习五第1～5题，巩固和提升所学知识。

全课总结

师：通过本节课的学习，谈谈你的收获。

[总评]《分数乘整数》是苏教版数学六年级上册《分数乘法》中第一课时的内容。本节课是一节计算教学课。计算教学的重点就是：理解算理，掌握算法。何為算理？顾名思义，就是计算过程中的道理，是一种思维方式，它是客观存在的规律。何为算法？算法是用文字表述的运算方法，它是根据算理对运算过程实施细则作出的具体规定，是人为规定的操作方法，它反映的是一种规范化的操作程序。下面是关于本节课的一些思考。

思考数学思想方法，从数学本质上整体把握教材。数学思想方法和数学内容是数学不可分割的两个面，它们一暗一明，思想方法潜在统领，数学内容有形外显。数学教学就要基于思想方法，促进学生理解道理、掌握内容。学生学习本节课的起点有两个，一个是整数乘法的意义，即求几个几是多少可以用乘法计算;一个是分数的意义和基本性质及分数加法运算。因此，教师把《分数乘整数》置于“乘法”和“分数”两大知识框架中，找到新知与旧知之间的桥梁，利用有效的正迁移，来拓宽学生的数学认知结构。教师还准确把握学生的认知起点，从分数的意义切入就是从数学的思想方法上思考，紧扣本节课的教学难点，从数学本质上整体把握教材。
整体架构算理和算法，有效演绎推理。学生只要知道算法就能根据形式化的步骤进行运算，所以有的教师只关注计算结果，在计算教学中往往忽视算理，重视算法。学生只是机械地掌握了计算程序，知其然，却不知其所以然。贲友林老师说过：算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性。算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算速度。因此，算法和算理是相辅相成，缺一不可的。而算理和算法靠思想方法来统领，本节课，教师在数学思想方法的引领下，引导学生注重算理的探索、算法的归纳，让学生经历探索分数乘整数的计算方法的过程，体会数学知识的内在联系，积累数学学习经验，培养学生观察、分析、推理和概括等思维能力。

第三，重视数学直觉，实现直觉思维的高效渗透。本节课中，计算时，教师问学生应该怎样计算，有的学生联想乘法的意义计算，而有的学生认为，教师追问为什么，学生说不出原由。显然第二种答案也是对的，但是学生从没有学习过分数乘法的计算法则，这种想法是从何而来的？这就是数学直觉思维。布鲁纳认为直觉就是一种直接的、非渐进的、以视觉形象为思维媒介的、对问题的飞跃式的直接把握和解决。数学直觉思维具有非逻辑性，这和美国科学家罗杰斯证实的人脑的右半球具有产生灵感、顿悟、联想等特点相吻合。学生利用直觉思维省略了对具体细节的抽丝剥茧，从宏观上把握并作判断。彭加勒曾说：逻辑用于证明，直觉可用于发明。教师应该充分肯定学生利用直觉思维，鼓励学生利用直觉思维猜想问题，使用逻辑思维验证猜想，实现数学直觉思维的高效渗透。