张晓彬

（漳州职业技术学院 机械工程系，福建 漳州 363000）

AutoCAD 作为通用绘图软件，广泛应用于机械、建筑、电气等领域。 但是，在专业性较高的专门应用领域的适用性较差。 为了提高绘图效率，可以借助二次开发来扩展绘图功能并提高绘图效率。 Autolisp 语言内嵌于AutoCAD 软件，可以和AutoCAD 软件的绘图软件命令有机结合，能够有效地提高AutoCAD 软件的智能化和适用性[1]。

1 平面与圆锥截交线的常规画法

平面与立体产生的交线称为截交线。 根据平面与圆锥轴线之间的相对位置不同，可产生5 种不同类型的截交线。 其中，当截平面平行于一条素线时，截交线的形状为抛物线；当截平面平行于轴线时，截交线的形状为双曲线。

在AutoCAD 绘图中，表1 中的前3 种类型可以借助软件内置命令直接进行精确绘制。 对于后面2种类型，需要绘制二次圆锥曲线，无法通过软件内置命令直接完成。 需要借助纬圆法（或素线法），求出若干个特殊点和一般位置点，再利用样条曲线命令进行拟合完成具体如图1 所示。

表1 平面与圆锥截交线类型

图1 利用纬圆法求截交线

2 利用Autolisp程序快速生成方法

通过纬圆法（或素线法）绘制截交线，需要重复做出不同位置的纬圆，并根据投影规律求出截交线上的点的侧面投影，效率低下，且无法重新利用[2-3]。 基于纬圆法的思想，本文提出一种使用Autolisp 绘制截交线的算法，实现可以重复运行的功能，进而达到提高绘图效率的目的。

根据给定的三视图进行特征点识别，主视图的三个特征点分别标识为P1、P2、P3；左视图的3 个特征点分别标识为P4、P5、P6，截平面在主视图所积聚的直线端点分别标识为P7、P8；俯视图的特征点（圆心）标识为 P9。

2.1 截交线为抛物线的绘制方法

基于纬圆法，绘制截交线为抛物线的三视图的算法描述如下。

步骤1：根据P7、P8与P1、P2，判断截平面直线是否与素线平行，如果是，执行步骤2。

步骤2：根据 P7、P3、P8，使用 pline 命令，重新绘制得到新的主视图。

步骤3：利用car 函数求出P1和P7的X 轴坐标值，相减得到的绝对值为dis1，并利用勾股定理求出 dis2。 两次利用 polar 函数求出 P10、P11。 根据 P9、P10、P11分别绘制出俯视图的圆弧和直线。

步骤4：利用polar 和inters 函数求出P1所在铅垂线与直线的交点 P32，再利用 car、cadr、list 函数求出的中点P33。根据P33，利用polar、inters 函数求出distance 函数求出P33所在纬圆与的交点，并求出纬圆的半径radius。

步骤5：利用 car 函数，根据 P1、P33的 X 轴坐标求出 dis3。 根据 radius 和 dis3，利用勾股定理求出 dis4。根据 P9、dis3、dis4，两次利用 polar 函数求出 P12、P13。 根据步骤 4-5 的方法，分别求出 P14、P15、P16、P17。

步骤6：根据 list、car、cadr 函数求出 P8的 X 坐标、P9的 Y 坐标，得到 P18。

步骤7：利用 spline 命令，顺次连接 P10、P12、P14、P16、P18、P17、P15、P13、P11，最终得到截交线在水平面的投影，并到新的俯视图。

步骤8：利用polar 函数和inters 函数，计算得到直线与P4所在铅垂线的交点P38。

步骤9：利用 polar 函数，根据P38及dis2，求出 P10和 P11在左视图的坐标。

步骤10：利用 polar 函数，根据 P38及 dis4，求出 P12。 利用 car 函数获得 P12的 X 轴坐标，cadr 函数获得P27的Y 轴坐标。根据获得的X 轴坐标、Y 轴坐标、Z=0.0，用list 函数构造出P12在左视图的坐标。用相同的方法，求出P13的坐标。

步骤11：利用步骤 3 的方法，分别求出 P14、P15、P16、P17、P18。

步骤12：利用 spline 命令，顺次连接 P10、P12、P14、P16、P18、P17、P15、P13、P11，绘制出截交线在侧面的投影。

步骤13：进行修剪，并用erase 命令删除求图形，最终得到完成的图形。

2.2 截交线为双曲线的绘制方法

基于纬圆法，绘制截交线为双曲线的三视图的算法描述如下。

步骤1：根据P7、P8判断截交线直线是否为轴线平行。 是，执行步骤2。

步骤2：根据 P7、P8、P3、P1，使用 pline 命令绘制主视图。

步骤3：利用car 函数，分别P1P7的X 轴坐标，相减得到的绝对值为dis1。 根据勾股定理，计算出dis2。

步骤4：根据 P9、dis，利用 polar 函数，求出辅助点 P31。 再根据辅助点 P31、dis2，利用 polar 函数，分别求出 P10和 P11。

步骤5：以 P9（圆心）、P10、P11为参数，使用 arc 命令绘制出圆弧；以 P10、P11为端点，绘制出直线，从而绘制出完整的俯视图。

步骤 7：根据 polar、inters 函数，计算出直线的中点 P34，根据 dis2，计算出 P10、P11。

步骤8：根据P33，polar 函数和inters 函数，计算出 P33所在纬圆与素线交点的 P12、P13。 根据P12、P13，利用distance 函数计算出纬圆的半径radius。 根据勾股定理，计算出dis3。

步骤9：利用car 函数获得 P4的 X 轴坐标，cadr 函数获得P33的 Y 轴坐标。根据获得的 X 轴坐标、Y轴坐标、Z=0.0，用list 函数构造出P33在左视图的坐标。

步骤10：根据P33、dis2，利用polar 函数，分别计算出P12、P13在左视图的投影坐标。根据相同方法分别计算出 P14、P15、P16、P17。

步骤11：利用car 函数获得P4的X 轴坐标，cadr 函数获得P7的Y 轴坐标。 根据获得的X 轴坐标、Y 轴坐标、Z=0.0，用 list 函数构造出 P18的坐标。

步骤 12：利用 spline 命令，顺次连接 P10、P12、P14、P16、P18、P17、P15、P13、P11，绘制出截交线在侧面的投影。

3 程序实现的关键技术

根据上述提出的算法，用Autolisp 语言编写实现绘图的程序，部分代码如下。

3.1 平面平行于素线的情况

(if (or (< (abs (- (angle pt7 pt8) (angle pt1 pt2))) 0.000001) (< (abs (- (abs (- (angle pt7 pt8) (angle pt1 pt2))) pi)) 0.000001))//判断平面是否与直线平行

(setq dis1 (- (car pt1) (car pt7)))

(setq dis2 (sqrt (- (* radius radius) (* dis1 dis1))))

(setq pt31 (polar pt9 pi dis1))

(setq pt10 (polar pt31 (* 0.5 pi) dis2))

(setq pt11 (polar pt31 (* 1.5 pi) dis2))

…………

(setq pt32 (polar pt1 (* 1.5 pi) 10))

(setq pt32 (inters pt1 pt32 pt7 pt8 nil))

(setq pt33 (list (* 0.5 (+ (car pt32) (car pt7))) (* 0.5 (+ (cadr pt32) (cadr pt7))) 0.0))

(setq pt34 (polar pt33 0 10))

(setq pt35 (inters pt33 pt34 pt1 pt2 nil))

(setq pt36 (inters pt33 pt34 pt1 pt3 nil))

(setq radius (* 0.5 (distance pt35 pt36)))

(setq dis3 (- (car pt1) (car pt33)))

(setq dis4 (sqrt (- (* radius radius) (* dis3 dis3))))

(setq pt37 (polar pt9 pi dis3))

(setq pt12 (polar pt37 (* 0.5 pi) dis4))//获得P12 在俯视图的坐标

(setq pt13 (polar pt37 (* 1.5 pi) dis4))//获得P13 在俯视图的坐标

…………

(command "spline" pt10 pt12 pt14 pt16 pt18 pt17 pt15 pt13 pt11 "" "" "")//根据获得的关键点绘制截交线

(setq pt38 (polar pt4 (* 1.5 pi) 10))

(setq pt38 (inters pt4 pt38 pt5 pt6 nil))

(setq pt10 (polar pt38 pi dis2))//获得P10 在左视图的坐标

(setq pt11 (polar pt38 0 dis2)))//获得P11 在左视图的坐标

(setq pt12 (polar pt38 pi dis4)))

(setq pt12 (list (car pt12) (cadr pt33) 0.0))//获得P12 在左视图的坐标

(setq pt13 (polar pt38 0 dis4))

(setq pt13 (list (car pt13) (cadr pt33) 0.0))//获得P13 在左视图的坐标

(setq pt18 (list (car pt4) (cadr pt8) 0.0))//获得P18 在左视图的坐标

…………

(command "spline"pt10 pt12 pt14 pt16 pt18 pt17 pt15 pt13 pt11 "" "" "")//根据获得的关键点绘制截交线

3.2 平面平行于轴线的情况

(if(or (= (angle pt7 pt8) (* 0.5 pi)) (= (angle pt7 pt8) (* 1.5 pi))//判断平面与轴线是否平行

…………

(setq pt31 (polar pt7 (* 1.5 pi) (* 0.25 dis3)))

(setq pt32 (polar pt7 (* 1.5 pi) (* 0.5 dis3)))

(setq pt33 (polar pt7 (* 1.5 pi) (* 0.75 dis3)))

(setq pt34 (polar pt4 (* 1.5 pi) 10))

(setq pt34 (inters pt4 pt34 pt5 pt6 nil))

(setq pt10 (polar pt34 pi dis2))//获得P10 在左视图的坐标

(setq pt11 (polar pt34 0 dis2))//获得P11 在左视图的坐标

(setq pt35 (polar pt33 0 10))

(setq pt12 (inters pt33 pt35 pt1 pt2 nil))

(setq pt13 (inters pt33 pt35 pt1 pt3 nil))

(setq radius (* 0.5 (distance pt12 pt13)))

(setq dis3 (sqrt (- (* radius radius) (* dis1 dis1))))

(setq pt33 (list (car pt4) (cadr pt28) 0.0))

(setq pt12 (polar pt33 pi dis3))//获得P12 在左视图的坐标

(setq pt13 (polar pt33 0 dis3))//获得P13 在左视图的坐标

4 应用举例

已知三视图，利用该程序分别求出2 种不同情况的截交线，生成效果如图2 所示。

图2 生成效果图

5 结语

手工绘图、AutoCAD 辅助作图的方法都需要重复多次运用纬圆法，确定截交线上的特殊点，再对所得到的特殊点进行拟合，效率比较低下。基于纬圆法的思想，利用Autolisp 语言，快速确定特殊点，并利用AutoCAD 内置的spline 命令直接生成所需的二次圆锥曲线，有效地提高了AutoCAD 的智能化和适用性。