陈得良， 汪亚运， 吝国胜， 邱泽彬， 雷 伟

(1. 桥梁工程湖南省高校重点实验室， 长沙 410004； 2. 长沙理工大学 土木与建筑学院， 长沙 410004；3. 中建三局集团有限公司工程总承包公司， 武汉 430061)

钢筋混凝土梁作为重要的承力构件,具有广泛的工程应用，其在制造和服役过程中，极易产生裂纹(群)。由于钢筋混凝土梁为典型的非均匀材料(相对均匀的混凝土+单向钢筋)，在出现裂纹后，因纵向钢筋的约束效应，其动力学特性将不同于不考虑纵向钢筋约束的均匀混凝土裂纹梁模型。

近年来随着混凝土梁结构在土木工程的广泛应用以及结构健康监测的需要，国内外学者针对含裂纹混凝土结构的静、动力学问题进行了深入研究。王丹生等[1]利用结构振动波传播理论及等效弯曲弹簧模型，探讨了裂纹深度和位置对钢筋混凝土梁各阶固有频率的影响。Hamed等[2]在考虑混凝土和预应力混凝土材料非线性行为的基础上讨论了裂纹几何参数对结构振动频率的影响，研究表明裂纹的存在将会降低预应力梁的自由振动频率。Huszár[3]基于线性刚度和非线性刚度模型对具裂纹钢筋/预应力混凝土梁的自由振动频率进行研究，探讨了预应力、自重等参数对结构频率的影响。罗青松[4]利用有限元法分析了预应力钢筋混凝土一阶固有频率与预应力大小、布筋方式、裂缝深度以及裂缝位置的关系。易伟建等[5]用Hilbert-Huang变换时析得到了具裂纹钢筋混土梁的非线性动力特征,进而识别了梁的非线性动力特征，为通过梁的非线性动力特征来识别裂纹提供了依据。Capozucca[6]则对具裂纹PRC/RC梁的振动问题进行了试验研究，并将相关试验结果和理论分析结果进行了对比分析，研究表明混凝土梁材料的非均匀性和非线性都对含裂纹混凝土梁的动力学特性有重要影响。上述文献中，对于含裂纹钢筋混凝土梁和混凝土梁动力学的研究主要以单裂纹梁为研究对象。对于多裂纹梁的动力学问题，李学平等[7]讨论了混凝土梁存在多裂纹时，其裂纹数量、位置、深度对结构固有频率的影响，但未考虑钢筋约束效应和裂纹区应力集中的影响。

本文将基于文献[8-9]提出的裂纹影响因子，采用Euler-Bernoulli梁理论，并利用Hamilton变分原理建立考虑钢筋约束和裂纹区应力集中双效应下含多裂纹钢筋混凝土梁的动力学方程。采用一种简单有效的Taylor级数展开的数值方法，研究裂纹深度、裂纹数目以及裂纹群位置对钢筋混凝土梁固有频率的影响。

1 考虑钢筋约束具多裂纹钢筋混凝土梁的控制方程

考虑如图1所示含n条裂纹钢筋混凝土梁，设梁长度为l，梁截面高度为2d，宽度为2b。在截面中性轴上下房分别布置截面面积为AS1和AS2的钢筋，距中性轴的距离分别为Za1和Za2。第i条裂纹距离梁端的距离为xci，裂纹深度为ai。

图1 含裂纹钢筋混凝土梁模型

钢筋混凝土梁由混凝土和钢筋两种材料组成。为便于分析，文中将两种材料均视为均匀弹性材料，并引入如下假设：① 应变沿截面高度线性变化；② 钢筋和混凝土之间没有相对滑移；③ 不考虑剪切效应；④ 只考虑微小变形，且裂纹未闭合。

基于上述假设，利用Euler-Bernoulli梁理论，得到含裂纹梁混凝土部分和纵向钢筋部分的几何方程和物理方程为

(1)

式中：n为裂纹数量；u和w为梁在x和z方向的位移；j=C、S分别为混凝土和钢筋；Ts为裂纹影响因子，对于混凝土部分，当梁上不存在裂纹时Ts为0，存在裂纹时Ts=1。对于纵向钢筋部分Ts始终为0。φi(x,t)为引入的裂纹影响因子函数，其具有应力在裂纹尖端最大，沿梁轴向呈指数衰减的特征具体形式如下

φi(x,z)=

(2)

式中：d为梁半截面高度，xci、ai分别为第i条裂纹的位置和裂纹深度。无量纲常数(控制裂纹尖端应力的衰减率，取值为1.276[10]。对于不超过中性轴的微小裂纹，忽略中性轴以上裂纹对应力、应变的影响。常数m为裂纹处应力沿横向线性变化的斜率；u(d-a-z)为Heaviside函数。

(3)

(4)

利用Hamilton能量变分原理，推导含裂纹钢筋混凝土梁的动力学控制方程。混凝土和钢筋的动能表达式为

(5)

式(5)中第二项为高阶小量，忽略不计，将式(1)代入式(5)并沿截面积分可得

(6)

式中：TC、TS分别为混凝土和钢筋的动能。ρC、ρS分别为混凝土和钢筋的密度；Vj表示混凝土和钢筋的体积。

混凝土梁和钢筋的应变能为

(7)

将式(1)代入式(7)并沿截面积分可得

(8)

式中：EC、ES分别为混凝土和钢筋的弹性模量，且有

(9)

式中:zai(i=1,2)为钢筋距中性轴的距离。

将式(6)和式(8)代入钢筋混凝土梁的Hamilton能量变分方程

(10)

式中:T为系统的总动能;U为系统的总应变能;V为结构总外力势能(对于自由振动V=0);δ为变分符号;t为时间变量。T、U的表达式为

(11)

由此可以得到含裂纹钢筋混凝土梁的自由振动微分控制方程

(12)

文中主要考虑谐波振动，将位移函数分离变量，即：w(x,t)=W(x)T(t)，T(t)=eiωt。引入无量纲坐标ξ=x/l，则有：

(0≤ξ≤1)

(13)

式中:α1为含变量ξ的函数;α2为常数。表达式为

α1=ECf(ξ)+ES[fS1(ξ)+fS2(ξ)]，α2=ρCAC+

ρS(AS1+AS2)

2 问题求解

式(13)为含变系数高阶微分方程，直接得到其解析解具有相当难度。为避免直接求解该方程，本文将引入一种简单的方法来分析含裂纹钢筋混凝土梁的自由振动问题。将W(ξ)以Taylor级数展开，有

(14)

式中：li为未知系数；N为级数展开项数。Ti(ξ)为Taylor级数展开式，其递推关系如下

对于简支梁，有边界条件

将式(14)代入上述边界条件，有：

(15)

由边界条件能够确定4个独立的方程，未确定N个未知系数li还需N-4个独立的方程。因此，将式(14)代入式(13)，则有

(16)

将式(16)两边同乘以ξt(t=0,1,…,N-5)，同时对ξ从0到1积分，得到N-4个独立的方程

(17)

式中：

由边界条件得到的式(15)和由控制方程得到的式(17)得到一个封闭的线性代数方程组，其矩阵表达式为

(F-ω2G)·{l}=0

(18)

式中：F=[fij]N×N;G=[gij]N×N;{l}=[li]N×1。

式(18)为含裂纹钢筋混凝土梁自由振动特征向量方程。因为方程存在非平凡解，则方程的系数矩阵行列式为零，即

|F-ω2G|=0

(19)

从上述方程可知，当α1和α2为已知函数和常数时，式(19)得到的是关于固有频率的方程，因此可获得该方程求得含裂纹梁的固有频率。

3 数值算例

考虑图1中裂纹梁模型。其梁长l=2 m，半梁高d=0.1 m，半梁宽b=0.05 m。混凝土、钢筋的弹性模量分别为EC=2.8×104MPa、ES=2.1×105MPa，混凝土、钢筋的密度分别为ρC=2 450 kg/m3、ρS=7 850 kg/m3。中心轴上下方的钢筋的截面半径为r=0.005 m，钢筋距中性轴的距离Za1=Za2=0.06 m。

3.1 有效性验证

为了验证该方法的有效性，本节对无裂纹素混凝土梁和无裂纹钢筋混凝土梁的自振特性进行分析。通过数值解和理论解的比较来验证文中方法的可行性和有效性。简支梁的固有频率理论解可以通过式(20)确定，式中ωn为简支梁第n阶固有频率。

(20)

表1 混凝土梁前三阶固有频率

从表1可知，考虑纵向钢筋约束时梁的固有频率高于不考虑纵向钢筋混凝土梁；无论考虑纵向钢筋约与如否，当Taylor展开级数N=10时，得到第一阶固有频率数值解与理论值一致。当展开级数N=16时，得到的第二阶和第三阶固有频率也与理论值一致。这表明，本文的算法，随着展开级数N的增大，能得到更准确的固有频率值，且接近理论频率；对同一钢筋混凝土梁结构，当计入纵向钢筋约束效应时，其得到的梁结构固有频率要大于不考虑纵向钢筋约束效应时的频率值，与实际相符。上述分析表明，本文提出的数值方法具有精度高且快速收敛的优点。

为进一步了验证本文算法在计算含裂纹梁固有频率的可行性，基于文献[1]单裂纹均质混凝土梁模型，利用本文算法得到其前三阶频率并与文献[1]的结果进行对比，其频率比ωC/ωW，如图2所示，其中ωC为利用本文算法得到频率，ωW为文献[1]结果，结果表明，在取N=10时，对于微小裂纹，其前三阶频率误差在8.5%以内，且裂纹越小误差越小。因此，引用裂纹影响因子函数来模拟裂纹对梁应力应变的影响是有效可行的。

图2 前三阶频率比

3.2 裂纹数目对钢筋混凝土梁固有频率的影响

图3给出了裂纹数目对钢筋混凝土梁前三阶固有频率的影响，其裂纹均布于梁受拉下侧。图3中ω0.05/ω0为多裂纹钢筋混凝土梁前三阶固有频率与无裂纹钢筋混凝土梁比值，其中ω0.05为裂纹深度a为0.05时钢筋混凝土梁的固有频率，ω0为无裂纹时钢筋混凝土梁固有频率。

图3 裂纹数量对固有频率的影响

从图3可知，随着钢筋混凝土梁上裂纹数量n不断增加，钢筋混凝土梁结构的前三阶固有频率都随着裂纹数目的增加而减小，且随着裂纹数目n增加其频率减小的趋势有所趋缓。

3.3 裂纹深度对多裂纹钢筋混凝土梁固有频率的影响

对于钢筋约束效应裂纹深度对混凝土梁固有频率的影响，给出了裂纹深度a从0～0.07 m变化时含裂纹梁的第一阶固有频率，其各裂纹深度相等且均布于梁上。其中，表2为不计入钢筋约束效应时的结果，表3为计入钢筋约束效应的结果。

分析表2和表3中数据可知，随着裂纹深度的增加裂纹梁的固有频率随之减小，且随着裂纹数量的增加裂纹梁固有频率随之减小。随着裂纹的延伸，固有频率的减小幅度越来越小，其原因在于文中引用的裂纹影响因子函数只适应于微小裂纹。对比表2和表3中数据不难发现，计入钢筋约束效应影响的裂纹梁的固有频率要大于不计入钢筋约束效应影响的固有频率；裂纹深度在0～0.07 m范围变化时，计入钢筋约束效应影响的裂纹梁的频率减小幅度要小于不计入钢筋约束效应影响的减小幅度。

表2 裂纹深度对固有频率的影响(无钢筋约束)

表3 裂纹深度对固有频率的影响(有钢筋约束)

3.4 裂纹群位置对固有频率的影响

实际工程中，钢筋混凝土梁结构的裂纹往往不止一条，并常以裂纹群的形式存在。设一裂纹群含有3条裂纹，其裂纹间距为d1=l/12，裂纹深度均为a=0.05m，中间裂纹距离梁端距离为xc。裂纹群在不同位置时，有裂纹钢筋混凝土梁和混凝土梁与无裂纹钢筋混凝土梁和混凝土梁的前三阶频率比值分别列于表4，其中频率比ωC/ωn，ωC为利用本文算法得到频率，ωn为相应混凝土梁的固有频率。

表4 裂纹群位于不同位置时的频率比

从表4中的数据可知，第一阶固有频率在裂纹位置为l/2附近时相对较小，第二阶固有频率在裂纹位置为l/4附近时相对较小，而第三阶固有频率在裂纹位置为l/6附近时相对较小。由此可知，当裂纹群位于振型波峰或是波谷位置时，对应频率衰减幅度相对会比较大。对比前三阶频率比值可知，裂纹群位置对第一阶固有频率的影响相对第二阶和第三阶固有频率要小。

3.5 多裂纹群位置对固有频率的影响

对于多裂纹群位置对固有频率的影响，本节中考虑钢筋混凝土梁中存在两裂纹群，其中每个裂纹群含有两条裂纹，裂纹间距为l/48。假定裂纹群各裂纹的深度相同，其中一裂纹群位置不变，且位于梁左端l/6，二裂纹群位置变化，距一裂纹群间距为ld，含裂纹钢筋混凝土梁前三阶固有频率比列于表5～表7，其中频率比ωC/ωn，ωC为利用本文算法得到频率，ωn为无裂纹钢筋混凝土梁的固有频率。

从表5～表7可知，随着裂纹群间距的增加，钢筋混凝土梁第一阶固有频率逐渐减小；第二阶固有频率和第三阶固有频率随第二裂纹群位置变化的趋势相近，呈现频率先减小后增大再减小的趋势，且裂纹群位置为对称布置时的频率最小；随着裂纹深度的增加，钢筋混凝土梁的固有频率随之减小，此结果与前述计算结果一致。

表5 裂纹群位于不同位置时的第一阶固有频率比

表6 裂纹群位于不同位置时的第二阶固有频率

表7 裂纹群位于不同位置时的第三阶固有频率

4 结 论

(1) 本文考虑了钢筋约束效应的影响，通过引入裂纹影响因子函数来模拟裂纹对裂纹附近应力、应变的影响，运用Hamilton能量原理建立了含多裂纹钢筋混凝土梁的动力学方程，并通过Taylor级数展开的数值方法求解该方程。通过和已有文献结果比较，验证了本文思路的有效可行性。

(2) 裂纹深度和裂纹数目的变化将导致梁固有频率的变化，且随着裂纹深度的扩展、裂纹数目的增加，含裂纹梁固有频率随之减小。

(3) 当裂纹群位于梁振型波峰或是波谷时，对应频率的衰减幅度相对会较大。裂纹群位置对第一阶固有频率的影响相对第二阶和第三阶固有频率要小。

(4) 对于含两裂纹群钢筋混凝土梁，其固有频率随裂纹群间距的增加而变化，其中第一阶固有频率的变化相比第二阶和第三阶固有频率的频率变化更具有规律性。